2023-2024学年辽宁省葫芦岛市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省葫芦岛市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的斜率是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一个焦点坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.我国辽代著名的前卫斜塔又名瑞州古塔位于葫芦岛市绥中县现存塔身已经倾斜且与地面夹角，若将塔身看作直线，从塔的第三层地面到第三层顶可看作线段，且在地面的射影为，则该塔第三层地面到第三层顶的距离是( )
A. B. C. D.
5.已知直线：，椭圆，则与的位置关系为( )
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交或相切
6.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知动点的轨迹方程为，为：上任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在长方形中，为中点，以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体中，，分别为，中点，则( )
A. 平面
B. 平面
C. 与平面成角正弦值为
D. 平面与平面成角余弦值为
10.已知点是抛物线：的焦点，直线经过点交抛物线于，两点，与准线交于点，且为中点，则下面说法正确的是( )
A. B. 直线的斜率是
C. D. 设原点为，则的面积为
11.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是( )
A.
B. 第行中，第个数最大
C. 记第行的第个数为，则
D. 第行中，第个数与第个数的比为：
12.已知椭圆：，双曲线：，椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则( )
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 的内心为，到轴的距离为
D. 的内心为，过右焦点作直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某单位为葫芦岛市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中个节目的相对顺序保持不变的情况下填加甲乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为______用数字作答
14.已知：，：，若与有四条公切线，则的取值范围为______．
15.在空间直角坐标系中，为坐标原点，已知空间中三点分别为，，，则到平面的距离为______．
16.已知椭圆，，为椭圆上一动点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知二项式，且满足．
求的值；
求的值．
18.本小题分
在以下三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答条件：直线的法向量为；条件：与直线平行；条件：与直线垂直．
已知直线经过且_____．
求直线方程；
若点是直线上的动点，过点作：的两条切线，切点分别为，两点，求四边形的面积的最小值．
19.本小题分
如图，斜三棱柱中，，，，为中点．
证明；
求与平面成角的正弦值．
20.本小题分
已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为的等边三角形．
求椭圆的标准方程；
若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围．
21.本小题分
如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点，点是线段上动点且恒成立．
证明：；
当三棱锥与三棱锥的体积之和为时，求平面与平面所成角的余弦值．
22.本小题分
设抛物线：的焦点为，动直线交抛物线于，两点，当直线过焦点且的中点的横坐标为时．
求抛物线的方程；
已知点，当焦点为为的垂心时，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：直线的斜率为：，即．
故选：．
利用直线一般式的斜率计算公式即可得出．
本题考查了直线一般式的斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设，则由，，
可得，
则有，解得，
则，
故．
故选：．
根据空间向量的线性运算及数量积运算，直接运算求解即可．
本题考查空间向量的坐标运算，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：双曲线的一个焦点坐标为，
可得，且，解得．
故选：．
由题意可得，且，解方程可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意，如图，可得，，
在中，由，可得，
则该塔第三层地面到第三层顶的距离是．
故选：．
分析题意，解三角形即可得解．
本题主要考查解三角形，考查了数形结合思想，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由直线：，得，
联立，解得．
直线过定点，代入椭圆，
有，可知点在椭圆上，则直线与椭圆的位置关系为相切或相交．
故选：．
由直线系方程求得直线所过定点坐标，代入椭圆方程，可知定点在椭圆上，则答案可求．
本题考查直线系方程的应用，考查椭圆的简单性质，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：由通项公式可得：．
那么
要得到项：
可得：或．
当时，系数为．
当时，系数为．
合并后系数为：．
故选：．
利用通项公式，分情况讨论项，即可求解．
本题考查了二项式定理系数的求法，要灵活运用通项公式，和各种情况的讨论．属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：联立点的轨迹方程和圆的方程，
，无解，
所以点的轨迹与圆无交点，
设点坐标为，点与圆心的距离为，
根据基本不等式，当且仅当时等号成立，
又因为点的轨迹为，
所以当时等号成立，
点与圆心的距离取得最小值，
又因为圆的半径为，
所以最小值为．
故选：．
联立方程组，得出以点的轨迹与圆无交点，结合基本不等式求最值即可．
本题考查了圆的性质和绝对值方程的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，由于，所以即为直线、所成的角，故，
因此，
．
而，所以，
结合异面直线所成角为直角或锐角，可知与所成角的余弦值为．
故选：．
根据题意，利用空间向量的数量积的运算加以计算，即可得到本题的答案．
本题考查空间向量的线性运算与数量积的运算性质、异面直线所成的角的定义与求法，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：令正方体棱长为，构建如下图示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
对于，，若面一个法向量为，
则，取，则，而，
所以，即，又面，故EF平面，故A正确；
对于，，若面一个法向量为，
则，取，则，而，
所以不存在；使，故DB平面不成立，故B错误；
对于，由正方体性质知：面，面，则，又，
，，面，则面，
所以是面的一个法向量，，
则与平面成角正弦值为，故C正确；
对于，由是面的一个法向量，是面的一个法向量，
平面与平面成角余弦值为，故D正确．
故选：．
构建空间直角坐标系，求相关线段对应的方向向量、平面的法向量，应用向量法求证位置关系，或求线面、面面角判断各项正误．
本题考查了证明线面垂直，空间位置关系的向量证明，线面角，面面角的向量求法，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：设，，，
由向准线作垂线，垂足为，由向准线作垂线，垂足为，连接，，如图：
由题知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为：，
由，得，，，．
对于，因为为的中点，所以∽，
所以，因为，，
所以，故A正确；
对于，因为，所以，
所以，因为，，
所以，解得，故B错误；
对于，，所以，故C正确；
对于，，
所以的面积为，故D错误．
故选：．
由为中点和抛物线的定义可判断；将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理可判断；利用弦长公式可判断，．
本题考查抛物线的方程和性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由图知，第行的第个数为，则，
对于，由可得，
，故A错误；
对于，第行有项，中间一项最大为，是第个数，故B正确；
对于，第行的第个数为，
所以，
所以，故C正确；
对于，第行中，第个数与第个数的比为：：：，故D正确．
故选：．
根据二项式定理和二项式系数的性质判断各个选项的对错．
本题主要考查了二项式定理和二项式系数的性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：若椭圆，双曲线半焦距为，则，且，分别为左右焦点，
中，令，，则，
，，
所以，则，
上式消去，得，
而，，
若，即，则，对；
由上知，故，
当且仅当，即，时取等号，错；
若，，为内切圆与各边切点，如下图，则，
又，
所以，即切点为双曲线右顶点，有轴，
所以到轴的距离为，对；
延长交于，若为中点，连接，，
由题意且平分，故为等腰三角形且，
所以，
在中为中位线，则，
且，故JD为平行四边形，
令，则，
所以，又在第一象限且不定，故点的轨迹不为圆，错．
故选：．
由椭圆，双曲线定义及余弦定理得到，即可判断；再由离心率公式及基本不等式““的代换求最小值判断；根据圆切线的性质及双曲线定义求双曲线与轴切点横坐标判断；延长交于，若为中点，连接，，根据已知易得为平行四边形，令有，结合已知条件判断．
本题考查圆锥曲线综合应用，属于难题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，原有节目单有个节目，有个空位，
在其中任选个，安排甲乙两个节目，有种安排方法．
故答案为：．
根据题意，原有节目单有个节目，有个空位，利用插空法分析可得答案．
本题考查排列组合的应用，注意排列与组合的不同，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：已知：，圆心为，半径为；
：，整理得：，圆心为，半径为；
由于与有四条公切线，故两圆为外离；
所以，整理得，
由于，故实数的取值范围为．
故答案为：．
直接利用圆心距和两圆的半径的关系判断结果．
本题考查的知识要点：两圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：在空间直角坐标系中，为坐标原点，已知空间中三点分别为，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
到平面的距离为．
故答案为：．
利用空间向量，根据到平面的距离公式求解．
本题考查点到平面的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意设，
则，，
所以
，，
当时，取最小值，即．
故答案为：．
设，得出向量，，利用数量积公式，结合三角函数求最值即可．
本题考查椭圆参数方程以及三角函数的性质应用，属于中档题．
17.【答案】解：由已知得：解得：；
由得：，
易知，，，，均为负值，
所以，，令则，
令，则；
所以．
【解析】直接利用排列数和组合数求出的值；
利用赋值法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：若选择：
由法向量可得直线的一个方向向量可得，
于是，代入并整理得．
综上直线方程为．
若选择：
与直线平行可设直线方程为，，
将代入，则有解得，
整理得，
综上直线方程为．
若选择：
与直线垂直可设直线方程为，，
将代入，则有解得，
整理得．
综上直线方程为．
由题意，圆的方程为，
可得圆心为，半径为．
．
要使四边形的面积的最小，只有最小，而最小值为点到直线的距离，为，
故此时，
此时平行四边形面积的最小值为．
【解析】由题意，根据两直线平行、垂直的性质，用待定系数法求出直线的方程．
，要使四边形的面积的最小，只有最小，根据最小值为点到直线的距离求出它的值，可得结论．
本题主要考查用待定系数法求直线的方程，圆的标准方程，用分割法求四边形的面积，属于基础题．
19.【答案】证明：斜三棱柱中，，，，为中点
取的中点，连接，，，
，为中点．，
又，，
与均为等边三角形，，
，，平面，
平面，．
解：设，，
，，
，，
又，，平面，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
为中点，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得，，
故，，
设与平面成角为，
则，．
与平面成角正弦值为．
【解析】根据三角形全等以及线面垂直的性质即可证明；
建系，利用向量法即可求解．
本题考查线线垂直的判定定理与性质，向量法求直线与平面所成角，属中档题．
20.【答案】解：因为是边长为的等边三角形，
所以，
即，
解得，
又，
所以，
则椭圆的标准方程为；
易知直线的斜率存在且不为，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
因为，
所以，
即，
则，
解得或，
故直线斜率范围为．
【解析】由题意，根据题目所给信息列出等式，求出和的值，进而即可求解；
设出直线的方程和，两点的坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系以及向量的运算，列出等式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：在平面上运动且恒成立，
，，，
平面，，
，，
平面，，
，平面，；
取中点为，连接，，，
，到直线的距离相等，
平面，，
，，为的高，
，同理，
平面，
，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由，令，则，，
平面的一个法向量为
平面的一个法向量为
．
设平面与平面所成角为，
平面与平面所成角的余弦值为．
【解析】由已知可得，又易得，可证平面，进而可证结论；
取中点为，连接，，可得，到直线的距离相等，利用等体积法可求，建立空间直角坐标系，可求平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成角的余弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查面面角的余弦值的求法，属中档题．
22.【答案】解：不妨设，，
因为的中点的横坐标为，
所以，
因为，
解得，
则抛物线的方程为；
因为为的垂心，
所以，
此时，
则，
不妨设直线方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为为的垂心，
所以，
此时，
即，
可得，
则，
又，
因为，
所以，
整理得，
即，
解得或，
经检验当或时，都符合题意．
则直线方程为或．
【解析】由题意，根据题目所给信息以及抛物线的定义进行求解即可；
设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，根据判别式大于零求出的取值范围，利用韦达定理得到，，结合向量的运算再进行运算求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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