2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新重点中学七年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新重点中学七年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列调查适合作普查的是( )
A. 了解在校大学生的主要娱乐方式
B. 了解某市居民对废电池的处理情况
C. 日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
D. 对甲型流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查
3.是指大气中直径小于或等于微米的细颗粒物，即直径小于或等于，将用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.若是一元一次方程，则等于( )
A. B. C. 或 D. 任何数
5.下列说法错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.如图，将三个三角板直角顶点重叠在一起，公共的直角顶点为点，若，，那么的度数为( )
A. B. C. D.
7.我国古代数学著作孙子算经中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？其大意是：每车坐人，两车空出来；每车坐人，多出人无车坐问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是( )
A. B.
C. D.
8.如图，正方形的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在处，乙在，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，已知正方形轨道的边长为，则乙在第次追上甲时的位置是( )
A. 在上 B. 在上 C. 在上 D. 在上
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.______．
10.从多边形的一个顶点出发引对角线，这些对角线把这个多边形分割成了个三角形，则这个多边形是______边形，共有对角线______条
11.若，则代数式的值为______．
12.钟表上时间为时分，此时时针与分针的夹角为______．
13.在一个的方格中填写了个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样的方格称为一个三阶“幻方”如图的方格中已填写了一些数和字母，若它能构成一个三阶“幻方”，则的值为______．
14.将张小长方形纸片如图所示按图所示的方式不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为，宽为，且当长度不变而变长时，将张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，与的差总保持不变，则，满足的关系是______．
三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
；
；
．
16.本小题分
如图，已知线段，，用尺规作一条线段，使不写作法，保留作图痕迹
17.本小题分
化简求值：，其中，．
18.本小题分
为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课，按照类别分为，“剪纸”、“沙画”、“葫芦雕刻”、“泥塑”、“插花”为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
本次调查的样本容量为______；
统计图中的 ______， ______；
补全条形统计图；
该校共有名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数．
19.本小题分
已知线段，在直线上取一点，恰好使，点为的中点，求线段的长．
20.本小题分
为发展校园篮球运动，我市城区三校决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多元，两套队服与个篮球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过套，则购买篮球打八折．
求每套队服和每个篮球的价格是多少？
若我市城区三校联合购买套队服和个篮球，你认为到哪家商场购买比较合算？
21.本小题分
如图，图形是一块含角的直角三角尺，点是直角顶点，直角边与重合放置，射线与的夹角三角尺绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当旋转时停止运动，设三角尺运动的时间为秒．
当时， ______；
当平分时，求的值；
若在三角尺旋转的同时，射线也绕着点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，当与重合时立即以相同的速度绕着点沿顺时针方向旋转，当与重合时停止运动求与的夹角为时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义直接得到的相反数是．
本题考查了相反数．解题的关键是明确相反数的意义：的相反数为．
2.【答案】
【解析】解：、了解在校大学生的主要娱乐方式，调查范围广，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解某市居民对废电池的处理情况，普查的意义不大，故B不符合题意；
C、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，故C不符合题意；
D、对甲型流感患者的同一车厢的乘客进行医学检查，要求精确度高，适合普查，故D符合题意；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，熟知科学记数法的一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：因为是一元一次方程，
所以，，
解得：．
故选：．
直接利用一元一次方程的定义分析得出答案．
此题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：若，则，此选项正确；
B.若且，则，此选项错误；
C.若，则，此选项正确；
D.若，则，继而可得，即，此选项正确；
故选：．
根据等式的基本性质逐一判断即可得．
本题主要考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的基本性质：等式两边加或减同一个数或式子结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍得等式．
6.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据，求出，再根据，求出，最后根据进行计算即可．
此题考查了角的计算，关键是根据已知条件求出角的度数，要能根据图形找出角之间的关系．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查从实际问题抽象出一元一次方程 设车辆，根据乘车人数不变，即可得出关于的一元一次方程即可．
【解答】解：设车辆，
根据题意得：
故选B．
8.【答案】
【解析】解：设乙走秒第一次追上甲，
根据题意，得，
解得，
乙走秒第一次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
设乙再走秒第二次追上甲，
根据题意，得，
解得，
乙再走秒第二次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
同理，乙再走秒第三次次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
同理，乙再走秒第四次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
乙在第次追上甲时的位置又回到上；
，
乙在第次追上甲时的位置是上，
故选：．
根据题意列出一元一次方程，找到四次一循环的规律，即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是通过计算找到两个点循环的规律．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除运算法则与幂的乘方．
先计算乘方，再计算除法、最后计算乘法即可得．
【解答】
解：原式
．
故答案为．
10.【答案】七
【解析】解：，
则该多边形为七边形，
共有对角线为，
故答案为：七，．
从边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成个三角形，所以分割成个三角形的是七边形．
本题考查了多边形的对角线有关的问题，要熟练掌握以下两个知识点：边形从一个顶点出发可引出条对角线．从个顶点出发引出条，而每条重复一次，所以边形对角线的总条数为：，且为整数；从边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成个三角形．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，
整理，得得，
．
故答案为：．
先求得，再将变形后整体代入求解．
此题考查了运用整体思想进行代数式化简求值的能力，关键是能将代数式准确变形并整体代入计算．
12.【答案】
【解析】解：时钟指示时分时，分针指到，时针指到与之间．
时针从到这个位置经过了分钟，时针每分钟转，因而转过，
分针每分钟转过，因为转过了，
时针和分针所成的锐角是．
根据时针每分钟转，得出点分时针转过，分针每分钟转，因而点分时分针转过，则夹角为，据此解答．
本题考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：令第三行第个数为，第二行第个数为，由题意得：
，
整理得：，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
令第三行第个数为，第二行第个数为，则有，从而得；再由，得，从而可求解．
本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到等量关系．
14.【答案】
【解析】解：设的长为，则宽为，的长为，则宽为，
则，，
，
，
，
与的差总保持不变，
，
即．
故答案为：．
表示出左上角与右下角部分的面积，求出它们的差，根据它们的差与无关即可求出与的关系式．
此题主要考查了整式的混合运算，弄清题意列出相应的式子是解本题的关键．
15.【答案】解：
；
；
；
，
，
，
．
【解析】根据有理数混合运算的法则计算即可；
根据有理数混合运算的法则计算即可；
根据平方差公式计算即可；
根据一元一次方程的解法解方程即可．
本题考查了平方差公式，有理数的混合运算，一元一次方程的解法，熟练掌握有理数混合运算的法则和一元一次方程的解法是解题的关键．
16.【答案】解：如图所示，线段即为所求．

【解析】在射线上截取线段，在线段上截取线段，则线段即为所求作．
本题主要考查作一条线段等于已知线段的和差，熟练掌握线段的作法是解题关键．
17.【答案】解：原式
，
当，时，
原式
．
【解析】直接利用乘法公式化简，进而合并同类项，利用整式的除法运算法则计算，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：人，因此样本容量为；
故答案为：；
人，人，
故答案为：，；
组频数：人，
补全条形统计图如图所示：
人，
答：该校名学生中喜爱“葫芦雕刻”的有人．
从两个统计图可知组的有人，占调查人数的，可求出调查人数，即样本容量；
总人数乘以对应的百分比可得、的值；
求出组的频数即可补全条形统计图；
样本估计总体，样本中喜欢“葫芦雕刻”的占，即，因此估计总体人的是喜欢“葫芦雕刻”的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
19.【答案】解：如图所示，，，
，；
点为的中点，
；
．
如图所示，，，
，
点为的中点，
，
．
故A的长度为或．
【解析】根据中点的定义可得，根据，求出，然后求出的长度，即可求出的长度．
本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离，解题时注意分类思想的运用．
20.【答案】解：设每个篮球的定价是元，则每套队服是元，根据题意得
，
解得，
．
答：每套队服元，每个篮球元；
在乙商场购买比较合算，理由如下：
元，元，
因为，
所以在乙商场购买比较合算．
【解析】设每个篮球的定价是元，则每套队服是元，根据“两套队服与个篮球的费用相等”列出方程，解方程即可；
分别求得在两个商场购买所需要的费用，然后通过比较得到结论：在乙商场购买比较合算．
本题考查了一元一次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
21.【答案】
【解析】解：，，
．
当运动时间时，旋转的角度是：，
当时，的度数为；
故答案为：；
如图，设时，平分，
则旋转的度数是，此时．
平分，
，
即：，
解得：．
的值是；
在与重合之前，与夹角是时，
如图，可以分为与相遇前为，
解得：，
如图，当与相遇后，则有，
解得：．
在与重合后，
与重合时的时间是，，此时旋转了，
如图，当与重合前，时，可以得到，
解得：．
当与重合后，时，可以得到：，
解得：．
当与重合后，继续旋转，当时，旋转了，
此时：．
综上：当的值是或或或或时，的度数是．
为时，的度数为时的度数为时转过的度数；
要使平分，则旋转后应在的右侧，且旋转后所得的旋转的度数旋转前的度数，此角是列方程要解答；
分情况讨论：在与重合之前，如图，可以分为与相遇前；如图，当与相遇后；在与重合后，根据与的夹角为列方程可得结论．
本题考查了角的和差问题，旋转的性质，动角问题，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
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