2023-2024学年上海市浦东新区洋泾中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市浦东新区洋泾中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共14分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则“”是“”的条件．( )
A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分也非必要
2.若，则的值是( )
A. B. C. D.
3.若，则
( )
A. B.
C. D.
4.已知函数，则以下个命题：
是偶函数；
在上是增函数；
的值域为；
对于任意的正有理数，存在奇数个零点．
其中正确命题的个数为
( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，共34分。
5.若集合，则 ______．
6.已知幂函数的图像过点，则______．
7.当时，求的值______．
8.已知某扇形的弧长为厘米，半径为厘米，则圆心角的弧度数为______．
9.函数的定义域为 ．
10.已知点在角的终边上，且，则 ______．
11.方程的解为______．
12.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______．
13.已知函数，若，则实数的取值范围是______．
14.设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设不等式的解集为，不等式的解集为．
求集合、；
已知全集，求．
16.本小题分
已知函数．
求函数的值域；
求证：函数在上是严格减函数．
17.本小题分
浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡观光或消费，某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内以天计，每天打卡人数与第天近似地满足函数万人，为正常数，且第天的打卡人数为万人．
经调查，打卡市民含观光的人均消费元与第天近似地满足下表：
天
元
现给出以下三种函数模型：，，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民含观光的人均消费元与第天的关系，并求出该函数的解析式；
确定的值，并在问题的基础上，求出该购物中心日营业收入为正整数的最小值单位：万元．
注：日营业收入日打卡人数人均消费．
18.本小题分
已知函数．
求方程的解；
若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围；
若将区间划分成个小区间，且满足，使得和式恒成立，试求出实数的最小值并说明理由．
19.本小题分
对于定义在区间上的函数，若．
已知，，试写出、的表达式；
设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围；
若，存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：若，当时，不成立，即充分性不成立，
当成立时，，则一定成立，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
结合不等式的性质检验充分必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以．
故答案为：．
由同角三角函数的基本关系计算即可．
本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于中档题．
由，可得，令，则在上单调递增，且，结合函数的单调性可得，的大小关系，结合选项即可判断．
【解答】
解：由，可得，
令，则在上单调递增，且，
所以，即，
由于，故，
因为不确定与的大小，故CD错误，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：因为，所以，，
所以不是偶函数，故错误；
因为，所以在不是增函数，故错误；
因为，显然的值域中不含负无理数，
故的值域不为，故错误；
的零点即，为有理数或，为无理数，
对于，为有理数，必有解，
对于，为无理数，必有解或无解，
故有三个零点或一个，故正确；
故选：．
由偶函数的定义，举例即可判断；举例即可判断；的值域中不含负无理数，故可判断；根据函数零点即是方程的解，观察解的个数即可判断．
本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，函数的奇偶性和周期性，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
利用集合相等的定义求解．
本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合相等的性质的合理运用．
6.【答案】
【解析】解：设幂函数，
幂函数的图像过点，
，解得，
，
则，
故答案为：．
幂函数的图像过点，列方程求出，从而，由此能求出．
本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：时，
，
故答案为：．
根据根式的运算性质以及的符号求出代数式的值即可．
本题考查了根式的运算性质，考查转化思想，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：某扇形的弧长为厘米，半径为厘米，
则圆心角的弧度数为．
故答案为：．
根据已知条件，结合弧长公式，即可求解．
本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：要使原函数有意义，则，
，解得．
函数的定义域为．
故答案为：．
由对数函数的真数大于，求解分式不等式得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为点在角的终边上，且，可得，
解得，
解得．
故答案为：．
由题意利用任意角的三角函数的定义，计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：方程可化为，
又因为函数在上单调递增，
所以，且，
解得，
即方程的解为．
故答案为：．
由题意可得，结合函数在上单调递增，可得，且，从而求出的值．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了对数函数的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：设，
当时，，符合题意，
当时，，解得，不符合题意，
当且时，
，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
根据已知条件，结合二次函数的判别式，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：函数的图象如图，
若，
则或或，
解得或或．
综上所述，实数的取值范围是．
画出分段函数的图象，由，分类得到关于的不等式组求解．
本题考查分段函数的应用，考查数形结合、分类讨论思想，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：由方程，得有两个不同的解，
令，
则的顶点在上，
而与的交点坐标为，，
联立得，
由，解得或，
作出图象，数形结合，要使得有两个不同的解，
则实数的取值范围是或或．
故答案为．
由题意，转化为两个函数问题，即设，作出图，即可求解实数的取值构成的集合．
本题考查了方程有实根问题转化为有交点问题，数形结合思想，和作图的能力，属于中档题．
15.【答案】解：不等式的解集为，不等式的解集为，
，．
全集，，
．
【解析】解含绝对值不等式，求出集合，解指数不等式，求出集合；
先求出，的交集，再计算即可．
本题考查集合的运算，考查交集、补集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】解：由题 ，则，
所以函数的值域为；
设，是上任意给定的两个实数，且，
则，
，，，
函数在上是严格减函数．
【解析】先求出的范围，接着得到的范围，从而可以求解；根据单调性的定义即可证明．
本题考查了函数的单调性，涉及到单调性的定义，属于基础题．
17.【答案】解：由表中数据可得，函数图象关于对称，
故函数模型满足要求，
代入点，，
则，解得，，
；
由第天的打卡人数为万人，
则，解得．
，
当且为正整数时，，
在且为正整数时为严格减函数，
，
当且为正整数时，，
，且等号当且仅当时成立，
综上所述，该商场在第天时日营业收入最小，为万元．
【解析】由表中数据可得，函数图象关于对称，故函数模型满足要求，再将表格中的数据代入函数模型，即可求解；
根据已知条件，结合第天的打卡人数为万人，即可求出的值，结合函数的单调性，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式公式是解本题的关键，属于中档题．
18.【答案】解：由得，得；
在上是严格增函数，
又，；
由指数函数的单调性可得，在区间上是严格增函数，
对任意划分为正整数，
，
，
实数的最小值为．
【解析】解方程即可求解；
将问题转化为在上有实数解，求函数在上的值域即可；
根据函数单调性分析最值即可得解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查函数的性质，转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：函数在上单调递减，
，
函数在上单调递增，
．
，，与恰好为同一函数，
在上是单调递增，
当时，令，则．
由，则对称轴，
根据复合函数的单调性，函数显然在上单调递减，故成立．
当时，令，由，则，
只需，化简得，解得．
综上所述，的取值范围为．
，，在上单调递减，在上单调递增，
，，
，
当时，恒成立，则；
当时，恒成立，则；
当时，恒成立，
在上单调递增，
则．
综上所述，
故是上的“阶收缩函数”，且最小正整数．
【解析】根据函数、在上的单调性可得出、的表达式；
若与恰好为同一函数，只须在上是单调递减，讨论的取值由复合函数的单调性即可求解；
根据函数在上的值域，写出、的解析式，再由求出的范围得到答案．
本题考查函数新定义问题，解题的关键在于确定新函数的解析式，根据题意将其转化为函数不等式成立的问题，再结合恒成立思想求解，属于难题．
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