2023-2024学年广东省清中、河中、北中、惠中、阳中高一（上）质检数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省清中、河中、北中、惠中、阳中高一（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染已知过滤过程中废气的污染物数量单位：与过滤时间单位：的关系为是正常数若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要参考数据：( )
A. B. C. D.
5.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若对任意的正数，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，，则，
10.下列说法正确的是( )
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 的最大值为
C. 的图象关于成中心对称
D. 的递减区间是
11.已知函数的定义域为，对任意实数，满足且，当时，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 为增函数 D. 为奇函数
12.已知函数为奇函数，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，如果当时，函数的值域是，则
C. 若，则不等式的解集为
D. 若，如果存在实数，使得成立，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为______．
14.若函数在区间上严格增，则实数的取值范围为______．
15.已知命题“，使”是假命题，其实数的取值为集合，设不等式的解集为集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为______．
16.已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若函数有唯一零点，则实数的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：；
已知，求的值．
18.本小题分
已知关于的不等式的解集为，或．
求，的值
当，，且时，有恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求方程的根；
求在上的值域．
20.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求，的值．
判断的单调性不必证明．
若存在，使成立，求的取值范围．
21.本小题分
中华人民共和国乡村振兴促进法中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量单位：与肥料费用单位：元满足如下关系：，其它总成本为单位：元，已知这种农作物的市场售价为每千克元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为单位：元．
求的函数关系式；
当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？
22.本小题分
已知函数，其中为常数．
若在区间上单调递减，求实数的取值范围；
已知，若函数在上有且仅有一个零点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，集合，
则．
故选：．
根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题．
根据充分条件，必要条件和充要条件分别进行判断即可．
【解答】
解：由，可得或，
故，由，能够推出，故充分性成立，
由，不能够推出，故必要性不成立，
综上所述，是的充分不必要条件，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合函数的解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：依题意，经过过滤后还剩余的污染物，则，解得，
设污染物减少用时小时，于是，即，则，即，
两边取对数得，解得，
所以污染物减少大约需要．
故选：．
利用给定的函数模型，求出，再借助取对数的方法求出时的值即可．
本题考查了指数函数与对数函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：方法一：因为，即，所以，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，
故排除，；
当时，，即，因此，故排除．
故选：．
方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除，；
又，所以排除．
故选：．
方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断．
本题主要考查函数图象的判断，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，即，
，即，
综上所述，．
故选：．
根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对任意的，，所以函数的定义域为，
因为，
即函数为奇函数，又因为，且函数在上为增函数，
所以函数在上为增函数，
对任意的正数、满足，
则，
所以，即，
所以，
当且仅当且，即，时取等号．
故选：．
分析函数的单调性和奇偶性，可得出，利用乘法展开后利用基本不等式可求的最小值．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，函数是“阶准偶函数”，
则集合中恰有个元素．
当时，函数，注意的函数本身具有偶函数性质，
故集合中不止有两个元素，矛盾，
当时，根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为，，
故当，方程无解，
当，解得或，故要使得集合中恰有个元素，则需要满足，
即；
当时，函数，的取值为，为，
根据题意得，解得或，满足恰有两个元素，故满足条件．
综上，实数的取值范围是．
故选：．
根据“阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：当，时，显然错误；
若，则，
因为，则，B正确；
若，则，
所以，
所以，C正确；
若，，则，
所以，
所以，，D正确．
故选：．
举出反例检验选项A，结合不等式性质检验选项B，，即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由题意得，得，所以函数的定义域为，所以A正确；
对于，令，则，
因为，且在定义域内递减，
所以，所以的最小值为，所以B错误；
对于，因为，
所以是由反比例函数向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
因为的对称中心为，
所以的对称中心为，所以C正确；
对于，由，得或，
所以函数的定义域为，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，且在上递单调增，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以D错误．
故选：．
对于，由求解判断；
对于，利用换元法根据指数函数的单调性分析判断；
对于，对函数变形后，利用反比例函数的对称性和函数图象变换规律分析判断；
对于，利用换元法分析判断．
本题考查了指数函数、对数函数的性质，也考查了复合函数的单调性、求抽象函数的定义域，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，对任意实数，满足，
令，可得，即有，故A正确；
由，可得，
，即，可得，故B错误；
令，则，即，
则函数为奇函数，故D正确；
令，，可得，即，
当时，，即，，
设，即，即有，
则在上递增，故C正确．
故选：．
可令，计算可判断；令，求得，可令，，可得，可判断；令，由函数的奇偶性的定义可判断；由函数的单调性的定义可判断．
本题考查抽象函数的奇偶性和单调性、函数值，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于：因为为奇函数，
所以，则，
因为，所以，A正确．
对于：令，则由，得．
因为在上单调递减，
所以当时，在上是严格增函数，
所以，
所以，B错误．
对于：当时，，
则由，得，
所以，解得，C错误．
对于：当时，在上单调递减，
所以在上的取值范围是．
由题意知与的交集为非空，所以，解得，D正确．
故选：．
选项，根据函数的奇偶性得到方程，求出；选项，由复合函数单调性得到在上是严格增函数，从而得到求出；选项，由函数单调性得到，求出解集；选项，由的单调性得到值域为，进而得到与的交集为非空，得到不等式，求出答案．
本题考查了函数的综合问题，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，解得．
函数的定义域为：．
故答案为：．
由根式内部的代数式大于等于，对数式的真数大于联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
14.【答案】
【解析】解：当时，为增函数，
要使函数在区间上严格增，
则在上单调递增，且成立，
当时，，
即在上恒成立，且，
解得．
的取值范围是：
故答案为：
问题转化为在上单调递增，可得在上恒成立，求得，结合在上单调递增，可得，从而求得的范围．
本题考查了分段函数的单调性，不等式恒成立问题，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：由命题“，使”是假命题，
知命题“，使”是真命题，
所以，解得，
所以，
因为是的充分不必要条件，所以，
设，则，即，解得或，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
根据全称量词命题与存在量词命题的真假关系，可得，从而求得集合，再由，并结合二次函数根的分布情况，列出关于的不等式组，解之即可．
本题考查存在量词命题的真假判断，充分必要条件的应用，熟练掌握全称量词命题与存在量词命题的真假关系，充分必要条件与集合之间的联系，二次函数根的分布问题是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为函数有唯一零点，
所以函数有唯一零点，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，
所以函数为偶函数，又函数有唯一零点，
所以函数的零点为，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
又由，可得，
所以，所以，解得或．
故答案为：．
由已知函数有唯一零点，结合偶函数的性质，列方程求的值．
本题考查函数方程与零点的关系，属于中档题．
17.【答案】解：
；
因为，所以，，
故．
【解析】利用对数运算和指数运算法则计算出答案；
指数式化为对数式，进而利用对数运算法则和换底公式求出答案．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两个实数根且
所以，解得．
由知，于是有，
故，当，时等号成立
依题意有，即，
解得．
所以的取值范围为．
【解析】根据题意可得和是方程的两个实数根且，得到关于，的方程组，解得，，即可．
由知，于是有，结合基本不等式，求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可．
本题考查了二次函数和二次不等式的关系，解题中需要理清思路，属于中档题．
19.【答案】解：由，可得，整理可得，
分解因式可得，由，解得，则
由，根据函数在上单调递增，则，
令，，
根据二次函数的性质，则，
由函数在上单调递增，则．
【解析】利用一元二次方程的解法，结合对数的定义，可得答案．
根据复合函数的性质，结合对数函数、指数函数、二次函数的单调性，可得答案．
本题考查函数的值域，考查函数的零点的应用，属于中档题．
20.【答案】解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
即，
所以，
又因为，
所以，
将代入，
整理得，
当时，有，
即，
又因为当时，有，
所以，
所以．
经检验符合题意，
所以，．
由知：函数，
函数在上是减函数．
因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，
所以，
所以，
令，
由题意可知：问题等价转化为，
又因为，
所以，
即的取值范围为．
【解析】首先由是奇函数可知，得出，后面再根据当时，有恒等式成立即可求出．
将表达式变形为，根据复合函数单调性即可判断．
结合函数奇偶性、单调性将不等式转换为，由题意问题等价于，由此即可得解．
本题考查了函数的性质，重点考查了不等式有解问题，属中档题．
21.【答案】解：由题意可得，，
所以函数的函数关系式为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时，
综上：当投入的肥料费用为元时，单株农作物获得的利润最大为元．
【解析】根据利润毛收入成本可得结果；
分段求出最大值，在两者中的更大的为最大值．
本题考查了函数在生活中的实际运用，也考查了二次函数的性质、基本不等式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：令，因为为定义域内的单调递减函数，
若满足在区间上单调递减，则在上单调递增即可，
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，为开口向下的二次函数，所以不可能在上单调递增；
当时，只需满足，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
因为在上有且仅有一个零点，
所以在上有且仅有一个零点，
记，
当时，，且，均在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，，所以，
所以在上有唯一零点，符合条件；
当时，，
的对称轴为，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
若满足题意只需，所以，解得；
当时，，
的对称轴为，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
若满足题意只需，所以，解得；
综上所述，的取值范围是．
【解析】根据复合函数单调性的判断方法确定出的单调性，由此列出不等式求解出结果；
先化简函数得到，然后根据的范围进行分类讨论，结合函数的单调性以及零点的存在性定理求解出的取值范围．
本题主要考查了复合函数单调性的应用，还考查了由函数的零点个数求解参数范围，属于中档题．
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