5.2.1 基本初等函数的导数 随堂练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 5.2.1 基本初等函数的导数 随堂练习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-03 13:43:47 | ||
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文档简介
5.2.1 基本初等函数的导数随堂练习
一、单选题
1．下列求导运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知函数，则（ ）
A． B． C．2 D．1
4．已知曲线在点处的切线为，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（ ）
A． B．
C． D．
8．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．可能把直线作为切线的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
12．直线可作为函数的图像的切线，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．函数在区间处的瞬时变化率为 .
14．函数，则在处的切线方程为 ．
15．若曲线在点处的切线与直线垂直，则 .
16．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为 .
四、解答题
17．已知函数.
(1)求该函数在处的切线方程；(2)求该函数过原点的切线方程.
18．已知函数，点在曲线上.
(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程.
19．已知直线与抛物线相交于、两点，是坐标原点，试求与直线平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点，使的面积最大.
参考答案：
1．D【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得；
【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D
2．C【解析】根据常见函数的求导公式和导数的运算法则进行解答.
【详解】A.由于,则,故A错误; B.由于,则,故B错误; C.由于,则,故C正确; D.由于,则,故D错误.故选:C.
【点睛】本题考查导函数求导的公式,考查学生对公式理解运用能力和计算能力,属于基础题.
3．A【分析】先对函数求导，然后令可求得结果
【详解】可得，则，故．
故选：A
4．D【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】，所以，又曲线在点处的切线为，所以.故选：D.
5．B【分析】根据导数的几何意义，求出切点坐标，再根据切点在直线上求出的值.
【详解】设切点为，由得，因为直线与曲线相切，
所以，解得，，所以，又在直线上，所以，解得.故选：B.
6．B【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．
【详解】对A，，当时，，所以A错误；
对B，，在上恒成立，所以B正确；
对C，，，所以C错误；
对D，，，因为，所以D错误．
故选：B．
7．D【分析】求导，然后直接解方程可判断ACD；根据函数与的图象是否有交点可判断B.
【详解】对于A：，由解得或，所以存在“巧值点”；
对于B：，作函数与的图象，由图可知存在“巧值点”；
对于C：，由得，解得，所以存在“巧值点”；对于D：，因为，所以无实数解，所以不存在“巧值点”.故选：D
8．D【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，进而得到，累乘即可得到结果.
【详解】，，在点处的切线方程为：，令得：，.故选：D.
9．ACD【分析】利用基本初等函数的导数公式对各函数求导即可判断正误.
【详解】A：，对；B：，错；C：，对；D：，则，对.故选：ACD
10．BC【分析】求出函数的导函数，依题意可得，求出，即可求出点坐标.
【详解】因为，所以，因为，所以，所以，当，；当，；则点坐标为或．故选：BC
11．ACD【分析】根据题意结合导数的几何意义逐项分析判断.
【详解】因为直线的斜率，对于选项A：因为，则，令，解得，故A正确；对于选项B：因为，则，
又因为，则方程无解，故B错误；对于选项C：因为，则，令，解得，故C正确；对于选项D：因为，则，令，解得，故D正确；故选：ACD.
12．BCD【分析】求出的导函数，根据已知只需有解即可.
【详解】对于A项，的定义域为，且，此时无解，故A错误；对于B项，定义域为，则，显然在上有解，故B正确；对于C项，定义域为R，且，
因为，所以在R上有解，故C正确；对于D项，定义域为R，，显然在R上有解，故D正确.故选：BCD.
13．3【分析】根据幂函数的求导法则得出，根据导数的定义代入，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，根据导数的定义可知，函数在区间处的瞬时变化率为.故答案为：3.
14．【分析】先求导，再求斜率，进而可得直线方程.
【详解】依题知切点为，则，则，则切线方程为：，
即.故答案为：
15．/【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率，利用两直线垂直时，直线的斜率之积为可求得实数的值.
【详解】对函数求导得，则，
因为直线的斜率为，
且曲线在点处的切线与直线垂直，
则，可得，解得.
故答案为：.
16．/
【分析】先利用导数的几何意义求得切线方程，从而求得切线与坐标轴的交点，由此得解.
【详解】因为，所以，则，
又，所以切线方程为，即，
则切线与坐标轴的交点为，，
则所求周长为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）代入得到切点坐标，再求导代入得出斜率，写出切线方程即可；
（2）设切点，切线方程为，根据导数含义得， ，代入切点横坐标得到其纵坐标为1，再代回函数解析式得到切点坐标，最后写出切方程即可.
【详解】（1）当时，，所以此时切点为，
由可得，
所以切线的斜率为，
则利用点斜式方程可得到，即，
（2）显然切线斜率不存在时，不合题意，
故设切线方程为，切点，斜率，
，又因为切点在上，
，当时，，
，切线方程为，即.
18．(1)；
(2)或.
【分析】（1）应用导数几何意义求曲线上一点处的切线方程即可；
（2）令所求切线在曲线上的切点为，由导数几何意义写出切线方程，结合点在切线上求参数，即可得切线方程.
【详解】（1）由题意，故，
所以，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又在切线上，故或，
所以切线方程为或.
19．，
【分析】将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出，分析可知，抛物线在点处的切线与直线，利用导数的几何意义可求得点的坐标，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.
【详解】联立可得，则，
设点、，由韦达定理可得，，
则，
要使的面积最大，只要点到的距离最大，
设为切点，过点与平行的切线斜率为，
解得，，故可得点，
所以，与直线平行的抛物线的切线方程为.
故点即为所求弧上的点，使的面积最大.
一、单选题
1．下列求导运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．已知函数，则（ ）
A． B． C．2 D．1
4．已知曲线在点处的切线为，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数及其导数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是（ ）
A． B．
C． D．
8．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．可能把直线作为切线的曲线是（ ）
A． B．
C． D．
12．直线可作为函数的图像的切线，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．函数在区间处的瞬时变化率为 .
14．函数，则在处的切线方程为 ．
15．若曲线在点处的切线与直线垂直，则 .
16．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为 .
四、解答题
17．已知函数.
(1)求该函数在处的切线方程；(2)求该函数过原点的切线方程.
18．已知函数，点在曲线上.
(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程.
19．已知直线与抛物线相交于、两点，是坐标原点，试求与直线平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点，使的面积最大.
参考答案：
1．D【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得；
【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D
2．C【解析】根据常见函数的求导公式和导数的运算法则进行解答.
【详解】A.由于,则,故A错误; B.由于,则,故B错误; C.由于,则,故C正确; D.由于,则,故D错误.故选:C.
【点睛】本题考查导函数求导的公式,考查学生对公式理解运用能力和计算能力,属于基础题.
3．A【分析】先对函数求导，然后令可求得结果
【详解】可得，则，故．
故选：A
4．D【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】，所以，又曲线在点处的切线为，所以.故选：D.
5．B【分析】根据导数的几何意义，求出切点坐标，再根据切点在直线上求出的值.
【详解】设切点为，由得，因为直线与曲线相切，
所以，解得，，所以，又在直线上，所以，解得.故选：B.
6．B【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．
【详解】对A，，当时，，所以A错误；
对B，，在上恒成立，所以B正确；
对C，，，所以C错误；
对D，，，因为，所以D错误．
故选：B．
7．D【分析】求导，然后直接解方程可判断ACD；根据函数与的图象是否有交点可判断B.
【详解】对于A：，由解得或，所以存在“巧值点”；
对于B：，作函数与的图象，由图可知存在“巧值点”；
对于C：，由得，解得，所以存在“巧值点”；对于D：，因为，所以无实数解，所以不存在“巧值点”.故选：D
8．D【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，进而得到，累乘即可得到结果.
【详解】，，在点处的切线方程为：，令得：，.故选：D.
9．ACD【分析】利用基本初等函数的导数公式对各函数求导即可判断正误.
【详解】A：，对；B：，错；C：，对；D：，则，对.故选：ACD
10．BC【分析】求出函数的导函数，依题意可得，求出，即可求出点坐标.
【详解】因为，所以，因为，所以，所以，当，；当，；则点坐标为或．故选：BC
11．ACD【分析】根据题意结合导数的几何意义逐项分析判断.
【详解】因为直线的斜率，对于选项A：因为，则，令，解得，故A正确；对于选项B：因为，则，
又因为，则方程无解，故B错误；对于选项C：因为，则，令，解得，故C正确；对于选项D：因为，则，令，解得，故D正确；故选：ACD.
12．BCD【分析】求出的导函数，根据已知只需有解即可.
【详解】对于A项，的定义域为，且，此时无解，故A错误；对于B项，定义域为，则，显然在上有解，故B正确；对于C项，定义域为R，且，
因为，所以在R上有解，故C正确；对于D项，定义域为R，，显然在R上有解，故D正确.故选：BCD.
13．3【分析】根据幂函数的求导法则得出，根据导数的定义代入，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，根据导数的定义可知，函数在区间处的瞬时变化率为.故答案为：3.
14．【分析】先求导，再求斜率，进而可得直线方程.
【详解】依题知切点为，则，则，则切线方程为：，
即.故答案为：
15．/【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率，利用两直线垂直时，直线的斜率之积为可求得实数的值.
【详解】对函数求导得，则，
因为直线的斜率为，
且曲线在点处的切线与直线垂直，
则，可得，解得.
故答案为：.
16．/
【分析】先利用导数的几何意义求得切线方程，从而求得切线与坐标轴的交点，由此得解.
【详解】因为，所以，则，
又，所以切线方程为，即，
则切线与坐标轴的交点为，，
则所求周长为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）代入得到切点坐标，再求导代入得出斜率，写出切线方程即可；
（2）设切点，切线方程为，根据导数含义得， ，代入切点横坐标得到其纵坐标为1，再代回函数解析式得到切点坐标，最后写出切方程即可.
【详解】（1）当时，，所以此时切点为，
由可得，
所以切线的斜率为，
则利用点斜式方程可得到，即，
（2）显然切线斜率不存在时，不合题意，
故设切线方程为，切点，斜率，
，又因为切点在上，
，当时，，
，切线方程为，即.
18．(1)；
(2)或.
【分析】（1）应用导数几何意义求曲线上一点处的切线方程即可；
（2）令所求切线在曲线上的切点为，由导数几何意义写出切线方程，结合点在切线上求参数，即可得切线方程.
【详解】（1）由题意，故，
所以，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）令所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又在切线上，故或，
所以切线方程为或.
19．，
【分析】将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出，分析可知，抛物线在点处的切线与直线，利用导数的几何意义可求得点的坐标，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程.
【详解】联立可得，则，
设点、，由韦达定理可得，，
则，
要使的面积最大，只要点到的距离最大，
设为切点，过点与平行的切线斜率为，
解得，，故可得点，
所以，与直线平行的抛物线的切线方程为.
故点即为所求弧上的点，使的面积最大.