5.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
5.3.1复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
第五章 复数
复数乘、除运算的三角表示．
复数乘、除运算的三角表示的几何意义．
1.通过复数的几何意义，了解复数乘除运算的三角表示式及其几何意义．
2.引导学生对复数乘除运算三角表示式的几何意义的自主探究，培养学生积极参与合
作交流，了解从特殊到一般的数学抽象过程．
3.通过研究复数的乘除运算的几何意义，揭示数与形之间的联系，帮助学生掌握数形
结合的思想方法，培养学生数学抽象与直观想象的素养．
复数的表示
在前面的学习中，我们研究了复数代数形式的四则运算，上节课又学习了复数的另一种重要的表示形式：三角形式，很自然地，我们想知道复数的四则运算是否能用三角形式表示？下面我们就一起来研究这个问题．
我们知道，复数可以进行加、减、乘、除运算，请回忆一下，复数代数形式加法和乘法运算的法则是什么？
设a，b，c，dR，则：
(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i；
(a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad +bc)i．
上节课，我们学习了复数一种新的表示方法—三角形式，那么复数的加法运算是否能用三角形式来表示呢？
一般来说复数的加法不便表示成三角形式．
复数的减法运算是加法运算的逆运算，复数的减法和乘法运算是否能用三角形式来表示？
一般说来复数的减法不便表示成三角形式．
如果把复数，分别写成三角形式sin，sin，你能计算并将结果分别表示成三角形式吗？
复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为
sin sin=+isin ．
推导过程如下：
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到：
你能用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式吗？
两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的
和，可以简述为“模相乘，辐角相加”．
我们知道复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义．请你由复数乘法运算的三角表示进行探索、尝试．
两个复数，相乘时，可以像右图那样，先分别画出与，对应的向量， ，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角（如果<0，就要把绕点Ｏ按顺时针方向旋转角| |），再把它的模变为原来的倍，得到向量， 表示的复数就是积．这就是复数乘法的几何意义．
你能解释和的几何意义吗？
1、可以写为i，其几何意义是“将i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转，得到-1对应的向量”；
2、可以写为i，其几何意义是“将对应的向量绕点O按逆时针方向旋转，得到1对应的向量”．
除法运算是乘法运算的逆运算．根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？你能用文字语言加以表述吗？
可以将复数除法运算转化为乘法运算的方法（配凑法），得出复数除法运算三角表示公式：．
推导过程如下：
设，，且，
因为，
所以根据复数除法的定义，有．
你能用文字语言来表述复数除法的三角表示公式吗？
复数除法三角表示公式：
．
用文字语言可表述为：
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
你还有其他的推导方法吗？
也可以通过“分数”运算直接推导得出：
．
类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？
由，结合图形，可以得到复数除法运算的几何意义为：两个复数，相乘时，可以像右图那样，先分别画出与，对应的向量， ， ，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角（如果<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角| |），再把它的模变为原来的倍，得到向量， 表示的复数就是商．这就是复数除法的几何意义．
如果复数z=r(cos+isin)对应的向量，绕点O按逆时针方向旋转角，模不变，所得向量对应的新复数是什么？
对应的新复数是r (cos+isin)(cos+isin)=r[cos(+)+isin(+)]．
新复数是cos()+isin() ]．
若按顺时针方向旋转角呢？
伸长倍，对应的新复数为r (cos+isin)．
缩短倍，对应的新复数为 (cos+isin)．
若模伸长或者缩短倍呢
利用复数的乘法和除法运算的几何意义，可以把平面向量的旋转和伸缩问题转化为复数的乘、除运算问题；反之亦然．
2、把复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为(　　)
A.a－bi B.－a＋bi C.b－ai D.－b＋ai
解析： 1.(1)(√)
(2)(×)提示　∵辐角主值α、β∈[0，2π)，但α＋β有可能大于2π，故不成立．
1、思考辨析，判断正误
（1） ＝－1. ( )
（2）若arg z1＝α，arg z2＝β，则arg(z1·z2)＝α＋β. ( )
解析：按顺时针旋转90°，即将复数与cos(－90°)＋i sin(－90°)相乘，
∴所求复数为(a＋bi)·(－i)＝b－ai．故选C ．
概念辨析
怎样运用复数乘法的三角表示式进行运算？
已知，，
请把结果化为代数形式，并做出几何解释．
解：
．
几何解释：首先作与对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为的向量．即为积所对应的向量．
根据复数乘法的几何意义，向量对应的复数是复数 与的积，其中复数的模是1，辐角的主值是120°．
解：向量对应的复数为
如图，向量与复数 对应，把绕原点O按逆时针方向旋转120°得到．
求向量对应的复数（用代数形式表示）．
．
．
试证明：．
　证明：
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　．
计算，并把结果化为代数形式．
解：
．
怎样运用复数除法的三角表示式进行运算？
复数相乘、相除实质上就是复数所对应向量的旋转和伸缩，旋转的角度与方向，取决于另一复数的辐角的正、负与大小．
若与分别对应复数z1＝1＋2i，z2＝7＋ i，求∠Z2OZ1，
并判断△OZ1Z2的形状．
解：∵
又Z1(1，2)，Z2(7，)，∴＝(6，－)，
＝
∴∠Z2OZ1＝ ，
=(1，2) (6，－)=1 2(－)=0，
, 即∠OZ1Z2＝ .
∴△OZ1Z2是∠OZ1Z2＝90°的直角三角形．
复数z＝sin －icos ，若zn＝z (n∈N)，则n的最小值是(　　)
A.1 B.3 C.5 D.7
解：z＝ sin －icos ＝cos（）＋isin（），
故选 C．
cos＋isin
由于n∈N，∴n最小值为5．
C
故选 C．　
把复数3－ i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为(　　)
A.2 B.－2 i C. －3i D.3＋ i
解：因为
z＝÷(cos＋isin)
＝ 　
＝ － .　
C
故选 D．
若复数z＝，则复数z的辐角的主值为(　　)
A. B. C. D.
解：因为复数z＝ = =，
所以复数z＝cos＋isin，
所以复数z的辐角的主值为.
D
故argz1＋argz2＋argz3 =．
设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i，则argz1＋argz2＋argz3＝(　　)
解：因为argz1＋argz2＋argz3＝arg(z1z2z3)＋2kπ，k∈Z．
又z1z2z3＝(1－2i)(1＋i)(－1＋3i)＝10i，
所以arg(z1z2z3)＝ ．
又＜argz1＜2π，argz2＝ ， ＜argz3＜π，
所以argz1＋argz2＋argz3∈，
1.牢记2个知识点：
(1)若z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，
则z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]
(2)若z＝r(cos θ＋isin θ)，则zn＝rn(cos nθ＋isin nθ)
2.辨清1个易错点：
若arg z1＝α，arg z2＝β，则arg(z1·z2)不一定为α＋β，arg()不一定为α－β．
教材第182页练习题3、4．
再 见