5.3.1 复数的三角表示式 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
5.3.1 复数的三角表示式
第五章 复数
1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示式，了解复数的代数表示与三角表示之
间的关系；
2.了解复数三角表示式的推导过程，会进行复数三角形式和代数形式之间的互化；
3.了解两个用三角形式表示的复数相等的条件．
复数的三角表示式．
探究、理解复数的三角表示式．
复数的表示
前面我们学习了复数的代数表示和向量表示，本节我们来研究复数的另一种重要表示形式：复数的三角表示．复数的三角表示的形式是什么 它又有哪些作用 让我们一起来探究吧．
前面我们学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学们回忆一下它们分别是什么．
复数的概念：
我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数(complexnumber) ．
复数z=a+bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应；
复数z=a+bi与平面向量=(a，b)一一对应．
复数的几何意义：
你能在复平面内用平面向量表示z=a+bi吗？
如图，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，向量由点Z唯一确定．
由于复数z=a+bi与平面向量=(a，b)一一对应，所以已知平面向量 =(a，b)能唯一确定与之对应的复数z，其表达式为z=a+bi．复数z可以由向量的坐标(a，b)唯一确定．
已知平面向量 =(a，b)，能唯一确定与之对应的复数z吗？复数z的表达式是什么？为什么？
我们知道复数z=a+bi可以由向量的坐标(a，b)唯一确定，向量既可以由它的坐标(a，b)唯一确定，也可以由它的大小和方向唯一确定，观察分析下图，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？要如何表示？
应该定量刻画向量的大小和方向这两个要素，并且向量 的大小可以用复数的模r来表示，向量的方向可以借助角来表示．
角是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角．
为了解决问题2，首先应研究什么？
如何用文字语言表述角呢？
你能用向量的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来表示复数z吗？
由可以得到复数a+bi=，
其中r，，．
刚才我们画的图形中，角的终边落在第一象限，得到a+bi=，这个式子是否具有一般性呢？即若角的终边落在第二、三、四象限，这个式子成立吗？若点Z在实轴或虚轴上，即角的终边落在实轴或虚轴上时，这个式子也成立吗？
改变平面向量的位置后，通过观察分析，可以得出结论：不管角的终边落在什么位置，都有:a+bi=．
一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成的形式，其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角(argument of a complexnumber)．叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
一个复数的辐角的值有多少个？
对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的， 所以复数0的辐角也是任意的，而不是0．
利用终边相同的角的特点，容易得出： 任何一个不为零的复数的辐角的值有无限多个．
因为任一与角θ终边相同的角，都可以表示成角θ与整数个周角的和，所以这些辐角的值之间相差2π的整数倍．
若复数为0，它的辐角是哪个角？
这些辐角的值之间有什么关系呢？
在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐角值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？
我们规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值 (principal value of an argument)，通常记作arg z，即0≤arg z<2π．
我们规定：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的值的代表，就能使每个非零复数有唯一确定的“辐角的值”．
追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？
每一个非零复数有唯一的模与辐角的主值．
两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？
两个复数相等
两个复数对应的向量相同
两个向量的长度相等且方向相同
两个复数的模相等且辐角主值相等
（2）复数z＝sin 15°＋icos 15°的三角形式是(　　)
A.cos 195°＋isin 195° B.sin 75°＋icos 75°
C.cos 15°＋isin 15° D.cos 75°＋isin 75°
解析：复数的三角形式是r(cos θ＋isin θ)，观察所给的四个复数，只有B中的复数是三角形式，注意式子中各个位置的符号，故选：B．
（1）下列复数中是三角形式的是(　　)
A. B.
C. D.
解析： z＝sin 15°＋icos 15°＝cos 75°＋isin 75°，故选D．
概念辨析
解：因为， ，
（3） ＝________．
又因为在 y 轴正半轴，
故＝ ．
概念辨析
复数三角形式判断的依据是什么？
判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)cos； (2)cos ．
解：（1）不是三角形式，三角形式应满足cos在前，sin在后．
表示为三角形式为：sin ．
（2）不是三角形式，三角形式应满足r=≥0且cos在前，sin在后．
表示为三角形式为：cos ．
只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式．
解：(1)复数对应的向量如图所示：
请将以下复数表示成三角形式（辐角取主值）：
； ；
于是==．
则=2，．
因为对应的点在第一象限，所以arg=．
只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式．
请将以下复数表示成三角形式（辐角取主值）：
； ；
(2)复数对应的向量如图所示：
于是=．
则= ，．
因为对应的点在第四象限，所以arg=．
只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式．
请将以下复数表示成三角形式（辐角取主值）：
； ；
(3)复数对应的向量如图所示：
于是== ．
则 = ，．
因为对应的点在x轴负半轴上，所以arg=．
复数代数形式化为三角形式的步骤为：①先求复数的模r＝|z|；②确定Z(a，b)所在的象限；③根据象限求出辐角；④写出复数三角形式.三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值．
　分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：；(2)) ．
如何将复数的三角形式化成代数形式？
解： (1)复数的模，一个辐角，
所以
．
(2)复数 的模，一个辐角，
所以
将复数1化成三角形式为(　　)
A . B. C. D.
解：因为| 1|＝2，又(1， )在第四象限,
故选 C.
且 ，故arg(| 1)＝ .
所以复数1化成三角形式为．
C
故选 C．　
复数z＝－sin 100°＋icos 100°的辐角主值是(　　)
A.80° B.100° C.190° D.260°
解：因为
．
C
故选 A．
两个复数z1，z2的模与辐角分别相等是z1＝z2成立的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解：若z1＝z2，则两复数的模相等，但辐角不一定相等．
A
故答案为： ．
将复数1＋ 所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角(0＜θ＜2π)
所得的向量对应的复数为－2，则θ＝________．
解：因为arg(1＋ )＝ ，arg(－2)＝π，| 1＋ |＝2．
所以将1＋ 所表示的向量逆时针旋转θ＝ ．
所得向量对应的复数为－2．
1.复数三角形式得出的研究思路和基本过程为：
复数z=a+bi与平面向量，一一对应，平面向量，可以由其大小和方向唯一确定，所以复数可以由平面向量的大小和方向唯一确定，平面向量的大小为平面向量的模r=，其方向可以用以x轴的非负半轴为始边，以向量所在的射线（射线OZ）为终边的角来刻画，由三角函数的定义得：a=rcos，b=rsin，所以z=r（cos+isin）．
2.复数的三角表示式的结构特点：
(1)r是复数的模，r=≥0；
(2)是同一个辐角值的余弦和正弦；
(3) cos在前，sin在后；
(4) cos和isin之间用“+”连接．
其中是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角（argument of a complex number）．我们规定在0≤<范围内的辐角的值为辐角的主值（principal value of an argument），通常记作arg z，即0≤arg z<．
3.两个复数相等
两个复数相等两个复数对应的向量相同两个向量的长度相等且方向相同两个复数的模相等且辐角主值相等．
教材第182页练习题1、2、5．
再 见