第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
知能演练提升
能力提升
1.若y与成正比例函数关系,则y与x成( )
A.正比例函数关系
B.反比例函数关系
C.既不是正比例函数关系,也不是反比例函数关系
D.二次函数关系
2.若一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形,则这个圆柱的高h与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系是( )
A.正比例函数 B.反比例函数
C.一次函数 D.其他函数
3.已知y是x的反比例函数,若比例系数k>0,则当x增加20%时,y将( )
A.减少20% B.增加20%
C.减少80% D.减少约16.7%
4.如果小明家离学校1.5 km,小明步行上学需x min,那么小明的步行速度y(单位:m/min)可以表示为y=;如果水平地面上重1 500 N的物体与地面的接触面积为x m2,那么该物体对地面产生的压强y(单位:N/m2)可以表示为y=,……函数解析式y=还可以表示许多不同情境中变量之间的关系,请你再列举一例: .
5.写出下列函数关系对应的解析式,并判断其是不是反比例函数.如果是,指出其比例系数.
(1)当菱形的面积为20时,其中一条对角线长y与另一条对角线长x之间的函数关系;
(2)当做功是50 J时,力F(单位:N)与物体在力F的方向上移动的距离s(单位:m)之间的函数关系;
(3)如果使用面积为x cm2的长方形地砖密铺地面,且需要密铺的面积为a cm2(a>0),那么所需的地砖块数y与x之间的函数关系.
6.已知一个长方体木箱的体积一定,设它的底面积为S(单位:m2),高为h(单位:m),当S=0.8 m2时,h=0.6 m.
(1)写出S关于h的函数解析式;
(2)当S=1.2 m2时,求相应的高的值.
7.已知y1是x的正比例函数,y2是x的反比例函数,并且当自变量x=1时,y1-y2=-3;当自变量x=2时,y1=y2,求函数y1和y2的解析式.
8.由欧姆定律可知,当电压不变时,电流强度I与电阻R成反比例.已知电压不变,当电阻R=12.5 Ω时,电流强度I=0.2 A.
(1)写出I关于R的函数解析式;
(2)当R=5 Ω时,求电流强度I.
创新应用
★9.已知函数y=y1+y2,y1与x+1成正比例,y2+1与x成反比例,且当x=1时,y=0;当x=2时,y=1.5.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)当x=-1时,求y的值.
能力提升
1.B 因为y与成正比例函数关系,可设y=k·(k≠0),即y=(k≠0),所以y与x成反比例函数关系.
2.B 圆柱的高h与底面半径r之间的函数解析式是h=,故h是r的反比例函数.
3.D 设y=(k>0),则≈83.3%·,
故y将减少约16.7%.
4.如果圆柱的体积为1 500 cm3,它的底面积为x cm2,那么圆柱的高y(单位:cm)可以表示为y=(答案不唯一)
5.解(1)∵xy=20,
∴y=,是反比例函数,比例系数为40.
(2)∵Fs=50,
∴F=,是反比例函数,比例系数为50.
(3)∵xy=a(a>0),
∴y=(a>0),是反比例函数,比例系数为a.
6.解(1)S=(h>0).
(2)将S=1.2代入S=,得1.2=,
解得h=0.4(m).
7.解由题意可设y1=k1x(k1≠0),y2=(k2≠0),
则解得
故y1=x,y2=.
8.分析根据反比例函数的定义可设I=,先用待定系数法确定U后,再代入R的值求I.
解(1)设I=,则U=IR=0.2×12.5=2.5(V),
∴I=(R>0).
(2)∵I=,
∴当R=5Ω时,I==0.5(A).
创新应用
9.解(1)设y1=k1(x+1)(k1≠0),y2+1=(k2≠0),
则y2=-1,y=k1(x+1)+-1(k1,k2≠0).
由题意,得
化简,得解得
故y=x+1+-1,即y=x-.
(2)当x=-1时,y=x-=0.
126.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质
知能演练提升
能力提升
1.若反比例函数y=的图象位于第二、第四象限,则k的取值范围是( )
A.k> B.k< C.k= D.不存在
2.对于反比例函数y=(k≠0),下列说法不正确的是 ( )
A.它的图象位于第一、第三象限
B.点(k,k)在它的图象上
C.它的图象关于原点对称
D.y随x的增大而增大
3.若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y2C.y14.如图,反比例函数y=的图象经过点A(-1,-2).则当x>1时,函数值y的取值范围是( )
A.y>1
B.0C.y>2
D.05.一个反比例函数具有下列性质:
①它的图象经过点(-1,1);②它的图象在第二、第四象限,且在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,则这个反比例函数的解析式为 .
6.(2019·陕西中考)如图 ,D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4),B(6,0).若一个反比例函数的图象经过点D,交AC于点M,则点M的坐标为 .
7.已知反比例函数y1=,y2=和y3=的图象如图所示,则k1,k2和k3的大小关系为 .
8.如图,点P,Q是反比例函数y=图象上的两点,PA⊥y轴于点A,QN⊥x轴于点N,作PM⊥x轴于点M,QB⊥y轴于点B,连接PB,QM,△ABP的面积记为S1,△QMN的面积记为S2,则S1 S2.(填“>”“<”或“=”)
9.已知两个反比例函数y=和y=在第一象限的图象如图所示,点P在y=的图象上,PC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B,则当点P在y=的图象上运动时,以下结论:
①△ODB与△OCA的面积相等;
②四边形PAOB的面积不会发生变化;
③线段PA与线段PB始终相等;
④当点A是线段PC的中点时,点B一定是线段PD的中点.
其中一定正确的是 .(把你认为正确结论的序号都填上)
★10.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于x轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为(2,6).
(1)直接写出B,C,D三点的坐标;
(2)若将矩形向下平移,使矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两个点,并求出矩形的平移距离和反比例函数的解析式.
创新应用
★11.如图,正方形OABC的面积为4,点O为坐标原点,点B在函数y=(k<0,x<0)的图象上,点P(m,n)是函数y=(k<0,x<0)的图象上异于B的任意一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E,F.
(1)设矩形OEPF的面积为S1,判断S1与点P的位置是否有关(不必说明理由);
(2)从矩形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积,剩余面积记为S2,写出S2关于m的函数解析式,并标明m的取值范围.
知能演练·提升
能力提升
1.B 由反比例函数y=的图象位于第二、第四象限,得3k-1<0,解得k<.
2.D
3.B
4.D 将点A(-1,-2)代入y=,得k=2.
∴y=.∴当x=1时,y=2.
∵在第一象限内,y随x的增大而减小,
∴当x>1时,05.y=-
6. ∵A(0,4),B(6,0),
∴C(6,4).
∵D是矩形AOBC的对称中心,
∴D(3,2).
设反比例函数的解析式为y=,
则k=3×2=6,
即反比例函数的解析式为y=.
把y=4代入,得4=,解得x=.
故点M的坐标为.
7.k10,k3>0,故k1最小.在y2与y3的函数图象上画出横坐标为1的点,不难发现k2=1×y2<1×y3=k3,故k28.= 设PM与BQ相交于点C,则有S矩形AOMP=S矩形BONQ,即S矩形ABCP=S矩形MNQC,故S1=S2.
9.①②④ S△ODB=,S△OCA=,所以结论①成立;S矩形OCPD=k,S四边形OAPB=S矩形OCPD-S△ODB-S△OCA=k-1,所以结论②成立;当点P沿着y=向左移动时,PA变大,PB变小,所以结论③不成立;当点A是线段PC的中点时,PC=2AC,即=2·,得k=2,所以点P的横坐标是点B的横坐标的2倍,所以结论④成立.
10.解(1)B(2,4),C(6,4),D(6,6).
(2)如图,矩形ABCD平移后得到矩形A'B'C'D',则点A',C'同时落在反比例函数的图象上.设平移距离为a,则A'(2,6-a),C'(6,4-a).
因为点A'、点C'在y=的图象上,所以2(6-a)=6(4-a),解得a=3,所以点A'(2,3),
所以反比例函数的解析式为y=.
创新应用
11.解(1)S1与点P的位置无关.
(2)当点P在点B的上方时,S2=4+2m(-2当点P在点B的下方时,S2=4+(m<-2).
1第2课时 反比例函数与一次函数的综合应用
知能演练提升
能力提升
1.已知正比例函数y=x与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限交于点A,且AO=,则k的值为( )
A. B.1 C. D.2
2.如图,函数y1=x+1与函数y2=的图象相交于点M(1,m),N(-2,n).若y1>y2,则x的取值范围是( )
A.x<-2或0B.x<-2或x>1
C.-2D.-21
3.已知一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=的图象如图所示,当y1A.x<2 B.x>5
C.25
4.函数y=kx+k与y=(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象为( )
5.如图,直线l是经过点(1,0)且与y轴平行的直线.Rt△ABC中直角边AC=4,BC=3.将边BC在直线l上滑动,使点A,B在函数y=的图象上,则k的值是( )
A.3 B.6
C.12 D.
6.已知直线y=ax(a>0)与双曲线y=交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则4x1y2-3x2y1= .
7.如图,在平面直角坐标系中,函数y=(x>0,常数k>0)的图象经过点A(1,2),B(m,n)(m>1),过点B作y轴的垂线,垂足为C.若△ABC的面积为2,则点B的坐标为 .
8.如图,正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于点A,过点A作x轴的垂线,垂足为M.已知△OAM的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且点B的横坐标为1,在x轴上求一点P,使PA+PB最小.
9.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a,b为常数,且a≠0)与反比例函数y2=(m为常数,且m≠0)的图象交于点A(-2,1),B(1,n).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接OA,OB,求△AOB的面积;
(3)直接写出当y1创新应用
★10.如图,在平面直角坐标系中,点A是反比例函数y1=(k≠0)在第一象限内的图象上的点,AB⊥x轴的正半轴于点B,C是线段OB的中点.一次函数y2=ax+b的图象经过A,C两点,并交y轴于点D(0,-2),且S△AOD=4.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)观察图象,请指出在y轴的右侧,当y1>y2时,x的取值范围.
能力提升
1.B
2.D
3.D
4.D 若k>0,则双曲线y=位于第一、第三象限,直线y=kx+k经过第一、第二、第三象限;若k<0,则双曲线y=位于第二、第四象限,直线y=kx+k经过第二、第三、第四象限.综上,选项D符合k<0的情况.
5.D 由题意设A(5,a),则B(1,a+3).
将A(5,a),B(1,a+3)代入y=,
得解得k=.
6.-3 根据正比例函数与反比例函数图象的对称性可知,它们的两个交点关于原点对称,
所以x2=-x1,y2=-y1,4x1y2-3x2y1=-4x1y1+3x1y1=-x1y1=-3.
7. ∵函数y=(x>0,常数k>0)的图象经过点A(1,2),∴k=2.∴n=.
在△ABC中,BC=m,边BC上的高为2-,
∴=2,m=3.∴n=,即B.
8.解(1)设点A的坐标为(a,b),则b=.∴ab=k.
∵ab=1,∴k=1,∴k=2.
∴反比例函数的解析式为y=.
(2)由∴A(2,1).
设点A关于x轴的对称点为C,则点C的坐标为(2,-1),且直线BC与x轴的交点P可使PA+PB最小.
令直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0).
∵点B的坐标为(1,2),
∴
∴直线BC的解析式为y=-3x+5.
当y=0时,x=.∴点P的坐标为.
9.解(1)由题意得,点A(-2,1)在反比例函数y2=的图象上,∴1=,∴m=-2.∴反比例函数的解析式为y2=-.
又点B(1,n)也在反比例函数y2=-的图象上,
∴n==-2.∴B(1,-2).
∵点A,B在一次函数y1=ax+b的图象上,
∴解得
∴一次函数的解析式为y1=-x-1.
(2)设直线AB交y轴于点C,则OC=1.如图,分别过点A,B作AE⊥y轴,BF⊥y轴,垂足分别为E,F.
∵A(-2,1),B(1,-2),∴AE=2,BF=1.
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC·AE+OC·BF=×1×2+×1×1=.
(3)当y11.
创新应用
10.解(1)如图,作AE⊥y轴于点E.
∵S△AOD=4,OD=2,∴OD·AE=4.∴AE=4.
∵AB⊥OB,C为线段OB的中点,∴∠DOC=∠ABC=90°,OC=BC,∠OCD=∠BCA.
∴Rt△DOC≌Rt△ABC.∴AB=OD=2.∴A(4,2).
将A(4,2)代入y1=,得k=8,∴y1=.
将A(4,2)和D(0,-2)代入y2=ax+b,
得解得∴y2=x-2.
(2)在y轴的右侧,当y1>y2时,0126.2 实际问题与反比例函数
知能演练提升
能力提升
1.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80 km/h的平均速度用了4小时到达乙地,当他按原路匀速返回时,汽车的速度v(单位:km/h)与时间t(单位:h)的函数解析式是( )
A.v=320t B.v=
C.v=20t D.v=
2.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P在边BC上运动,连接DP,过点A作AE⊥DP,垂足为E.设DP=x,AE=y,则能反映y与x之间的函数的大致图象是( )
3.某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种.某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(单位:℃)随时间x(单位:h)变化的函数图象如图所示,其中BC段是双曲线y=的一部分.恒温系统在这天保持大棚内温度18 ℃的时间有 h;k= ;当x=16时,大棚内的温度约为 ℃.
4.如图,边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴,BC∥y轴,反比例函数y=与y=-的图象均与正方形ABCD的边相交,则图中阴影部分的面积之和是 .
(第4题图)
5.某人利用一个最大电阻为200 Ω的滑动变阻器及电流表测电源电压,如图所示.
(1)该电源电压为 ;
(2)电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)之间的函数解析式为 ;
(3)当电阻在2~200 Ω之间时,电流应在 范围内,电流随电阻的增大而 ;
(4)若限制电流不超过20 A,则电阻应在 之间.
6.某蓄水池的排水管每小时排水8 m3,6 h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少
(2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到Q(单位:m3),那么将满池水排空所需的时间t(单位:h)将如何变化
(3)写出t与Q的函数解析式.
(4)如果准备在5 h内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少
(5)已知排水管的最大排水量为每小时12 m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空
7.某实验数据显示,一般成人喝250毫升低度白酒后,1.5时内其血液中酒精含量y(单位:毫克/百毫升)与时间x(单位:时)的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x刻画;1.5时后(包括1.5时)y与x之间的关系可近似地用反比例函数y=(k>0)刻画(如图所示).
(1)根据上述数学模型计算:
①喝酒后几小时后血液中的酒精含量达到最大值 最大值为多少
②当x=5时,y=45,求k的值.
(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完250毫升低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班 请说明理由.
8.制作一种产品,需先将材料加热达到60 ℃后,再进行操作,设该材料温度为y(单位:℃),从加热开始计算的时间为x(单位:min).据了解,该材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系,停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系,如图,已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃,加热5 min后的温度达到60 ℃.
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y关于x的函数解析式;
(2)根据工艺要求,如果当材料的温度低于15 ℃时,需停止操作,那么从开始加热到停止操作共经历了多长时间
9.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强p(单位:kPa)是气球体积V(单位:m3)的反比例函数,其图象如图所示(kPa是一种压强单位).
(1)写出这个函数解的析式.
(2)当气球的体积为0.8 m3时,气球内气体的压强是多少千帕
(3)当气球内气体的压强大于144 kPa时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积不小于多少立方米
创新应用
★10.某厂从2018年起开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的生产成本不断降低,具体数据如下表:
年度 2018 2019 2020 2021
投入技改资金x/万元 2.5 3 4 4.5
产品成本y/(万元/件) 7.2 6 4.5 4
(1)请你认真分析表中数据,从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律,说明确定是这种函数而不是其他函数的理由,并求出它的解析式.
(2)按照这种变化规律,若2022年投入技改资金5万元.
①预计生产成本每件比2021年降低多少万元
②若打算在2022年把每件产品的成本降低到3.2万元,则还需投入技改资金多少万元 (结果精确到0.01万元)
能力提升
1.B 由题意知vt=80×4,则v=.
2.C 连接AP(如图),S△APD=AD·AB=AE·PD=6,所以xy=12,y=.
因为3≤DP≤5,所以其大致图象为选项C.
3.10 216 13.5
4.8 观察题图,看出阴影部分的面积是正方形ABCD的面积的一半.正方形ABCD的面积为16,所以阴影部分的面积之和为8.
5.(1)144 V (2)I= (3)0.72~72 A 减小
(4)7.2~200 Ω
6.解(1)蓄水池的容积是6×8=48(m3).
(2)增加排水管会使时间缩短,将满池水排空所需的时间t会减少.
(3)因为容积V=48m3,所以解析式为t=.
(4)≤5,Q≥9.6(m3),即每小时的排水量至少为9.6m3.
(5)设最少用xh将满池水排空,根据题意,得12x≥48,解得x≥4,即最少用4h可将满池水全部排空.
7.解(1)①y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200,
∴喝酒后1时后血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200毫克/百毫升.
②∵当x=5时,y=45,
∴k=xy=45×5=225.
(2)不能驾车上班.
理由:∵晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小时,
∴将x=11代入y=,则y=>20.
∴第二天早上7:00不能驾车去上班.
8.解(1)设材料加热时,y关于x的一次函数解析式为y=k1x+b(k1≠0),
由题意知,当x=0时,y=15;当x=5时,y=60.
代入y=k1x+b,得
解得
所以y=9x+15,x的取值范围是0≤x≤5.
设停止加热进行操作时,y关于x的函数解析式为y=(k2≠0),
由题意,当x=5时,y=60,代入函数解析式,得60=.所以k2=300,即进行操作时y与x的函数解析式为y=(x≥5).
(2)由题意知,当y=15时,
由y=,得=15.
所以x=20,即当x=20min时,材料温度为15℃,由反比例函数的性质,当x>20时,y<15,即从开始加热到停止操作共经历了20min.
9.解(1)根据题意,设p=(k≠0).
∵A(1.5,64)是其图象上的一点,将A(1.5,64)代入p=,得64=,解得k=96,
即p与V之间的函数解析式为p=(V>0).
(2)当V=0.8m3时,p==120(kPa),
∴气球内气体的压强是120kPa.
(3)∵当气球内气体的压强大于144kPa时,气球将爆炸,∴p≤144,即≤144.
∴V≥m3.
∴为了安全起见,气球的体积不小于m3.
创新应用
10.解(1)若为一次函数,设其解析式为y=k1x+b(k1≠0),
因为当x=2.5时,y=7.2;当x=3时,y=6,
所以
解得
所以一次函数的解析式为y=-2.4x+13.2.把x=4时,y=4.5代入此函数解析式得,左边≠右边.故不是一次函数.若为反比例函数,设其解析式为y=(k2≠0),当x=2.5时,y=7.2,可得7.2=,得k2=18.所以反比例函数解析式为y=.
验证:当x=3时,y==6,符合反比例函数.
同理可验证:当x=4时,y=4.5;当x=4.5时,y=4成立.故可用反比例函数y=表示其变化规律.
(2)①当x=5时,y==3.6.
因为4-3.6=0.4(万元),
所以预计生产成本每件比2021年降低0.4万元.
②当y=3.2时,3.2=,得x=5.625.
因为5.625-5=0.625≈0.63(万元),
所以还需投入技改资金约0.63万元.
1第二十六章测评
(时间:45分钟,满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共24分.下列各小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.若函数y=(m+1)是反比例函数,则m的值为 ( )
A.0 B.-1 C.0或-1 D.0或1
2.若反比例函数y=的图象经过点(2,-1),则该反比例函数的图象在( )
A.第一、第二象限 B.第一、第三象限
C.第二、第三象限 D.第二、第四象限
3.当三角形的面积为1时,底y与该底边上的高x之间的函数关系的图象是( )
4.如图,一次函数y1=ax+b和反比例函数y2=的图象相交于A,B两点,则使y1>y2成立的x的取值范围是( )
A.-2C.x<-2或x>4 D.-24
5.如图,点P在反比例函数y=(x>0)的图象上,且横坐标为2.若将点P先向右平移两个单位长度,再向上平移一个单位长度后所得的像为点P'.则在第一象限内,经过点P'的反比例函数图象的解析式是( )
A.y=-(x>0) B.y=(x>0)
C.y=-(x>0) D.y=(x>0)
6.已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数y=的图象上,则下列结论正确的是( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1
7.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y=的图象上,顶点B在反比例函数y=的图象上,点C在x轴的正半轴上,则平行四边形OABC的面积是( )
A. B. C.4 D.6
8.已知反比例函数y=(a>0,a为常数)和y=在第一象限内的图象如图所示,点M在y=的图象上,MC⊥x于点C,交y=的图象于点A.MD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B.当点M在y=的图象上运动时,以下结论:
①S△ODB=S△OCA;
②四边形OAMB的面积不变;
③当点A是MC的中点时,则点B是MD的中点.
其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
二、填空题(每小题4分,共20分)
9.已知反比例函数y=的图象经过点(1,-8),则k= .
10.如图,点A,B是双曲线y=上的点,分别过点A,B作x轴和y轴的垂线段,若图中阴影部分的面积为2,则两个空白矩形面积的和为 .
11.如图,反比例函数y=的图象位于第一、第三象限,其中第一象限内的图象经过点A(1,2),请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P,你选择的点P的坐标为 .
12.过反比例函数y=(k≠0)图象上的一点A,分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点B,C,若△ABC的面积为3,则k的值为 .
13.已知双曲线y1,y2在第一象限的图象如图所示,y1=,过y1上的任意一点A作x轴的平行线交y2于点B,交y轴于点C,若S△AOB=1,则y2的解析式是 .
三、解答题(共56分)
14.(10分)已知正比例函数y=ax与反比例函数y=的图象有一个公共点A(1,2).
(1)求这两个函数的解析式;
(2)画出草图,根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
15.(10分)如图,科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD,其中一边AB靠墙,墙长为12 m.设AD的长为xm,DC的长为y m.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若围成的矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m,材料AD和DC的长都是整米数,求出满足条件的所有围建方案.
16.(12分)已知反比例函数y=(m为常数)图象的一支如图所示.
(1)求常数m的取值范围;
(2)若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限的交点为A(2,n),求点A的坐标及反比例函数的解析式.
17.(12分)如图,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于M,N两点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.
18.(12分)如图,一次函数y=x-3的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A与点B(a,-4).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若动点P是第一象限内双曲线上的点(不与点A重合),连接OP,且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C,连接OC.若△POC的面积为3,求点P的坐标.
第二十六章测评
一、选择题
1.A 2.D 3.C
4.B 观察函数图象可发现:当x<-2或0y2成立的x的取值范围是x<-2或05.D
6.B 因为-k2-1<0,所以反比例函数y=的图象在第二、第四象限,(2,y2),(3,y3)在同一象限内,y随x的增大而增大,即y2又y1>0,所以y1>y3>y2.
7.
C 过点B作BD⊥x轴于D,延长BA交y轴于E.
∵四边形OABC是平行四边形,
∴AB∥OC,OA=BC.
∴BE⊥y轴.∴OE=BD.
∴Rt△AOE≌Rt△CBD.
∴S矩形BDOE=5,S△AOE=,
∴平行四边形OABC的面积=5-=4.
故选C.
8.D ①S△ODB=S△OCA=1,该结论正确.
②四边形OAMB的面积=a-1-1=a-2,面积不变,该结论正确.
③如图,连接OM,点A是MC的中点,则△OAM和△OAC的面积相等.因为△ODM的面积等于△OCM的面积,△ODB的面积等于△OCA的面积,所以△OAC,△OAM,△OBD,△OBM面积相等,均为矩形OCMD面积的四分之一,由△OBD和△OBM面积相等,且高OD相同,可知底BD与BM相等,所以点B是MD的中点,该结论正确.
二、填空题
9.-8
10.8 如图,∵点A,B是双曲线y=上的点,
∴S矩形ACOG=S矩形BEOF=6.
∵S阴影DGOF=2,
∴S矩形ACFD+S矩形BDGE=6+6-2-2=8.
11.答案不唯一,如(-1,-2) x,y满足xy=2,且x<0,y<0即可.
12.6或-6 根据反比例函数的几何意义可得出S△ABC=|k|,所以|k|=6,则k=±6.
13.y2= 因为点A在双曲线y1上,所以S△AOC=2.
又S△AOB=1,所以△CBO的面积为3.
所以y2的解析式是y2=.
三、解答题
14.解(1)把点A(1,2)代入y=ax,得a=2,所以y=2x.
把点A(1,2)代入y=,得b=2,所以y=.
(2)画草图如下:
由图象可知,当x>1或-115.解(1)已知AD的长为xm,DC的长为ym,由题意,得xy=60,即y=.当y=12时,x=5.所以x≥5.
所以所求的函数解析式为y=(x≥5).
(2)由y=,且x,y都是正整数,x可取5,6,10,12,15,20,30,60.因为2x+y≤26,0所以符合条件的有:当x=5时,y=12;当x=6时,y=10;当x=10时,y=6.
故满足条件的围建方案有:AD=5m,DC=12m或AD=6m,DC=10m或AD=10m,DC=6m.
16.解(1)因为这个反比例函数的图象的一支在第一象限,所以5-m>0,解得m<5.
(2)因为点A(2,n)在正比例函数y=2x的图象上,所以n=2×2=4,则点A的坐标为(2,4).
又点A在反比例函数y=的图象上,
所以4=,即5-m=8.
所以反比例函数的解析式为y=.
17.分析(1)利用点N的坐标可求出反比例函数的解析式,据此求点M的坐标.由两点M,N的坐标可求出一次函数的解析式;(2)反比例函数的值大于一次函数的值表现在图象上,就是双曲线在直线的上方,由此可求出x的取值范围.
解(1)把N(-1,-4)代入y=中,得-4=,
所以k=4.反比例函数的解析式为y=.
又点M(2,m)在反比例函数的图象上,所以m=2,即点M(2,2).
把M(2,2),N(-1,-4)代入y=ax+b中,得解得
故一次函数的解析式为y=2x-2.
(2)由题图可知,当x<-1或018.解(1)将B(a,-4)代入一次函数y=x-3中,得a=-1,
即B(-1,-4).
将B(-1,-4)代入反比例函数y=(k≠0)中,得k=4.
故反比例函数的解析式为y=.
(2)如图,设点P的坐标为(m>0),则C(m,m-3),
∴PC=-(m-3),点O到直线PC的距离为m.
∴△POC的面积=m·=3,
解得m=5或m=-2或m=1或m=2.
∵点P不与点A重合,且A(4,1),
∴m≠4.
又m>0,∴m=5或m=1或m=2.
∴点P的坐标为或(1,4)或(2,2).
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