2022-2023学年浙江省台州市椒江区书生中学高一（下）段考数学模拟试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年浙江省台州市椒江区书生中学高一（下）段考数学模拟试卷（3月份）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）设如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）下列结论正确的是（　　）
A．
B．若，则A，B，C，D四点可以构成平行四边形
C．若平面向量与平面向量相等，则向量与是始点与终点都相同的向量
D．向量（2，0）与（1，1）可以作为平面内所有向量的一组基底
3．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ccosAcsinA﹣b+a＝0，则C＝（　　）
A． B． C． D．
4．（5分）设，为非零向量，则“与方向相同”是“∥”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（5分）设，是两个单位向量，且||，那么它们的夹角等于（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）等边△ABC的边长为3，若，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+b2﹣c2＝﹣ab，若c＝3，则△ABC的外接圆的半径为（　　）
A．6 B．3 C．2 D．
8．（5分）如果，是平面内所有向量的一组基底，那么（　　）
A．该平面内存在一向量不能表示，其中m，n为实数
B．若向量与共线，则存在唯一实数λ使得
C．若实数m，n使得，则m＝n＝0
D．对平面中的某一向量，存在两对以上的实数m，n使得
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）已知对任意角α，β均有公式sin2α+sin2β＝2sin（α+β）cos（α﹣β）．设△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）＝sin（C﹣A﹣B），面积S满足1≤S≤2．记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．bc（b+c）＞8
（多选）10．（5分）已知向量（2，1），（﹣3，1），则下列说法正确的是（　　）
A．（）
B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角的余弦值为
D．若（，），则
（多选）11．（5分）在△ABC中，若a＝2bsinA，则B可能为（　　）
A． B． C． D．
（多选）12．（5分）下列结论中正确的有 （　　）
A．对于实数m和向量，，恒有m（）＝mm
B．对于实数m，n和向量，恒有（m﹣n）mn
C．对于实数m和向量，，若mm，则
D．对于实数m，n和向量，若mn，则m＝n
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）已知P1（2，﹣1），P2（0，5）且点P在P1P2的延长线上，，则点P的坐标为　 　．
14．（5分）已知为单位向量，．若，则与的夹角为　 　．
15．（5分）在△ABC中内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若a＝﹣ccos（A+C），则△ABC的形状一定是　 　．
16．（5分）在△ABC中，，AC＝4，若E点在BC边上，且BE＝EC，则　 　．
四．解答题（共5小题，满分70分，每小题14分）
17．（14分）已知向量；
（1）若3与共线，求m；
（2）若，求||．
18．（14分）设向量，，．
（1）当x＝1时，以为基底表示；
（2）若的夹角为锐角，求实数x的取值范围．
19．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB＝2sinA．
（1）求△ABC外接圆的面积；
（2）记△ABC内切圆的半径为r，若Br，求△ABC的面积．
20．（14分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知6sinBsinC＝1﹣cos2C，AD为∠BAC的角平分线．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求AD的长．
21．（14分）已知向量（cos，sin），（cos，﹣sin），函数f（x） m||+1，x∈[，]，m∈R．
（1）当m＝0时，求f（）的值；
（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）＝f（x）m2，x∈[，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
2022-2023学年浙江省台州市椒江区书生中学高一（下）段考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．【答案】D
【解答】解：由于在平行四边形ABCD中，
根据平行四边形的性质：
所以，，，
故选：D．
2．【答案】D
【解答】解：选项A：由已知可得：，故A错误，
选项B：若，则A，B，C，D四点可以构成平行四边形或者A，B，C，D四点共线，故B错误，
选项C：若平面向量与平面向量相等，则始点相同时，终点必须相同，始点不同时终点也不相同，故C错误，
选项D：因为2×1≠0×1，故向量a与向量b不共线，故D正确，
故选：D．
3．【答案】C
【解答】解：由正弦定理可化简成：，
因为A+B+C＝π，
所以sinB＝sin（A+C），
代回上式得：，
所以，
化简得，
又A∈（0，π），
所以sinA≠0，
所以sinC﹣cosC+1＝0，
即2sin（C）＝1，
所以sin（C），
又C∈（，），
所以，
所以，
故选：C．
4．【答案】A
【解答】解：设，为非零向量，若∥，
则与方向相同或相反，
故与方向相同”是“∥”的充分不必要条件，
故选：A．
5．【答案】C
【解答】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，且，
∴．
故选：C．
6．【答案】A
【解答】解：根据题意，等边△ABC的边长为3，则∠BAC＝60°，
若，，则，F为BD的中点，
则有（），
故||222 ，故||；
故选：A．
7．【答案】D
【解答】解：∵a2+b2﹣c2＝﹣ab，
∴cosC，C∈（0，π）．
∴C．
设△ABC的外接圆的半径为R．
∴2R，
解得R．
故选：D．
8．【答案】C
【解答】解：对于A，∵，是平面内所有向量的一组基底，根据平面向量的基本定理可得该平面任一向量一定可以表示，其中m，n为实数，故A错；
对于B，若向量，，则λ不存在；
对于C，∵，是平面内所有向量的一组基底，∴不共线，时，当且仅当m＝n＝0，故正确；
对于D，根据平面向量的基本定理可得该平面任一向量一定可以表示，其中m，n为唯一实数对，故错；
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．【答案】ACD
【解答】解：因为△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）＝sin（C﹣A﹣B），
所以，
所以sin2A+sin2B+sin2C，
所以sin[（A+B）+（A﹣B）]+sin[（A+B）﹣（A﹣B）]+sin2C，
所以，
从而得：，
所以有，故A正确；
设外接圆的半径为R，
由正弦定理可得2R，
所以，
所以，
所以2R∈[4，4]，故B错误；
，故C正确；
bc（b+c）＞abc≥8，故D正确．
故选：ACD．
10．【答案】BD
【解答】解：∵，
∴，因此不与平行，故A错误；
又∵，
∴向量在向量上的投影为
，故B正确；
∵，设与的夹角为β，
则，故C错误；
若（，），则，
即，故D正确．
故选：BD．
11．【答案】AD
【解答】解：由正弦定理可得：2R，则a＝2RsinA，b＝2RsinB，
由a＝2bsinA，则2RsinA＝2×2RsinBsinA，
因为sinA≠0，
则sinB，
由0＜B＜π，
则B，或．
故选：AD．
12．【答案】AB
【解答】解：由数乘向量运算律，得A，B均正确；
对于C，若m＝0，由mm，未必一定有，错误；
对于D，若0，由mn，未必一定有m＝n，错误．
故选：AB．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点P在线段P1P2的延长线上，且，
∴2
∵P1（2，﹣1），P2（0，5）
设P点（x，y），
∴（x﹣2，y+1），（﹣x，5﹣y）
∴
∴x＝﹣2，y＝11
∴P点的坐标为（﹣2，11）．
故答案为：（﹣2，11）
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设与的夹角为θ，
因为||＝1，．，
所以51+2+2，
所以，1，
则cosθ，
所以θ＝45°．
故答案为：45°．
15．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a＝﹣ccos（A+C）＝﹣ccos（π﹣B）＝ccosB＝c，
∴整理可得：a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状一定是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
16．【答案】8．
【解答】解：△ABC中，∵，
∴，
∴，则⊥；
∵BE＝EC，∴，
∴（），
∴（），
∴（） 8．
故答案为：8．
四．解答题（共5小题，满分70分，每小题14分）
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1），，
∵与共线，
∴﹣3（2m+6）﹣13（2﹣3m）＝0，解得；
（2）∵
∴，解得m＝4，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）；
（2）{x|且x≠10}．
【解答】解：（1）当x＝1时，，设，
则（1，5）＝λ（﹣2，3）+μ（2，1），所以，解得，
所以；
（2）因为的夹角为锐角，所以，且不同向，
又，，所以，
故2x+5＞0，且，
故且x≠10，
所以实数x的取值范围为{x|且x≠10}．
19．【答案】（1）3π；
（2）．
【解答】解：（1）设△ABC外接圆的半径为R，
因为，
所以，
所以，
2RsinAsinA，又因为sinA≠0，
解得，
所以△ABC外接圆的面积为3π．
（2）因为，所以b＝3，故．
由余弦定理可得a2+c2﹣ac＝b2＝9，则（a+c）2＝9+3ac．
又，
则，所以a+c﹣3＝3，即a+c＝6．
所以△ABC的面积．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）因为6sinBsinC＝1﹣cos2C，所以6sinBsinC＝1﹣cos2C＝2sin2C，因为0＜C＜π，
所以sinC≠0，得3sinB＝sinC，
由正弦定理得3b＝c．
因为AD为∠BAC的角平分线，
所以∠BAD＝∠CAD．
所以．
（Ⅱ）设△ABC的BC边上的高为h，由（Ⅰ）知，，
所以，
在△ABD中，由余弦定理，得，
在△ACD中，由余弦定理，得，
所以，
即，
解得．
21．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1） （cos，sin） （cos，﹣sin）＝coscossinsincos（）＝cos2x，
当m＝0时，f（x） 1＝cos2x+1，
则f（）＝cos（2）+1＝cos1；
（2）∵x∈[，]，
∴||2cosx，
则f（x） m||+1＝cos2x﹣2mcosx+1＝2cos2x﹣2mcosx，
令t＝cosx，则t≤1，
则y＝2t2﹣2mt，对称轴t，
①当，即m＜1时，
当t时，函数取得最小值此时最小值ym＝﹣1，得m（舍），
②当1，即m＜1时，
当t时，函数取得最小值此时最小值y1，得m，
③当1，即m＞2时，
当t＝1时，函数取得最小值此时最小值y＝2﹣2m＝﹣1，得m（舍），
综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m．
（3）令g（x）＝2cos2x﹣2mcosxm2＝0，得cosx或，
∴方程cosx或在x∈[，]上有四个不同的实根，
则，得，则m，
即实数m的取值范围是m．
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