第三单元 分式（青岛版）
（能力提升）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
（考试时间：120分钟试卷；满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在试卷上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，将答案填在选择题的答题表中。
3．回答第II卷时，将答案直接写在试卷上。
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．在，，，，中，其中是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】根据分式的定义判断即可．
【详解】
解：所给式子中，和是分式，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，注意π不是字母，是常数．
2．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．﹣1＜x＜1 D．x≠±1
【解答】解：∵分式有意义，
∴|x|﹣1≠0，
解得：x≠±1．
故选：D．
3.如果将分式（，均为正数）中字母的，的值分别扩大为原来的3倍，那么分式的值
A．扩大为原来的3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
【解答】解：∵∴分式值不变，故选A
4．若a+b＝3，ab＝﹣7，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：原式，
∵a+b＝3，ab＝﹣7，
∴原式．
故选：C．
5．（2019 甘肃庆阳）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣
＝﹣
＝
＝．
故从第②步开始出现错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．（2019 河北省）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【解析】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝
又∵x为正整数，
∴≤x＜1
故表示﹣的值的点落在②
故选B
7．（2020年福建省中考数学试卷）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
【解析】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
8．(2019 湖南益阳)解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )
A．x+2＝3 B．x－2＝3
C．x－2＝3(2x－1) D．x+2＝3(2x－1)
【考点】分式方程的解法．
【分析】最简公分母是2x－1，方程两边都乘以2x－1，把分式方程便可转化成一元一次方程．
【解答】解：方程两边都乘以2x－1，得：x－2＝3(2x－1)，故选C．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
9.若ab＝﹣4，其中a＞b，以下分式中一定比大的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的约分和减法进行分析即可．
解：A、＝，故此选项不合题意；
B、∵ab＝﹣4＜0，∴﹣＝＜0，故此选项不合题意；
C、﹣﹣＝﹣，
∵，
∴﹣＜，故此选项不合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
10．（2020年山东省枣庄市中考数学试卷）对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为：a b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1 3＝．则方程x （﹣2）＝﹣1的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
解：根据题意，得＝﹣1，
去分母得：1＝2﹣（x﹣4），
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故选：B．
11.若分式方程无解，则a的值（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【解答】解：在方程两边同乘（x+1）得：x﹣a＝a（x+1），
整理得：x（1﹣a）＝2a，
当1﹣a＝0时，即a＝1，整式方程无解，
当x+1＝0，即x＝﹣1时，分式方程无解，
把x＝﹣1代入x（1﹣a）＝2a得：﹣（1﹣a）＝2a，
解得：a＝﹣1，
故选：C．
12.已知a，b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝+，N＝+．
①若ab＝1时，M＝N ②若ab＞1时，M＞N
③若ab＜1时，M＜N ④若a+b＝0，则M N≤0
则上述四个结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵M＝+，N＝+，
∴M﹣N＝M＝+﹣（+）＝+＝＝，
①当ab＝1时，M﹣N＝0，
∴M＝N，故①正确；
②当ab＞1时，2ab＞2，
∴2ab﹣2＞0，
当a＜0时，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，
∴M﹣N＞0或M﹣N＜0，
∴M＞N或M＜N，故②错误；
③当ab＜1时，a和b可能同号，也可能异号，
∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，而2ab﹣2＜0，
∴M＞N或M＜N，故③错误；
④M N＝（+） （+）
＝++，
∵a+b＝0，
∴原式＝+＝＝，
∵a≠﹣1，b≠﹣1，
∴（a+1）2（b+1）2＞0，
∵a+b＝0
∴ab≤0，M N≤0，故④正确．
故选：B．
第II卷（非选择题 共64分）
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.（2020年上海市中考数学试卷）已知f（x）＝，那么f（3）的值是 1 ．
【分析】根据f（x）＝，可以求得f（3）的值，本题得以解决．
【解答】解：∵f（x）＝，
∴f（3）＝＝1，
故答案为：1．
14.（2019·贵州贵阳）若分式的值为0，则x的值是 2 ．
【分析】直接利用分式为零的条件分析得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣2x＝0，且x≠0，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
15．（2020年山东省潍坊市中考数学试卷）若关于x的分式方程+1有增根，则m＝ 3 ．
【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m的值．
解：去分母得：3x＝m+3+（x﹣2），整理得：2x＝m+1，
∵关于x的分式方程有增根，即x﹣2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入到2x＝m+1中得：2×2＝m+1，
解得：m＝3；
故答案为：3．
16.（2019 黑龙江省齐齐哈尔市）关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，则a的取值范围为 ．
【分析】根据解分式方程的方法和方程﹣＝3的解为非负数，可以求得a的取值范围．
【解答】解：﹣＝3，
方程两边同乘以x﹣1，得
2x﹣a+1＝3（x﹣1），
去括号，得
2x﹣a+1＝3x﹣3，
移项及合并同类项，得
x＝4﹣a，
∵关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，x﹣1≠0，
∴，
解得，a≤4且a≠3，
故答案为：a≤4且a≠3．
17． （2019 贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是 ．（n为正整数）
【答案】（﹣1）n ．
【解答】解：第1个数为（﹣1）1 ，
第2个数为（﹣1）2 ，
第3个数为（﹣1）3 ，
第4个数为（﹣1）4 ，
…，
所以这列数中的第n个数是（﹣1）n ．
18. 阅读下面的材料，并解答问题：
分式（）的最大值是多少？
解：，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是，所以的最大值是4，即（x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式的最大值是_______________；
【解答】解：
故答案5
三、解答题（共46分）
19．（6分）（山西省2020年中考数学试题）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；
②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．
【分析】
先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．
【解析】
解：
（2）任务一：
①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
故答案为：三；分式基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
故答案为：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：
解：
．
任务三：
解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键．
20．（8分）（2020年山东省滨州市中考数学试卷）先化简，再求值：1﹣÷；其中x＝cos30°×，y＝（π﹣3）0﹣（）﹣1．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，再计算x，y的值，进而代入得出答案．
解：原式＝1﹣÷
＝1+
＝1+
＝
＝，
∵x＝cos30°×＝×2＝3，y＝（π﹣3）0﹣（）﹣1＝1﹣3＝﹣2，
∴原式＝＝0．
21．（8分）(2019 湖北宜昌)已知：x≠y，y＝－x+8，求代数式的值．
【点评】分式的化简求值．
【分析】先根据分式加减运算法则化简原式，再将y＝－x+8代入计算可得．
【解答】解：原式＝+＝＝，
当x≠y，y＝－x+8时，
原式＝x+（－x+8）＝8．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
22．（8分）已知x＝a+b﹣2，y﹣2ab＝a2+b2
（1）用x表示y；
（2）求代数式（x﹣） + 的值．
【分析】（1）先由已知条件得到a+b＝x+2，y＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，然后利用整体代入的方法可用x表示y；
（2）先把y＝（x+2）2代入得到关于x的代数式，再把括号内通分，约分后进行同分母的加法运算即可．
解：（1）∵x＝a+b﹣2，y﹣2ab＝a2+b2，
∴a+b＝x+2，y＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．
∴y＝（x+2）2；
（2）原式＝ +
＝+
＝+
＝
＝1．
23．（8分）（2020年山东省泰安市中考数学试卷）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．
（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？
【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，根据用8400元购买的B种茶叶比用4000元购买的A种茶叶多10盒，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，根据总利润＝每盒的利润×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，
依题意，得：﹣＝10，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝280．
答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．
（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100﹣m）盒，
依题意，得：（300﹣200）×+（300×0.7﹣200）×+（400﹣280）×+（400×0.7﹣280）×＝5800，
解得：m＝40，
∴100﹣m＝60．
答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．
24．（8分）阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当m≠n时，m2+n≠m+n2．可是我见到有这样一个神奇的等式：()2+=+()2（其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”
小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”
完成下列任务：
（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；
①当a= 2 ，b= 3 时，等式__________（填写“成立”或“不成立”）；
②当a= 3 ，b= 5 时，等式__________（填写“成立”或“不成立”）．
（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明()2+=+()2是否成立．
【解答】解：（1）每空2分①成立；②成立．
（2）解：∵左边＝（）2+==，
右边＝+（）2=+=．
所以等式（）2+=+（）2成立．
25．（8分）阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．
又因为，
所以关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程xq的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，则p＝ ，q＝ ；
（2）方程x8的两个解中较大的一个为 ；
（3）关于x的方程2x2n+2的两个解分别为x1、x2（x1＜x2）．求的值．
【解答】解：（1）由已知可得p＝（﹣2）×3＝﹣6，q＝（﹣2）+3＝1，
故答案为﹣6，1；
（2）∵ab＝7，a+b＝8，
∴a＝1，b＝7，
故答案为7；
（3）∵，
∴，
；
∴2x﹣1＝n+3或2x﹣1＝n﹣2，
∴或，
又∵x1＜x2，
∴，，
∴．第三单元 分式（青岛版）
（能力提升）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
（考试时间：120分钟试卷；满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在试卷上。
2．回答第I卷时，选出每小题答案后，将答案填在选择题的答题表中。
3．回答第II卷时，将答案直接写在试卷上。
第Ⅰ卷（选择题共36分）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．在，，，，中，其中是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．﹣1＜x＜1 D．x≠±1
3.如果将分式（，均为正数）中字母的，的值分别扩大为原来的3倍，那么分式的值
A．扩大为原来的3倍 B．不变
C．缩小为原来的 D．扩大为原来的9倍
4．若a+b＝3，ab＝﹣7，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019 甘肃庆阳）下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2019 河北省）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
7．（2020年福建省中考数学试卷）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
8．(2019 湖南益阳)解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )
A．x+2＝3 B．x－2＝3
C．x－2＝3(2x－1) D．x+2＝3(2x－1)
9.若ab＝﹣4，其中a＞b，以下分式中一定比大的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020年山东省枣庄市中考数学试卷）对于实数a、b，定义一种新运算“ ”为：a b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1 3＝．则方程x （﹣2）＝﹣1的解是（ ）
A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7
11.若分式方程无解，则a的值（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
12.已知a，b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M＝+，N＝+．
①若ab＝1时，M＝N ②若ab＞1时，M＞N
③若ab＜1时，M＜N ④若a+b＝0，则M N≤0
则上述四个结论正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷（非选择题 共64分）
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.（2020年上海市中考数学试卷）已知f（x）＝，那么f（3）的值是 ．
14.（2019·贵州贵阳）若分式的值为0，则x的值是 ．
15．（2020年山东省潍坊市中考数学试卷）若关于x的分式方程+1有增根，则m＝ 3 ．
16.（2019 黑龙江省齐齐哈尔市）关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，则a的取值范围为 ．
17． （2019 贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是 ．（n为正整数）
18. 阅读下面的材料，并解答问题：
分式（）的最大值是多少？
解：，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以的最大值是，所以的最大值是4，即（x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式的最大值是_______________；
三、解答题（共46分）
19．（6分）（山西省2020年中考数学试题）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；
②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
20．（8分）（2020年山东省滨州市中考数学试卷）先化简，再求值：1﹣÷；其中x＝cos30°×，y＝（π﹣3）0﹣（）﹣1．
21．（8分）(2019 湖北宜昌)已知：x≠y，y＝－x+8，求代数式的值．
22．（8分）已知x＝a+b﹣2，y﹣2ab＝a2+b2
（1）用x表示y；
（2）求代数式（x﹣） + 的值．
23．（8分）（2020年山东省泰安市中考数学试卷）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．
（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？
24．（8分）阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当m≠n时，m2+n≠m+n2．可是我见到有这样一个神奇的等式：()2+=+()2（其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”
小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”
完成下列任务：
（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；
①当a= ，b= 时，等式__________（填写“成立”或“不成立”）；
②当a= ，b= 时，等式__________（填写“成立”或“不成立”）．
（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明()2+=+()2是否成立．
25．（8分）阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．
又因为，
所以关于x的方程xa+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程xq的两个解分别为x1＝﹣2、x2＝3，则p＝ ，q＝ ；
（2）方程x8的两个解中较大的一个为 ；
（3）关于x的方程2x2n+2的两个解分别为x1、x2（x1＜x2）．求的值．
