第3章 分式(B卷提升篇）
【青岛版】
考试时间：45分钟 满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人 得 分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（湖南省常德市2017-2018年上学期期终教学质量抽测八年级数学试题）在，，，，中，分式有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．（3分））（2018-2019学年北京市首都师大附属育新学校八年级（上）期中数学试卷）下列各式正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝（a≠0） D．＝
3．（3分）（2018-2019学年湖南师大附中梅溪湖中学八年级（上）期末数学试卷）如果分式的值等于0，则x的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．2或0
4．（3分）（2019年山东省济南市莱芜区中考数学试卷）为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放型单车，型单车的投放数量与型单车的投放数量相同，投资总费用减少，购买型单车的单价比购买型单车的单价少50元，则型单车每辆车的价格是多少元？设型单车每辆车的价格为元，根据题意，列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
5．（3分）（2019 河北省）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
6．（3分）（2018-2019学年北京市首都师大附属育新学校八年级（上）期中数学试卷）与分式相等的是（ ）
A． B． C．﹣ D．
7．（3分）（2018-2019学年贵州省安顺市八年级（上）期末数学试卷）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（ ）
A．0 B．12 C．10 D．8
8．（3分）（2018-2019学年辽宁省大连市高新区八年级（上）期末数学试卷）若xy﹣x+y＝0且xy≠0，则分式的值为（ ）
A． B．xy C．1 D．﹣1
9．（3分）(2018-2019学年湖北省鄂州市八年级（上）期末数学试卷)若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值为（ ）
A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5
10．（3分）（2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德教育集团八年级（上）期末数学试卷）关于x分式方程﹣＝1的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＞2且m≠3 D．m≠1
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人 得 分
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2018-2019学年辽宁省大连市高新区八年级（上）期末数学试卷）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）（2019年山东省滨州市中考数学试卷（A卷））方程+1＝的解是 ．
13．（3分）（2018-2019学年山东省临沂市蒙阴县八年级（上）期末数学试卷）若（x﹣y﹣2）2+|xy+3|＝0，则（+）的值是 ．
14．（3分）（2019年山东省烟台市中考数学试卷）若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则m的值为 ．
15．（3分）（2018-2019学年广东省汕头市潮阳区铜盂镇八年级（上）期末数学试卷）若m+n＝1，mn＝2，则的值为 ．
16．（3分）（2018-2019学年贵州省安顺市八年级（上）期末数学试卷）对于实数a，b定义一种新运算“ ”：a b＝，例如，1 3＝＝﹣．则方程x 2＝﹣1的解是 ．
17．（3分）（2019 贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是 ．（n为正整数）
18．（3分）(2018-2019学年湖北省鄂州市八年级（上）期末数学试卷)已知三个数x，y，z满足，，，则的值为_____ ．
评卷人 得 分
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（6分）（2019年山东省菏泽市中考数学试卷）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝y+2019．
20．（6分）(2018-2019学年湖北省鄂州市八年级（上）期末数学试卷)化简 ﹣，并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．
21．（6分）(2018-2019学年湖北省鄂州市八年级（上）期末数学试卷)某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
22．（6分）（2018-2019学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．
23．（8分）（2018-2019学年北京市首都师大附属育新学校八年级（上）期中数学试卷）阅读下列材料：＝（1﹣），＝（﹣），＝（﹣），＝（﹣）
∴+++…+＝（1﹣+﹣+﹣+…+ ）＝
（1）利用上述结论计算+++…；
（2）解方程++＝1
24．（12分）阅读下面材料：
丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，丽丽发现像m+n，mnp，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式．
她还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是丽丽把mn和m+n称为基本神奇对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式①，②m2﹣n2，③，④xy+yz+zx中，属于神奇对称式的是 （填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．
①q＝ （用含m，n的代数式表示）；
②若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式＝ ；
③若﹣q＝0，求神奇对称式的最小值．第3章 分式(B卷提升篇）(青岛版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（湖南省常德市2017-2018年上学期期终教学质量抽测八年级数学试题）在，，，，中，分式有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【思路分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解析】解：在，，，，中分式有，两个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数，特别注意不是字母．
2．（3分）（2018-2019学年北京市首都师大附属育新学校八年级（上）期中数学试卷）下列各式正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝（a≠0） D．＝
【解析】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、（a≠0），正确；
D、，故本选项错误；
故选：C．
3．（3分）（2018-2019学年湖南师大附中梅溪湖中学八年级（上）期末数学试卷）如果分式的值等于0，则x的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣2或2 D．2或0
【思路分析】分式的值为零：分子为零，且分母不为零．据此求解可得．
【解析】解：由题意知|x|﹣2＝0且x2+2x≠0，
解得x＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．（3分）（2019年山东省济南市莱芜区中考数学试卷）为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元购买并投放一批型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放型单车，型单车的投放数量与型单车的投放数量相同，投资总费用减少，购买型单车的单价比购买型单车的单价少50元，则型单车每辆车的价格是多少元？设型单车每辆车的价格为元，根据题意，列方程正确的是
A．
B．
C．
D．
【思路分析】设型单车每辆车的价格为元，则型单车每辆车的价格为元，依据“型单车的投放数量与型单车的投放数量相同”列出关于的方程．
【解析】解：设型单车每辆车的价格为元，则型单车每辆车的价格为元，
根据题意，得
故选：．
【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
5．（3分）（2019 河北省）如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【解析】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝
又∵x为正整数，
∴≤x＜1
故表示﹣的值的点落在②,故选B
6．（3分）（2018-2019学年北京市首都师大附属育新学校八年级（上）期中数学试卷）与分式相等的是（ ）
A． B． C．﹣ D．
【解析】解：分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变，
因而在分式的分子、分母上同时乘以﹣1分式的值不变，原分式分子分母都乘以﹣1，可得﹣．
故选：C．
7．（3分）（2018-2019学年贵州省安顺市八年级（上）期末数学试卷）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（ ）
A．0 B．12 C．10 D．8
【思路分析】首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可．
【解析】解：÷
＝
＝
＝
＝，
∵a为整数，且分式的值为正整数，
∴a﹣3＝1，3，
a＝4，6，
∴所有符合条件的a的值的和：4+6＝10．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确分解因式是解题的关键．
8．（3分）（2018-2019学年辽宁省大连市高新区八年级（上）期末数学试卷）若xy﹣x+y＝0且xy≠0，则分式的值为（ ）
A． B．xy C．1 D．﹣1
【思路分析】首先由xy﹣x+y＝0得出xy＝x﹣y，进一步整理分式＝，整体代换求得数值即可．
【解析】解：∵xy﹣x+y＝0，
∴xy＝x﹣y，
∴＝＝＝﹣1．
故选：D．
【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握分式的计算方法以及整体代入的思想是解决问题的关键．
9．（3分）(2018-2019学年湖北省鄂州市八年级（上）期末数学试卷)若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值为（ ）
A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5
【思路分析】方程无解即是分母为0，由此可得：原分式方程中的分母为0：x＝0或x＝3，解方程后x＝﹣，分母2m+1＝0，解出即可．
【解析】解：﹣1＝，
方程两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+2m）﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3），
整理，得：（2m+1）x＝﹣6，
x＝﹣，
∵原分式方程无解，
∴2m+1＝0或﹣＝3或﹣＝0，
解得：x＝﹣0.5或x＝﹣1.5，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型，分式方程无解，则分母为0．
10．（3分）（2018-2019学年湖南省长沙市天心区明德教育集团八年级（上）期末数学试卷）关于x分式方程﹣＝1的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＞2 C．m＞2且m≠3 D．m≠1
【解析】解：去分母得：m﹣3＝x﹣1，
解得：x＝m﹣2，
由分式方程的解为正数，得到m﹣2＞0，且m﹣2≠1，
解得：m＞2且m≠3．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）（2018-2019学年辽宁省大连市高新区八年级（上）期末数学试卷）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
【思路分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
【解析】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得，x≠3．
故答案为：x≠3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，分母不等于0，分式无意义，分母等于0．
12．（3分）（2019年山东省滨州市中考数学试卷（A卷））方程+1＝的解是 ．
【思路分析】公分母为（x﹣2），去分母转化为整式方程求解，结果要检验．
【解析】解：去分母，得x﹣3+x﹣2＝﹣3，
移项、合并，得2x＝2，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣2≠0，
所以，原方程的解为x＝1，
故答案为：x＝1．
【点睛】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．
13．（3分）（2018-2019学年山东省临沂市蒙阴县八年级（上）期末数学试卷）若（x﹣y﹣2）2+|xy+3|＝0，则（+）的值是 ﹣ ．
【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据非负数的性质得出x﹣y和xy的值，继而代入计算可得．
【解析】解：原式＝（﹣）÷
＝ y
＝，
∵（x﹣y﹣2）2+|xy+3|＝0，
∴x﹣y＝2，xy＝﹣3，
则原式＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及非负数的性质．
14．（3分）（2019年山东省烟台市中考数学试卷）若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则m的值为 ．
【解析】解：方程两边都乘（x﹣2），
得3x﹣x+2＝m+3
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣2）＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝3．
故答案为3．
15．（3分）（2018-2019学年广东省汕头市潮阳区铜盂镇八年级（上）期末数学试卷）若m+n＝1，mn＝2，则的值为 ．
【解析】解：∵m+n＝1，mn＝2，
∴原式＝＝．
故答案为：
16．（3分）（2018-2019学年贵州省安顺市八年级（上）期末数学试卷）对于实数a，b定义一种新运算“ ”：a b＝，例如，1 3＝＝﹣．则方程x 2＝﹣1的解是 ．
【思路分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出分式方程的解即可．
【解析】解：根据题中的新定义，化简得：＝﹣1，
去分母得：1＝2﹣x+4，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是分式方程的解，
故答案为：x＝5．
【点睛】此题考查了解分式方程以及实数的运算，解分式方程时，一定要检验．弄清题中的新定义是解本题的关键．
17．（3分）（2019 贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是 ．（n为正整数）
【解析】解：第1个数为（﹣1）1 ，
第2个数为（﹣1）2 ，
第3个数为（﹣1）3 ，
第4个数为（﹣1）4 ，
…，
所以这列数中的第n个数是（﹣1）n ．
18．（3分）(2018-2019学年湖北省鄂州市八年级（上）期末数学试卷)已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ﹣4 ．
【思路分析】所求式子分子分母除以xyz变形后，将已知三等式左边变形后代入计算即可求出值．
【解析】解：∵＝﹣2，＝，＝﹣，
∴+＝﹣， +＝， +＝﹣，
∴++＝﹣，
则＝＝﹣4．
故答案为：﹣4
【点睛】此题考查了分式的化简求值，将已知等式及所求式子进行适当的变形是解本题的关键．
三．解答题（共5小题，满分46分）
19．（6分）（2019年山东省菏泽市中考数学试卷）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝y+2019．
【思路分析】根据分式的减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后将x＝y+2019代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】解：（﹣1）÷
＝
＝﹣（2y﹣x﹣y）
＝x﹣y，
∵x＝y+2019，
∴原式＝y+2019﹣y＝2019．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（6分）(2018-2019学年湖北省鄂州市八年级（上）期末数学试卷)化简 ﹣，并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．
【思路分析】原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解析】解：原式＝ +＝+＝＝＝，
∵a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，
∴1＜a＜5，即a＝2，3，4，
当a＝2或a＝3时，原式没有意义，
则a＝4时，原式＝1．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及三角形三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（6分）(2018-2019学年湖北省鄂州市八年级（上）期末数学试卷)某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．
（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
【思路分析】（1）可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数；
（2）可设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成2400个零件的生产任务，列出方程求解即可．
【解析】解：（1）设原计划每天生产的零件x个，依题意有
＝，
解得x＝2400，
经检验，x＝2400是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷2400＝10（天）．
答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；
（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有
[5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）＝24000，
解得y＝480，
经检验，y＝480是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为480人．
【点睛】考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
22．（6分）（2018-2019学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：
（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．
【解析】解：（1）设被手遮住部分的代数式为A．
则[A﹣]×＝，
（A﹣）×＝，
A﹣＝，
则A＝+＝．
（2）不能，
理由：若能使原代数式的值能等于﹣1，
则，即x＝0，
但是，当x＝0时，原代数式中的除数，原代数式无意义．
所以原代数式的值不能等于﹣1．
23．（8分）（2018-2019学年北京市首都师大附属育新学校八年级（上）期中数学试卷）阅读下列材料：＝（1﹣），＝（﹣），＝（﹣），＝（﹣）
∴+++…+＝（1﹣+﹣+﹣+…+ ）＝
（1）利用上述结论计算+++…；
（2）解方程++＝1
【解析】解：原式＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝；
故答案为：﹣，；
（1）根据题意得：原式＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝；
（2）分式方程整理得：+（﹣+﹣）＝1，即＝1，
去分母得：x﹣6＝，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
24．（12分）阅读下面材料：
丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，丽丽发现像m+n，mnp，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是她把这样的式子命名为神奇对称式．
她还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是丽丽把mn和m+n称为基本神奇对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式①，②m2﹣n2，③，④xy+yz+zx中，属于神奇对称式的是 （填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．
①q＝ （用含m，n的代数式表示）；
②若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式＝ ；
③若﹣q＝0，求神奇对称式的最小值．
【解析】解：（1）代数式①，②m2﹣n2，③，④xy+yz+zx中，属于神奇对称式的是①，④．
故答案为①，④；
（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn，（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q，
∴x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q，
∴q＝mn．
故答案为mn；
②∵x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q，
∴p＝m+n，q＝mn．
∵p＝3，q＝﹣2，
∴m+n＝3，mn＝﹣2，
∴＝＝＝﹣．
故答案为﹣；
③∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣px+q，
∴p＝m+n，q＝mn．
∴
＝m2++n2+
＝（m+n）2﹣2mn+
＝p2﹣2q+．
∵﹣q＝0，
∴p2＝q2，即q＝±p．
（i）当q＝p时，
∴原式＝p2﹣2p+1＝（p﹣1）2≥0；
（ii）当q＝﹣p时，
∴原式＝p2+2p﹣1＝（p+1）2﹣2≥﹣2．
综上，的最小值为﹣2．
