9.3 平行四边形（第3课时）（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共34张PPT)
第9章 · 中心对称图形——平行四边形
9.3　平行四边形（3）
第3课时　从对角线的关系判定平行四边形
学习目标
1. 探索并证明平行四边形的判定定理3；
2.能运用平行四边形的判定定理解决简单的问题;
3.从简单的数学例子中体会反证法的含义.
问题情境
1. 我们学会了几种证明平行四边形的方法？
2. “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”与“平行四边形的两组对边相等”有什么联系和区别？
3. “平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是什么？是真命题还是假命题？
操作与思考
C
A
D
B
O
2.在直线a上截取OA＝OC，在直线b上截取OB＝OD，
1.画两条相交直线a、b，设交点为O.
a
b
连接AB、BC、CD、DA.
操作与思考
(1)线段AB、CD平行吗？为什么？
线段AD、BC呢？
解：在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD(SAS).
∴∠BAO=∠DCO，
∴ AB∥CD.
A
D
B
O
a
b
C
同理AD∥BC.
操作与思考
(2)四边形ABCD是平行四边形吗？
由此你能得到什么结论？
由(1)AD∥BC，AB//DC，
A
D
B
O
a
b
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
还有其他证明方法吗
新知归纳
B
A
D
C
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
符号语言：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
新知应用
A
1. 如图，AD是△ABC的中线.
(1)画图：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，CE；
(2)判断四边形ABEC是平行四边形吗？证明你的结论.
B
C
D
E
解：(2)四边形ABEC是平行四边形.
证明如下：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵ED=AD，
∴四边形ABEC是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
新知应用
2. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、 G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
B
A
D
C
E
G
O
H
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵点E、F、 G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴OE=OA，OG=OC，OF=OB，OH=OD，
∴OE=OG，OH=OF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
例题讲解
例 已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在AC上，且AE＝CF.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
B
A
D
C
E
F
证明：连接BD，BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即 OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形
(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
还有其他证明方法吗
O
例题讲解
例 已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在AC上，且AE＝CF.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
B
A
C
E
F
O
证法2：连接BD，BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE=DF.
同理BF=DE.
∴四边形EBFD是平行四边形.
D
例题讲解
B
A
D
C
E
F
变式1 若将条件“AE＝CF去掉，当点E、F满足什么条件时，四边形EBFD是平行四边形？你能解决这个问题吗？试一试.
解：当BE∥DF时，四边形EBFD是平行四边形.
O
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD.
∵BE∥DF，
∴∠BEO=∠DFO.
∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴BE=DF.
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形.
新知巩固
B
A
D
C
O
变式2 如图， ABCD中，已知两条对角线相交于点O， E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形．
E
G
H
F
新知巩固
B
A
D
C
F
E
1. 已知，如图，在 ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.
求证：四边形AECF是平行四边形．
O
解：连接AC交BD于点O．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AO=CO，AB=DC，AB∥DC，
∴∠ABE=∠CDF,
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形．
还有其他证明方法吗
新知巩固
2. 已知：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，G、H分别为OB，OD的中点，过点O的直线分别交BC，AD于点E、F.
求证：四边形GEHF是平行四边形．
D
F
B
C
A
O
G
E
H
解：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AD // BC，OA=OC，OB=OD.
∵G、H分别为OB，OD的中点，
∴ OG=OB，OH=OD，
∴OG=OH.
易证△COE ≌△AOF ，
∴OE=OF.
∴四边形GEHF 是平行四边形.
归纳提升
平行四边形 性 质 判 定
角
对角线
对边平行
对边相等
对角相等
对角线互相平分
边
两组对边分别相等的四边形
两组对边分别平行的四边形
一组对边平行且相等的四边形
对角线互相平分的四边形
讨论与交流
讨论:如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形. 试证明这个结论.
B
A
D
C
O
证明：假设四边形ABCD是平行四边形，
那么OA=OC，OB=OD，
这与条件OB≠OD矛盾.
所以四边形ABCD不是平行四边形
新知归纳
在以上的证明中，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立. 这种证明的方法称为反证法（reduction to absurdity）.
新知巩固
1. 如图，BD、CE分别是△ABC的边AC、AB上的中线．
求证：BD、CE不能互相平分．
证明：连接DE，
假设__________________，即OB＝OD，OC＝OE，
∴四边形EBCD是_____________，
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
∴BE∥CD，这与__________相交于点A相矛盾，
∴假设________，从而________________________．
BD、CE互相平分
平行四边形
BE、CD
不成立
BD、CE不能互相平分
A
B
C
D
E
O
新知巩固
2. “在一个三角形中，如果两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等”这个命题正确吗？若正确，证明你的结论.
A
B
C
解：已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，
求证：∠B≠∠C.
证明：假设∠B=∠C，
∴ AB=AC(等角对等边).
这与已知AB≠AC相矛盾，
∴假设不成立，
∴∠B≠∠C.
归纳总结
反证法的步骤：
用反证法证明问题，通常分为三步：
1. 一是“反设”，即设命题结论的反面成立；
2. 二是“推出矛盾”，从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与学过的定理、公理或已知条件相矛盾；
3. 三是“得出原命题正确”．得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立.
矛盾的来源：
1. 与原命题的条件矛盾；2. 导出与假设相矛盾的命题；3. 导出一个恒假命题.
课堂小结
9.3 平行四边形(3)
平行四边形的性质与判定的综合运用
平行四边形的判定定理3
反证法
当堂检测
1. 根据下列条件，不能判定四边形为平行四边形的是 ( )
A. 两组对边分别相等
B. 两条对角线互相平分
C. 两条对角线相等
D. 两组对边分别平行
C
当堂检测
2.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形 ( )
A. OA=OC，OB=OD B. AB=CD，AO=CO
C. AB=CD，AD=BC D. ∠BAD=∠BCD，AB∥CD
B
O
D
A
C
B
当堂检测
3. 选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°．求证：∠A、∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设 ( )
A. ∠A>45°，∠B>45°
B. ∠A≥45°，∠B≥45°
C. ∠A<45°，∠B<45°
D.∠A≤45°，∠B≤45°
A
当堂检测
4.小玲的爸爸在钉平行四边形框架时，采用了一种方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是______________________________________.
对角线互相平分的四边形是平行四边形
当堂检测
5. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．请你给出两种添加方案：(1)_________________________；(2)_________________________．
B
O
D
A
C
OB＝OD
AB∥CD　(答案不唯一)
当堂检测
6. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的有______种．
3
7. 用反证法证明“三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设这个三角形中________________________．
至少有两个角是钝角
当堂检测
8. 如图，在 ABCD中，过其对角线的交点O，引一条直线交BC于E，交AD于F，若AB＝2.4cm，BC＝4cm，OE＝1.1cm．则四边形CDFE的周长为多少？
D
A
C
E
F
B
O
2.4cm
4cm
1.1cm
四边形CDFE的周长
=CD+DE+EF+CE
=2.4+4+1.1+1.1
=8.6cm
当堂检测
9. ABCD中，AF＝CH，DE＝BG，求证：EG和HF互相平分．
A
D
C
B
F
E
G
H
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A= ∠C.
∵DE=BG，
∴AD-ED=CB-GB，即AE=CG.
在△AEF和△CGH中，
∴△AEF≌△CGH(SAS)
∴EF=GH.
同理FG=HE
∴四边形EFGH是平行四边形.
∴EG和HF互相平分.
思维拓展
1.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？
A1
A3
A2
A
B
C
思维拓展
2.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝5，E，F为直线BD上的两个动点(点E，F始终在 ABCD的外面)，连接AE，CE，CF，AF.(1)若DE＝OD，BF＝OB，①求证：四边形AFCE为平行四边形；
A
D
C
B
F
E
O
证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.
∵DE＝OD，BF＝OB，∴DE＝BF，
∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形．
思维拓展
②若CA平分∠BCD，∠AEC＝60°，求四边形AFCE的周长；
A
D
C
B
F
E
O
②解：在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA.∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠DCA，∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD.∵OA＝OC，
∴OE⊥AC，∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE.∵∠AEC＝60°，
∴△ACE是等边三角形，∴AE＝CE＝AC＝2OA＝10，∴四边形AFCE的周长是2(AE＋CE)＝2×(10＋10)＝40.
思维拓展
(2)若DE＝OD，BF＝OB，四边形AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由.若DE＝OD，BF＝OB呢？请直接写出结论.
解：(2)若DE＝OD，BF＝OB，
四边形AFCE是平行四边形，
理由：∵DE＝OD，BF＝OB，OD＝OB，∴DE＝BF，
∴OB＋BF＝OD＋DE，即OF＝OE.
∵OA＝OC，∴四边形AFCE为平行四边形．若DE＝OD，BF＝OB，则四边形AFCE为平行四边形．
A
D
C
B
F
E
O