9.3平行四边形（第2课时）（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共31张PPT)
第9章 · 中心对称图形——平行四边形
9.3　平行四边形（2）
第2课时　从边的关系判定平行四边形
学习目标
1. 探索并证明平行四边形的判定定理1、2；
2.能运用平行四边形的判定定理解决简单的问题.
知识回顾
B
A
D
C
O
平行四边形的定义是什么？平行四边形具有哪些性质？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.
满足什么条件的四边形是平行四边形呢？
操作与思考
在方格纸上画两条互相平行并且相等的线段AD、BC，连接AB、DC.
A
D
B
C
操作与思考
1.线段AB与线段DC是否互相平行？为什么？
思考：
A
D
B
C
同位角相等，
两直线平行.
2.四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
操作与思考
思考：
A
D
B
C
∵AD//BC，AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
由此你能得到什么结论？
如何证明呢？
已知：如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC.
操作与思考
A
D
B
C
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：连接AC.
∵AD∥BC，
∴∠BCA=∠DAC.
在△BCA和△DAC中，
∴ △BCA≌△DAC.
∴ ∠BAC=∠DCA.
∴ AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
新知归纳
B
A
D
C
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：
∵AD//BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
1. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？如果是，加以证明；如果不是，举出反例.
B
A
D
C
解：不是，如图，
在四边形ABCD中，AD//BC，AB=DC，
四边形ABCD是等腰梯形不是平行四边形.
讨论与交流
讨论与交流
2. 如图，AD∥BC，点E在BC上，且AD=BE=EC . 找出图中的平行四边形.
B
A
D
C
E
解：四边形ABED、AECD为平行四边形.
讨论与交流
3. 在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC. 四边形ABCD是平行四边形吗？证明你的结论.
A
D
B
C
证明：连结AC.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(SSS).
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
∴ AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
还有其他证明方法吗
∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
新知归纳
B
A
D
C
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
你学会了几种证明平行四边形的方法了？
新知归纳
3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
注意：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定为平行四边形.
从边的关系判定平行四边形
例题讲解
例 已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
B
A
D
C
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC
(平行四边形的对边平行且相等).
∵AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
即 DE=BF.
∴四边形BFDE是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
还有其他证明方法吗
例题讲解
例 已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
B
A
D
C
E
F
证法2：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C.
∵AE=CF，
∴△ABE≌△CDF.
∴BE=DF.
∵AE=CF，AD=BC，
∴AD-AE=BC-CF，
即 DE=BF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
例题讲解
例1 已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
B
A
D
C
E
F
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠AEB=∠EBC.
∴∠CFD=∠EBC.
∴BE∥DF.
证法3：易证△ABE≌△CDF.
∴∠AEB=∠CFD.
∴四边形BFDE是平行四边形.
B
A
D
C
E
F
变式 已知：如图，在 ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F.
求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，∴∠ABC=∠ADC.
∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，
∴∠EBC=∠ABC，∠ADF=∠ADC.
∴∠EBC=∠ADF.
又∵AD// BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∴∠EBC=∠DFC，
∴BE // DF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
例题讲解
新知巩固
1. 对于四边形ABCD，如果从条件 ①AB∥CD ②AD∥BC ③AB=CD
④BC=AD中选出2个，那么能说明四边形ABCD是平行四边形的有___
(填序号，填出符合条件的一种情况即可)
B
A
D
C
① ②
③ ④
① ③
② ④
新知巩固
2. 在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C.四边形ABCD是平行四边形吗？证明你的结论.
B
A
D
C
解：四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
证明：如图，∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°.
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠B=180°.
∴ AB∥CD.
∴四边形BFDE是平行四边形.
新知巩固
A
B
C
D
N
M
3. 已知：如图，在 ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交对角线AC于M、N. 求证：四边形BMDN是平行四边形.
证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AB=CD.
∵BM、DN分别是∠ABC、∠ADC的平分线，
∴∠ABM=∠ABC，∠CDN=∠ADC.
∴∠ABM=∠CDN.
∵AB∥CD
∴∠BAM=∠DCN.
∴△ABM≌△CDN.
∴BM=DN，∠AMB=∠CND.
∴∠BMN=∠DNM.
∴BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形.
例2 已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在AB、BC上，且ED∥BC，EF∥AC. 求证：BE=CF.
A
B
C
D
F
E
证明：∵ED∥BC，EF∥AC，
∴四边形 CDEF是平行四边形.
∴ED=CF.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBD=∠DBC.
∵ED// BC，
∴∠EDB=∠DBC.
∴∠EDB=∠EBD.
∴BE=ED.
∴BE=CF.
思维提升
课堂小结
9.3 平行四边形(2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
1.如图，已知四边形ABCD，则下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A. AB=CD，AB∥CD
B. AB=CD，AD=BCC. AB∥CD，AD∥BC
D. AB∥CD，AD=BC
当堂检测
D
B
A
D
C
当堂检测
2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是(　　)A．AB∥CD B．∠B＝∠D C．AD＝BC D．AB＝CD
D
B
A
D
C
3. 如图，在四边形ABCD中，E是AB边的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于F点，BC＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是(　　)A．AB＝CD
B．AB＝CFC．∠A＝∠C
D．∠F＝∠ADE
当堂检测
D
A
B
C
D
E
F
当堂检测
4.如图， ABCD中，点E在CD的延长线上，AE∥BD，EC＝4，则AB的长是_____.
A
B
C
D
E
2
当堂检测
5. 在四边形ABCD中，∠A= ∠C，∠B =∠D.四边形ABCD是平行四边形吗？证明你的结论.
解：四边形ABCD是平行四边形，
理由如下：
∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.
∵∠A＝∠C，∠B =∠D，
∴∠C＋∠B＝180°，
∠C＋∠D＝180°，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
A
D
C
B
当堂检测
6.如图，在 ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE＝CF，连接CE、AF、BE、DF，则图中除 ABCD外还有几个平行四边形？请一一指出来，并说明理由．
解：四边形AFCE、四边形BEDF和四边形FHEG是平行四边形，共3个．理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=CF，AD＝BC，
∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF.
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵BE∥DF，AF∥CE，∴四边形FHEG也是平行四边形．
B
A
D
C
H
G
E
F
证明： ∵△BCE，△ACF，△ABD都是等边三角形，∴AB＝AD，AC＝CF，BC＝CE，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE－∠ACE＝∠ACF－∠ACE，即∠BCA＝∠FCE.
在△BCA和△ECF中，
∴△BCA≌△ECF，
∴AB＝EF.∵AB＝AD，
∴AD＝EF.同理DE＝AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
当堂检测
7.如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形BCE，等边三角形ACF，连接DE、EF.
求证：四边形ADEF是平行四边形．
B
A
D
C
E
F
当堂检测
A
B
C
D
E
F
8.如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边的中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接BF，CD.
求证：四边形CDBF是平行四边形.
证明：∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠EBD.∵E是BC的中点，
∴CE＝BE.∵∠CEF＝∠BED，∴△CEF≌△BED(ASA)，∴CF＝BD.
又∵CF∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形．
思维提升
9.如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发，沿射线BC以2 cm/s的速度运动.如果点E，F同时出发，设运动时间为t s，当t＝________时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形.
2或6
A
B
D
E
F
G
C