12.5用数轴上的点表示实数（教学课件）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

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12.5 用数轴上的点表示实数
2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件
我们知道,每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
问题
一个无理数可以在数轴上表示出来吗？
探究： 能不能在数轴上找的表示 π 的点呢？
因为半径为 1 的圆的周长为 π，所以数轴上点 A 表示的数是无理数 π.
0
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
A
思考：你能在数轴上表示出 和 - 吗？
1
1
1
1
把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，由大正方形的面积为 2 可知其边长为 ，从而说明边长为 1 的小正方形的对角线长为____.
－2
－1
0
1
2
-
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反过来，数轴上的每一点都表示一个实数.
★实数和数轴上的点是一一对应的.
例题1 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ，点 B 关于点 A 的对称点为 C，求点 C 所表示的实数．
解：∵数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ，
∴点 B 到点 A 的距离为1＋ ，则点 C 到点 A 的距离为 1＋ .
设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x，
∴－1－x ＝ 1＋ ，
∴x ＝ －2－ .
本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点 B 关于点 A 的对称点为点 C 时，点 C 到点 A 的距离等于点 B 到点 A 的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值．
总结
例题2 如图所示，数轴上 A，B 两点表示的数分别为
和 5.1，则 A，B 两点之间表示整数的点共有(　　)
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
C
数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论．
总结
解析：∵ ≈1.414，∴ 和 5.1 之间的整数有 2，3，4，5， ∴ A，B 两点之间表示整数的点共有 4 个．
任意一个无理数，要在数轴上确定表示它的点可用“夹逼”的方法解决.
例如，无理数 =1.587 401052….取小数位数相同的两个有限小数 , ,得 设 在数轴上所对应的点分别为T1和T2,那么表示 的点在线段T1T2内，而T1T2的长等于0.01.我们可以想象，如果所取的两个有限小数 的小数位数越多，那么线段T1T2的长度越小;而且随着所取小数的位数不断增加，线段T1T2的长度越来越接近于0,最后收缩为一点T,这就是在数轴上表示 的点,并且是唯一的。
许多无理数都可以用画图的方法找到数轴上的一个点来表示它.一般地,我们可以用无限不循环小数的近似值来确定这个点的位置,这里不再进一步讨论.
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,而且这样的点是唯一的，它是这个实数在数轴上所对应的点.事实上,全体实数所对应的点布满整个数轴，
反过来，数轴上的每一个点也都可以用唯一的一个实数来表示.
一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数a的绝对值记作|a|.
绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数;零的相反数是零，非零实数a的相反数是-a.
注意：有理数范围内已有的绝对值、相反数等概念,在实数范围内有同样的意义.
两个实数也可以比较大小,其大小顺序的规定同有理数一样.
负数小于零;零小于正数.
两个正数,绝对值大的数较大;两个负数,绝对值大的数较小.
从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.
比较大小
与有理数一样，实数也可以比较大小：
数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.
－2
－1
0
1
2
-
与有理数一样，在实数范围内：
正实数大于零，负实数小于零，正实数
大于负实数.
例题3 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们.
-2 -1 0 1 2 3
1
-2
熟记常见数的算术平方根的约数值有助于解题.
例题4 比较下列每组数的大小：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
解：
正实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行：
例题5试估计 与 的大小关系
解：用计算器求得　　 　
而　
所以　　　　　
借用数轴求两点之间的距离
问题：我们能否不用测量而用数字计算出线段的长？
例题6 已知数轴上的四点A、B、C、D所对应的实数依次是 、 、 、 ，O为原点，请在数轴上画出这四点。
求（1）线段OA、OB、OC、OD的长度.
（2）求线段BC的长度.
数轴上两点间距离公式：
在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b,那么A、B两点的距离：
1.如图，数轴上表示实数的点可能是(　B　)
B
A.点P B.点Q
C.点R D.点S
解：∵9＞7＞4，∴＞＞，
∴3＞＞2.故选B.
2.如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点
的距离相等，则点B表示的数是 .
－　
3. 比较大小：3_____2 ，
______1(填“＞”或“＜”).
＞
＜
4. 如图，数轴上表示1和的点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等，设点C表示的数为x.
(1)写出实数x的值；
【解】x＝－1.
(2)求(x－)2的立方根.
【解】(x－)2的立方根为1.
___________
无限不循环小数
有限小数或__________
正有理数
_______
________
正无理数
_______
有理数
无理数
实数
数轴
数与点的对应
无限循环小数
0
负有理数
负无理数
谢谢