9.5.2多项式的因式分解-公式法（同步课件）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共41张PPT)
第9章整式乘法与因式分解
9.5.2多项式的因式分解
-公式法
教学目标
01
熟悉乘法公式的结构特征，能运用公式法进行因式分解
02
能在实数范围内分解因式
03
综合运用两个公式法因式分解；综合运用提公因式法与公式法因式分解，理解提公因式法的优先性
公式法
—平方差公式
Q1：已知a+b=7，b-a=2，则a2-b2=________。
01
情境引入
【分析】
a2-b2=(a+b)(a-b)=7×(-2)=-14。
-14
Q2：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)与平方差公式有何关联？
(2)a2-b2=(a+b)(a-b)是因式分解吗？
01
情境引入
【分析】(1)a2-b2=(a+b)(a-b)即平方差公式的逆用；
a2-b2 (a+b)(a-b)
(2)是，符合因式分解的定义：把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
因式分解（公式法）
平方差公式
【公式法——平方差公式】
a2-b2=(a-b)(a+b)
公式法
02
知识精讲
请分析上述公式的结构特征：
【结构特征】
公式的左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这两个数的差的积。
【分析】
(1)原式=(m+n)(m-n)
将2x、3y分别看作整体
02
知识精讲
(2)原式=(2x)2-(3y)2
=(2x+3y)(2x-3y)
分解因式：(1)m2-n2； (2)4x2-9y2； (3)x2-0.16y2；
(3)原式=(x)2-(y)2
=(x+y)(x-y)
将x、y分别看作整体
02
知识精讲
分解因式：(4)x4-1；
(4)原式=(x2)2-12
=(x2+1)(x+1)(x-1)
将x2看作整体
=(x2+1)(x2-1)
(x2-1)
因式分解要彻底！！！
02
知识精讲
分解因式：(5)(a+b+c)2-(a+b-c)2；
(5)原式=[a+b+c+(a+b-c) ][a+b+c+(a+b-c)]
=(2a+2b)·2c
将(a+b+c)、(a+b-c)分别看作整体
=2(a+b)·2c
=4c(a+b)
因式分解要彻底！！！
(2a+2b)
02
知识精讲
分解因式：(6)49(x+y)2-16(x-y)2。
(6)原式=[7(x+y)]2-[4(x-y)]2
=[7(x+y)+4(x-y)][7(x+y)-4(x-y)]
=(11x+3y)(3x+11y)
将7(x+y)、4(x-y)分别看作整体
【注意点】
公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式。
公式法
02
知识精讲
02
知识精讲
议一议：x2-2能否分解因式？
【分析】x2-2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解：x2-2=(x+)(x-)。
【实数范围内分解因式】
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式。
实数范围内分解因式
02
知识精讲
PS：如无特别说明，因式分解的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止。
分解因式（实数范围）：(1)2x2-1； (2)a4-9。
02
知识精讲
【分析】(1)原式=2(x2-)=2[x2-]=2(x+)(x-)
(2)原式=(a2)2-32=(a2+3)(a2-3)=(a2+3)[a2-)2]=(a2+3)(a+)(a-)
例1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+xy+y2 B．4x2+4x-1
C．9-3x+x2 D．9x2-16y2
03
典例精析
【分析】
要用平方差公式分解因式，式子的结构应是两个数的平方差。
D
D．9x2-16y2=(3x)2-(4y)2=(3x+4y)(3x-4y)
【分析】
(1)原式=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x)
例2、分解因式：(1)25-16x2； (2)(4a+b)2-4(a+b)2。
03
典例精析
(2)原式=(4a+b)2-(2a+2b)2
=[4a+b+(2a+2b)][4a+b-(2a+2b)]
=(6a+3b)(2a-b)
=3(2a+b)(2a-b)
【分析】
原式=(1034-34)(1034+34)
=1000×1068
=1068000
例3、巧算：10342-342。
03
典例精析
例4、若x+y=2，则代数式x2-y2+4y的值等于_________。
【分析】
x2-y2+4y=(x+y)(x-y)+4y=2(x-y)+4y=2x-2y+4y=2x+2y=2(x+y)=2×2=4。
03
典例精析
4
例5、在实数范围内分解因式：x2y-19y。
03
典例精析
【分析】
原式=y(x2-19)
=y[x2-()2]
=y(x+)(x-)
公式法
—完全平方公式
Q1：(1)已知a+b=7，则a2+2ab+b2=________；
(2)已知a-b=1，则a2-2ab+b2=________。
01
情境引入
【分析】
(1)a2+2ab+b2=(a+b)2=72=49；
(2)a2-2ab+b2=(a-b)2=12=1。
49
1
Q2：(1)a2±2ab+b2=(a±b)2与完全平方公式有何关联？
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2是因式分解吗？
01
情境引入
【分析】(1)a2±2ab+b2=(a±b)2即完全平方公式的逆用；
a2±2ab+b2 (a±b)2
(2)是，符合因式分解的定义：把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
因式分解（公式法）
完全平方公式
【公式法——完全平方公式】
a2±2ab+b2=(a±b)2
公式法
02
知识精讲
请分析上述公式的结构特征：
【结构特征】
公式的左边是两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，右边是这两个数和（或差）的平方。
【运用公式法】
运用平方差公式、完全平方公式，把一个多项式分解因式的方法叫做运用公式法。
①a2-b2=(a+b)(a-b)
②a2±2ab+b2=(a±b)2
公式法
02
知识精讲
【分析】
(1)原式=a2-2·a·2+22=(a-2)2
02
知识精讲
分解因式：(1)a2-4a+4； (2)m2+m+；
(2)原式=m2+2·m·+2=(m+)2
02
知识精讲
分解因式：(3)4a2+4a+1； (4)4p2-20pq+25q2；
(3)原式=(2a)2+2×2a·1+12
将2a看作整体
=(2a+1)2
(4)原式=(2p)2-2×2p·5q+(5q)2
将2a看作整体
=(2p-5q)2
02
知识精讲
分解因式：(5)4+12(x-y)+9(x-y)2。
(5)原式=22+2×2×3(x-y)+[3(x-y)]2
将3(x-y)看作整体
=[2+3(x-y)]2
=(3x-3y+2)2
【注意点】
公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式。
公式法
02
知识精讲
例1、下列各式中，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．4x2+8x+1 B．x2-4x+16
C．x2-6xy-9y2 D．x2-x+1
03
典例精析
D
D．x2-x+1=(x)2-2×x·1+12=(x-1)2
【分析】要用完全平方公式分解因式，式子的结构应是两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍。
【分析】
(1)原式=x2y2-4xy+4=(xy)2-2·(xy)·2+22=(xy-2)2
例2、分解因式：(1)(xy-1)(xy-3)+1； (2)(a+b)2-12(a+b)+36。
03
典例精析
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2
例3、巧算：-101×190+1012+952。
【分析】原式=1012-2×101×95+952
=(101-95)2
=62
=36。
03
典例精析
例4、若4x2-kx+1能用完全平方公式分解因式，则k=（　　）
A．-4 B．4 C．-4或4 D．-8或8
【分析】
∵4x2-kx+1能用完全平方公式分解因式，
∴4x2-4x+1=(2x-1)2或4x2+4x+1=(2x+1)2，
∴k=4或-4。
C
03
典例精析
公式法综合、
提公因式法与公式法综合
【分析】(1)原式=(x2+4)2-(4x)2
=(x2+4x+4)(x2-4x+4)
=(x+2)2(x-2)2
例1、综合运用两个公式分解因式：
(1)(x2+4)2-16x2；
03
典例精析
(2)原式=(a2-1)2-2·(a2-1)·3+32
=(a2-1-3)2
=(a2-4)2
=[(a+2)(a-2)]2
=(a+2)2(a-2)2
例1、综合运用两个公式分解因式：
(2)(a2-1)2+6(1-a2)+9；
03
典例精析
(3)原式=(a+b)2-2(a+b)(a-b)+(a-b)2
=[(a+b)-(a-b)]2
=(2b)2
=4b2
例1、综合运用两个公式分解因式：
(3)(a+b)2-2(a2-b2)+(a-b)2。
03
典例精析
例2、综合运用提公因式法与公式法分解因式：
(1)50a2-18b2； (2)a2(x-y)-4(x-y)；
03
典例精析
【分析】先提公因式
(1)原式=2(25a2-9b2)=2(5a+3b)(5a-3b)
(2)原式=(x-y)(a2-4)=(x-y)(a+2)(a-2)
例2、综合运用提公因式法与公式法分解因式：
(3)3ax2+6axy+3ay2； (4)162x4-144x2y2+32y4。
(4)原式=2(81x4-72x2y2+16y4)
=2(9x2-4y2)2
=2[(3x+2y)(3x-2y)]2
=2(3x+2y)2(3x-2y)2
03
典例精析
(3)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2
【因式分解的注意点】
①通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再运用公式，
重点强调：因式分解的第一步永远都是提公因式；
②进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。
03
典例精析
课后总结
【运用公式法】
运用平方差公式、完全平方公式，把一个多项式分解因式的方法叫做运用公式法。
①a2-b2=(a+b)(a-b)
结构特征：公式的左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这两个数的差的积。
②a2±2ab+b2=(a±b)2
结构特征：公式的左边是两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，右边是这两个数和（或差）的平方。
【注意点】
公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式。
课后总结
【因式分解的注意点】
①通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再运用公式，
重点强调：因式分解的第一步永远都是提公因式；
②进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。
【实数范围内分解因式】
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式。