(共17张PPT)
素养提升微专题(六) 非线性经验回归问题
问题提出
经验回归方程不一定总是线性的,也可能是非线性的,此类问题具有十分重要的现实意义.解决此类问题,应先选择合适的函数模型,进行变量代换,求出代换后的经验回归方程,再转化为非线性经验回归方程.
典例分析
[例]我国在1980年9月10日,第五届全国人民代表大会第三次会议通过并公布了《中华人民共和国个人所得税法》,公民依法诚信纳税是义务,更是责任.现将自2013年至2017年的个人所得税收入统计如下.
年份 2013 2014 2015 2016 2017
时间代号x 1 2 3 4 5
个税收入y/千亿元 6.53 7.38 8.62 10.09 11.97
制作时间代号x与个人所得税收入的散点图如图所示.
根据散点图判断,可用①y=menx与②y=px2+q作为年个人所得税收入y关于时间代号x的回归方程,经过数据运算和处理,得到如下数据.
以下计算过程中四舍五入保留两位小数.
(1)根据所给数据,分别求出①②中y关于x的经验回归方程.
(2)已知2018年个人所得税收入为13.87千亿元,用2018年的数据验证(1)中所得两个经验回归方程,哪个更适宜作为y关于时间代号x的回归方程
(3)你还能从统计学哪些角度来进一步确认哪个经验回归方程更适宜 (只需叙述,不必计算)
解 (1)对于①,由y=menx,等式两边取自然对数得ln y=nx+ln m,
设z=ln y,r=ln m,
(3)从统计学分析,这里从5组数据建立经验回归方程,数据较少,故应增加数据建立方程,再分析变换后的线性方程,根据残差及决定系数R2来检验拟合效果.
规律方法非线性经验回归方程的求法
(1)根据原始数据作出散点图(或题目中已知散点图).
(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数.
(3)作恰当变换,将其转化成线性函数,求经验回归方程.
(4)在(3)的基础上通过相应变换,即可得非线性经验回归方程.
对点演练
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
某公交公司近期推出支付方式A和支付方式B扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次(计十人次为1个单位,例如y=6表示60人次),统计数据如表所示.
根据以上数据,绘制了散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数),哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归方程类型 (给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立y与x的经验回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计,结果如下表所示
支付方式 现金 乘车卡 扫码
比例 10% 60% 30%
某公交公司车队为缓解周边居民出行压力,以90万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠.根据统计结果得知,使用扫码支付
9折优惠.预计该车队每辆车每个月有2万人次乘车,根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其他因素的条件下,按照上述收费标准,请你估计这批车辆需要几年(结果取整数年)才能盈利
参考数据:
解 (1)根据散点图判断,在推广期内,y=c·dx(c,d均为大于零的常数),适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的经验回归方程类型.
(2)根据(1)的判断结果y=c·dx,两边取对数得:lg y=lg c+x·lg d,其中
lg y=0.54+0.25x,y=100.54+0.25x=3.47×100.25x.
当x=8时,y=100.54+0.25×8=3.47×102=347,
活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470.
(3)设一名乘客一次乘车的费用为ξ元,由题意知ξ所有的可能取值为1.4,1.6,1.8,2,
E(ξ)=1.4×0.05+1.6×0.7+1.8×0.15+2×0.1=1.66.
假设这批车需要n(n∈N*)年才能开始盈利,则1.66×2×12×n≥90+0.66×12×n,解得n≥2.84,故需要3年才能盈利.(共28张PPT)
素养提升微专题(五) 截面问题
规律方法
1.平面截几何体的三种基本方式:横截、纵截、斜截.
2.正方体的截面形状:正方体的横截面为正方形,纵截面为正方形或矩形,斜截面的情况如下:
考查角度
角度一 确定截面的形状
[例1]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F为AD的中点,E为棱D1D上的动点(不包括端点),过点B,E,F的平面截正方体所得的截面的形状不可能是( )
A.四边形 B.等腰梯形
C.五边形 D.六边形
答案 D
图①
图②
图③
易错警示在判断截面形状时,如果对截面与几何体的各个面是否存在交线,交线是什么形状,交线的位置等情况分析不清,容易导致判断错误,因此要结合空间中线面平行、面面平行的判定定理和性质定理等进行分析判断.
角度二 确定截面的个数
[例2]已知四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥,使得截面是平行四边形,则这样的平面α( )
A.不存在 B.只有1个
C.恰有4个 D.有无数多个
答案 D
解析 设平面PAB与平面PCD相交于直线m,平面PAD与平面PBC相交于直线n,由m,n确定的平面为β,作α与β平行,且与四条侧棱相交,交点分别为A1,B1,C1,D1,则由面面平行的性质定理,可知A1B1∥m∥D1C1,A1D1∥n∥B1C1,从而得截面必为平行四边形.由于平面α可以上下移动,故这样的平面α有无数多个.故选D.
角度三 计算截面图形的面积或周长
[例3-1]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则以该正方体的一条体对角线的中点O为球心, 为半径的球与正方体的表面的交线长为 .
[例3-2]已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACB1截此球所得的截面的面积为 .
答案 A
解析 如图,取CD的中点O,连接OA,OB.
因为△ACD为等边三角形,O为CD的中点,
所以OA⊥CD.
同理OB⊥CD.
又OA∩OB=O,
所以CD⊥平面AOB.
又AB 平面AOB,
所以CD⊥AB.
设平面α分别交AC,AD,BD,BC于点E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.
因为CD∥平面α,CD 平面ACD,平面ACD∩平面α=EF,
所以CD∥EF.同理GH∥CD,EH∥AB,FG∥AB.
所以EF∥GH,EH∥FG.所以四边形EFGH为平行四边形.
因为AB⊥CD,所以EF⊥EH,所以 EFGH为矩形.
名师点析解决截面面积的最值问题的方法
首先根据几何体的结构特征以及截面所在平面满足的条件,确定截面的形状,然后合理设置变量,将截面面积用变量表示出来,最后利用均值不等式或函数的性质求出最值,即可求得截面面积的最值.
对点演练
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱B1B,B1C1的中点,G是棱CC1的中点,则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为( )
A.矩形 B.三角形
C.正方形 D.等腰梯形
答案 D
解析 如图,取BC的中点H,连接AH,GH,D1G,AD1,由题意易知GH∥EF,AH∥A1F,GH= AD1,GH∥AD1,AH=D1G,
所以A,H,G,D1四点共面,四边形AHGD1为等腰梯形.
因为GH 平面A1EF,EF 平面A1EF,所以GH∥平面A1EF.
同理AH∥平面A1EF.
又GH∩AH=H,GH,AH 平面AHGD1,
所以平面AHGD1∥平面A1EF.
所以过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为
等腰梯形.
故选D.
2.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设与对角线AC1垂直的平面α截该正方体所得截面多边形为M,则关于多边形M的说法正确的是( )
A.M可能为正三角形
B.M可能为正方形
C.若M为六边形,则面积为定值
D.若M为六边形,则周长为定值
答案 AD
解析 对于A,由△A1BD为正三角形,AC1⊥平面A1BD,可知M可能为正三角形,故A正确.
对于B,平面α要么与正方体的三个面相交,要么与正方体的六个面相交,从而截面为三角形或六边形,故B错误.
对于C,D,如图,当截面M为六边形EFGHIJ时,由于
截面A1BD与截面EFGHIJ都与直线AC1垂直,因此
它们平行,所以GH∥A1B,同理GF∥B1C,设
3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是线段BC1上的点,过点A1的平面α与直线PD垂直,当点P在线段BC1上运动时,平面α截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积的最小值是( )
答案 C
解析 以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则A(0,0,0),A1(0,0,1),B(1,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),C1(1,1,1),D(0,1,0),D1(0,1,1).
设点P(1,t,t),其中0≤t≤1.
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P为BC的中点,Q为CC1的中点,则过点A,P,Q的平面α截该正方体所得截面的周长为 .
答案
解析 由题意可知过点A,P,Q的平面α截该正方体所得的截面为梯形APQD1.因为(共21张PPT)
素养提升微专题(七) 求解直线与圆锥曲线
相交弦长问题的方法
问题提出
直线与圆锥曲线的综合题往往需要求出直线与曲线相交所得的弦长,求弦长可利用弦长公式,但不少同学计算能力不强,导致耗费大量时间求得的弦长不正确,为此,可以推出一般形式下直线与椭圆或双曲线相交的弦长.
2.在上述根与系数的关系、判别式Δ及弦长|AB|的表达式中,a2,b2分别表示的是曲线方程中x2,y2项下面的分母.如对于焦点在y轴上的椭圆方程
=1,在使用上述结论时,仍然把3当作a2,4当作b2.
说明1.解答解答题时,弦长公式不能直接应用,应有过程步骤,若考生能够写出直线与椭圆联立整理后的方程式,判别式Δ的表达式及根与系数的关系,那么就可用上述弦长公式,就能极大地提高运算的准确性.
答案 B
(1)求双曲线的方程;
(2)过双曲线右焦点F且斜率为m的直线交双曲线于A,B两点,若|AB|=12,求m的值.
对点演练
答案 A
答案 D
3.已知动点P到点F1(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离之比为 ,点P形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设F2(-1,0),分别过F1,F2作斜率为k(k>0)的直线与曲线C交于x轴上方A,B两点,若四边形F1F2BA的面积为 ,求k的值.(共31张PPT)
素养提升微专题(一) 客观题速解技巧
规律方法
客观题在数学试卷中所占比重较大,若能根据题目特点,运用恰当的方法速解,则既能提高正确率,还能节省时间.常用的速解技巧有特例(特值)法、图解法、排除法、估算法等.
1.特例(特值)法
特例(特值)法是在题设普遍条件都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,从而“小题小做”或“小题巧做”.
当题目已知条件中含有某些不确定的量时,可将题目中变化的不定量选取一些符合条件的特殊值(如特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可简化推理、论证的过程.
2.图解法
几何图形中蕴含一定的数量关系,而数量关系通常又可通过图形直观展现,合理应用数与形之间的相互转化,可将问题化难为易,化抽象为具体.
3.排除法
选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目要求的选项,找到符合题意的正确结论.排除法(又叫筛选法)就是通过分析、推理、计算、判断各选项提供的信息或通过特例排除不符合要求的选项,从而得到正确结论的一种方法.
4.估算法
选择题提供了正确的选项,解答又无需过程.因此对这类题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法可以减少运算量,但是加深了思维的层次.
考查角度
角度一 特例(特值)法
答案 B
答案 A
解析 由于题中直线PQ的条件是过点E,所以该直线是一条“动”直线,所以最后的结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.
图1
图2
角度二 图解法
A.(0,12)
B.(0,16)
C.(9,21)
D.(15,25)
答案 A
解析 设f(x1)=m,画出函数f(x)的图象与直线y=m,如图所示.
则x1,x2,x3,x4是函数y=f(x)的图象与直线y=m交点的横坐标.
由图可知,-log2x1=log2x2,
∴log2(x1x2)=0,
∴x1x2=1,x3+x4=12,2
[例2-2]已知直线l1:4x-3y+12=0和直线l2:x=-1,则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2距离之和的最小值是 .
解析 画出抛物线y2=4x与直线l1,l2,如图所示.
由题意可知,直线l2是抛物线的准线.
过点P作直线l2的垂线,垂足为点A,过点P作直线l1
的垂线,垂足为点B,设抛物线y2=4x的焦点为F,
根据抛物线的定义,知|PA|=|PF|,所以动点P到直线l1和直线l2距离之和|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,过点F作直线l1的垂线,交抛物线于点P',则当点P位于图中的点P'处时,|PF|+|PB|取得最小值,此时最小值为焦点F到直线l1的
角度三 排除法
答案 B
令h(x)=2x+sin x,当x>0时,h'(x)=2+cos x>0,
则h(x)>h(0)=0,所以当x>0时,f(x)>1,故排除D.
答案 D
角度四 估算法
A.165 cm B.175 cmC.185 cm D.190 cm
答案 B
由题设,该人肚脐至足底的长度大于105 cm,故该人的身高大于105×(1+0.618)≈169.89(cm).故选B.
1.已知在等差数列{an}中,首项a1>0,公差d>0,前n项和为Sn,等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a4,前n项和为Tn,则( )
A.S4>T4
B.S4C.S4=T4
D.S4≤T4
对点演练
答案 A
2.下列命题为真命题的是( )
答案 C
对于D,取特殊值a=4,b=1,c=0,满足a>b,但是ac2=bc2=0,故选项D不符合题意.
3.已知过球面上A,B,C三点的截面和球心距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是( )
答案 D
(方法二)设球的半径为R,如图所示,2R=OA+OB>AB=2,
故R>1,所以S球=4πR2>4π,只有选项D满足.
解析 所求的问题是个定值问题,“在△ABC中”和“在特殊△ABC中”所求的值相等,所以将所给条件“在△ABC中”特殊化为“在等边△ABC中”.如图,以D为原点,BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
设点C(x,0),F(0,y),则点B(-x,0),E(0,2y),A(0,3y).
5.已知函数f(x)=min ,若函数g(x)=f(x)-k恰有两个零点,则k的取值范围为 .
答案 (1,2)
由图可知,f(x)在区间(0,4)内单调递增,在区间(4,+∞)内单调递减,f(x)max=f(4)=2,函数g(x)=f(x)-k恰有两个零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个交点,故1素养提升微专题(四) 数列解答题中的
奇、偶项问题
规律方法
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究,利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.
数列中奇、偶项问题的常见题型有:
(1)数列中连续两项的和或积的问题(an+an+1=f(n)或an·an+1=f(n));
(2)通项中含有(-1)n的类型;
(3){a2n},{a2n-1}的类型;
(4)其他已知明确的奇、偶项问题.
考查角度
角度一 通项中含有(-1)n的数列求和
[例1]已知正项数列{an},其前n项和为Sn,an=1-2Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
角度二 奇、偶项通项不同的数列求和
(1)求a2,a3及通项公式an;
(2)记bn=an+an+1,求数列{2n-1bn}的前2n项的和T2n.
所以a1=S1=1,a2=S2-S1=4-1=3,a3=S3-S2=3-4=-1.
当n≥3,且n为奇数时,an=Sn-Sn-1=n-(n-1)2=-n2+3n-1,又a1=1符合上式,所以当n为奇数时,an=-n2+3n-1.
当n为偶数时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)=n2-n+1.
(2)由(1)知,当n为奇数时,bn=an+an+1=4n,
当n为偶数时,bn=an+an+1=2.
所以T2n=1×22+3×24+…+(2n-1)·22n+22+24+…+22n =2×22+4×24+…+2n·22n,
所以4T2n=2×24+4×26+…+2n·22n+2.
对点演练
1. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2log3an+(-1)n·n,求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)当n=1时,2S1=2a1=3a1-3,所以a1=3.
因为2Sn=3an-3,所以当n≥2时,2Sn-1=3an-1-3,
所以2Sn-2Sn-1=2an=3an-3an-1,即 =3(n≥2).
所以数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列,所以an=3n.
数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
当n为奇数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-2-6+2an-1+an-6
=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3
=[-1+3+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+…+(4n+2)]
所以Tn>Sn.
当n为偶数时,Tn=a1-6+2a2+a3-6+2a4+a5-6+2a6+…+an-1-6+2an
=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-5)+(4n+6)]
=[-1+3+…+(2n-5)]+[14+22+…+(4n+6)](共49张PPT)
素养提升微专题(二) 导数应用中的函数构造技巧
规律方法
近几年高考数学导数解答题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围,这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解决导数问题最基本的方法,以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结,并举例说明.
1.具体函数的构造
根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究函数的性质从而解决问题.
2.抽象函数的构造
当题目是以抽象函数为背景且题设条件或所求结论中具有
特征式时,通常将上述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用函数的性质解决问题.
(1)利用f(x)与x(xn)构造
(2)利用f(x)与ex(enx)构造
(3)利用f(x)与sin x,cos x构造
由于sin x,cos x的导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考查的范畴,常考的几种形式:F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
考查角度
角度一 具体函数的构造
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.b>a>c
答案 A
[例1-2]已知实数a,b,c∈(0,e),且3a=a3,4b=b4,5c=c5,则( )
A.aC.c答案 C
x=e,所以f(x)在区间(0,e)内单调递增,在区间(e,+∞)内单调递减,因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即f(a)>f(b)>f(c).又a,b,c∈(0,e),所以a>b>c.故选C.
技巧点拨构造具体函数解决问题的关键是分析所给代数式的结构,发现结构相同的部分, 对代数式进行合理地转化和变形(移项、通分、取对数、拆分、常数代换等),以便发现它们的共同点,从而构造函数.
A.x+y=1 B.xy=1
C.x+y>2 D.x+y>3
答案 C
角度二 抽象函数的构造
[例2-1]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,若f(2)=0,则不等式xf(x)>0的解集为( )
A.{x|-2B.{x|x<-2或x>2}
C.{x|-22}
D.{x|x<-2或0答案 D
解析 令F(x)=xf(x),则F(x)为奇函数,且当x<0时,F'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,所以函数F(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递减.
又f(2)=0,则F(-2)=F(2)=0,于是xf(x)>0可化为F(x)>F(-2)或F(x)>F(2),
则x<-2或0[例2-2]设f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,且满足xf'(x)-2f(x)>0,若△ABC是锐角三角形,则( )
A.f(sin A)sin2B>f(sin B)sin2A
B.f(sin A)sin2BC.f(cos A)sin2B>f(sin B)cos2A
D.f(cos A)sin2B答案 D
名师点析利用f(x)与x (或xn)构造函数的技巧
(1)f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型
①对于f'(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x).
②对于f'(x)-g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x).
③对于f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x).
④对于f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数
特别地,对于xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x).
特别地,对于xf'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数
(2)xf'(x)±nf(x)型
①对于xf'(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x).
②对于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数
[例2-3]已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是( )
A.e2f(2)>e3f(3)
B.e2f(2)C.e2f(2)≥e3f(3)
D.e2f(2)≤e3f(3)
答案 A
解析 令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,因此函数g(x)在R上单调递减,所以g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A.
A.(e205,+∞) B.(0,e205)
C.(e205e,+∞) D.(0,e205e)
答案 D
[例2-5]若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e2x的解集为 .
答案 {x|x>0}
名师点析利用f(x)与ex(enx)构造函数的技巧
答案 AD
技巧点拨利用f(x)与sin x,cos x构造函数的技巧
(1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)·sin x.
(2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0(或<0),构造函数
(3)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0),构造函数
(4)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)cos x.
对点演练
A.(-∞,-1)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,1)
答案 D
答案 D
A.bB.aC.aD.c答案 A
答案 B
答案 D
6.已知f(x)是定义在区间(0,+∞)内的可导函数,f'(x)是f(x)的导函数,若xf(x)+x2f'(x)=ex,f(1)=e,则f(x)在区间(0,+∞)内( )
A.单调递增
B.单调递减
C.有极大值
D.有极小值
答案 A
7.已知定义在R上的连续函数f(x)的导函数为f'(x),且cos xf'(x)<(cos x+sin x)f(x)成立,则下列各式一定成立的是( )
A.f(0)=0
B.f(0)<0
C.f(π)>0
答案 C
8.已知f(x)是定义在区间(1,+∞)内的函数,f'(x)是f(x)的导函数,且xf'(x)ln x>f(x)(x>1),f(e2)=2,则不等式f(ex)A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(0,2)
D.(1,2)
答案 C (共27张PPT)
素养提升微专题(三) 三角函数问题的解题
技巧——“变角”“变式”
规律方法
三角函数的求值、化简以及研究函数性质等问题的本质是处理其中的“角”和“式”,其核心技巧也在于处理“角”和“式”之间的关系,通过合理地“变角”“变式”,达到解决问题的目的.
(1)变角:变角的目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,通常用“配凑”法,常从和角、差角、二倍角、半角、互补、互余等关系入手.
(2)变式:一是通过变换函数名称减少函数种类,通常有“切化弦”“升幂与降幂”等方法;二是根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,通常用到“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.
考查角度
角度一 变角
答案
答案 B
破题技巧充分利用角的变换解决问题
在解决三角函数问题时,可用逆向思维,充分利用“角的变换”处理问题,如
等,注意观察已知角,分析未知角,用已知角表示未知角,可以简化计算求解的过程,避免直接套用和角、差角公式而造成解题过程繁杂.
[例1-3]若sin α(1+ tan 10°)=1,则钝角α= .
答案 130°
名师点析本题通过辅助角公式、二倍角公式、诱导公式的运用,将非特殊角不断进行转化,最终化为符合要求的角,体现了变角的重要作用.
角度二 变式
答案 A
方法点拨降幂是三角恒等变换中的常用方法,通过运用降幂公式,不但可以使三角函数式的次数与已知条件相符,同时也可以变换得出已知角,从而使问题得到解决.
破题技巧巧用常值代换解三角函数问题
在解决三角函数问题时,“常值代换”是实现三角恒等变换的一个重要技巧,也是解决问题的突破口,例如
等.通过常值代换,可巧妙地将原式进行转化,从而解决问题.
答案 B
名师点析由于“sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α”这三个式子之间有着密切的联系,可以“知一求二”,因此可以借助它们之间的关系解决求值问题,在此基础上, ,sin 2α,cos 2α等式子也都可以相互转化建立联系.
[例2-4] 已知θ是钝角,则sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值范围是 .
答案 (-1,1)
规律方法利用换元法求解三角函数最值问题
如果在一个函数解析式中同时含有sin θ±cos θ,sin θcos θ,则可通过换元方法,设sin θ±cos θ=t,即可将函数化为关于t的函数,从而解决函数的最值或范围问题,但要注意t的取值范围.
对点演练
答案 B
答案 A
答案 C
答案 B
5.已知3cos(2α+β)+5cos β=0,则tan(α+β)tan α=( )
A.±4 B.4
C.-4 D.1
答案 C
解析 由已知得3cos [(α+β)+α]+5cos [(α+β)-α]=0,因此3cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α+5cos(α+β)cos α+5sin(α+β)sin α=0,整理得8cos(α+β)cos α +2sin(α+β)sin α=0.因此sin(α+β)sin α=-4cos(α+β)cos α,于是
=-4,故tan(α+β)tan α=-4.
答案 B 