(共40张PPT)
第2讲 三角恒等变换与解三角形
必备知识 精要梳理
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β;
温馨提示注意公式的逆用与变形用,
例如:tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
2.二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
3.辅助角公式
4.正弦定理、余弦定理
(1)正弦定理
(2)余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a2=b2+c2-2bccos A;
5.三角形中的射影定理
bcos C+ccos B=a,acos C+ccos A=b,acos B+bcos A=c.
6.三角形面积公式
关键能力 学案突破
突破点一
三角恒等变换及其应用
答案 C
答案 D
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 B
名师点析利用三角恒等变换解决求值问题的关键
(1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角表示未知角.
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.
(3)求解三角函数给值求角的问题时,要根据已知条件求出这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小.
对点练1
A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=1
答案(1) D (2)A (3) C
突破点二
正弦定理、余弦定理及其简单应用
答案 AD
[例2-2](2021·全国乙,理15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 ,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
规律总结三角形中边角互化的基本原则
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”.
(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”.
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”.
(4)含有面积公式的问题,要结合余弦定理求解.
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
对点练2
答案 (1)A (2)1
(2)因为△ADC与△BDC的面积之比为3∶1,
所以AD∶BD=3∶1,故BD=1.
突破点三
解三角形的实际应用
[例3-1](2021·全国甲,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为( ≈1.732)( )
A.346 B.373
C.446 D.473
答案 B
三点共线)处测得楼顶A、建筑物顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得建筑物顶C的仰角为30°,则小明估算该建筑物的高度为( )
答案 D
规律总结解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系.
(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型.
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理.
(4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中有关单位的问题、近似计算的要求等.
对点练3
仰望星空,时有流星划过天际,如图,有两个观察者在地球上A,B两地同时看到S处有一颗流星,仰角分别是α和β(MA,MB表示当地的地平线),假设O为地球中心,且点S,A,B,O共面,劣弧AB所对的圆心角为2θ.若测算到α=23.2°,β=44.3°,θ=2.25°,AB≈500 km,则AS≈ km(精确到1 km).参考数据:sin 23.2°≈0.394,sin 46.55°≈0.726,sin 72°≈0.951.
答案 382
解析 在△SAB中,易知∠SAB=α+θ=25.45°,∠SBA=β+θ=46.55°,
所以∠ASB=180°-25.45°-46.55°=108°.
突破点四
三角恒等变换与解三角形的综合应用
答案 B
答案 C
对点练4
(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
3bcos C=3a-c,且A=C,则sin A= .
(2)在△ABC中,记角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S,则 的最大值为 .
解析 (1)因为3bcos C=3a-c,由正弦定理可得3sin Bcos C=3sin A-sin C,又A+B+C=π,所以sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
所以3sin Bcos C=3(sin Bcos C+cos Bsin C)-sin C,
则3cos Bsin C=sin C.(共34张PPT)
第1讲 三角函数的图象与性质
必备知识 精要梳理
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
2.三角函数图象变换
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或y=sin(ωx-φ).
3.三角函数的周期性
特别提醒函数y=|Asin(ωx+φ)|(Aω≠0)的最小正周期是y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)最小正周期的一半.
4.三角函数的奇偶性与对称性
(3)对于函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,没有对称轴,对称中心的横坐标由ωx+φ= (k∈Z)确定.
温馨提示正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰好经过相应曲线的最高点或最低点,对称中心的横坐标分别是正弦函数和余弦函数的零点.
关键能力 学案突破
突破点一
三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系式
[例1-1]在平面直角坐标系Oxy中,已知角α的终边上有一点P(1,2),点Q在角2α的终边上,且|OQ|=10,则点Q的坐标为( )
A.(-6,-8) B.(-6,8)
C.(6,-8) D.(6,8)
答案 B
答案 C
规律方法点的坐标与三角函数值的关系
根据三角函数的定义,可以由给定角的终边上一点的坐标,求出该角的各个三角函数值;反之,当给定
一个角的大小或该角的正、余弦值时,也可以求出角的终边上一点的坐标,即角θ的终边上一点P的坐标为P(rcos θ,rsin θ),其中r为点P到角的顶点的距离,据此可以实现角与点的坐标之间的联系.
对点练1
答案 B
突破点二
三角函数的图象及其应用
命题角度1 已知图象求解析式
答案 BC
方法技巧已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A通过看图比较容易得出,求ω和φ时常用如下两种方法
(1)由ω= 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
对点练2
(2021·全国甲,理16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足
答案 2
命题角度2 图象变换
答案 B
规律总结研究正弦型函数性质的基本方法
一般地,研究正弦型函数的性质时,应将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,通过整体代换,结合正弦函数、余弦函数的基本性质进行求解.
(1)求单调区间时,将ωx+φ整体代入正弦函数或余弦函数的单调递增(减)区间,求出x的取值范围即为原函数的单调递增(减)区间.
(2)求函数在闭区间上的最值时,应根据x所在的区间求出ωx+φ的取值范围,再结合正弦函数或余弦函数的图象确定函数的最值.
(3)判断对称轴或对称中心时,可根据“对称轴经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标是函数的零点”这一性质进行检验判断.
对点练3
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移 个单位长度后与f(x)的图象重合,则ω的最小值为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
答案 B
突破点三
三角函数的性质及其应用
命题角度1 正弦型函数的性质
答案 ACD
规律总结研究正弦型函数性质的基本方法
一般地,研究正弦型函数的性质时,首先应将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,然后通过整体代换,结合正弦函数、余弦函数的基本性质进行求解.
(1)求单调区间时,将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数或余弦函数的单调递增(减)区间,求出x的范围即为原函数的单调递增(减)区间.
(2)求函数在闭区间上的最值时,应根据x所在的区间求出ωx+φ的取值范围,再结合正弦函数或余弦函数的图象确定函数的最值.
(3)判断对称轴或对称中心时,可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质进行检验判断.
对点练4
答案 D
命题角度2 非正弦型函数的性质
答案 AD
名师点析回归定义研究三角函数的性质
在研究三角函数性质时,如果函数不能化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)等形式,可借助复合函数的单调性法则或导数研究其单调性或最值,可用周期的定义、轴对称或中心对称的一般条件来判断函数的周期、函数图象的对称轴或对称中心.
(1)若非零实数t使得f(x+t)=f(x)对x∈R恒成立,则可推出t是函数f(x)的一个周期.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(2a+x)=f(-x),f(2a-x)=f(x)等,则可判断函数f(x)的图象关于直线x=a对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x)或f(2a+x)=-f(-x),f(2a-x)=-f(x)等,则可判断函数f(x)的图象关于点(a,0)对称.
对点练5
关于函数f(x)=|cos x|-|sin|x||有下面四个结论:①f(x)是偶函数;②f(x)是周期为π的函数;③f(x)在区间 内单调递减;④f(x)的最大值为 .其中正确结论的编号为( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
答案 A
