5.1导数的概念与运算 讲义（含答案）

第一节 导数的概念与运算
知识清单
1．变化率问题
设物体在空中的位移与时间的函数关系为，运动时间为到．
（1）平均速度
平均速度
（2）瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
当无限趋近于0时，平均速度就会趋近于物体在时刻的瞬时速度．
2．导数的概念
（1）函数的平均变化率
对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到，
我们把比值叫做函数从到的平均变化率．
（2）导数的概念
如果当，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率）．
记作或，即
（3）导函数
当时，是一个唯一确定的数，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）．的导函数有时也记作，即
（4）导数的几何意义
函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率，
即，切线方程为（点斜式）．
（5）导数定义的其他表达式
①
②
③
3．基本初等函数的导数公式
（1）若（为常数），则 （2）若，则
（3）若，则 （4）若，则
（5）若，则，特别地，若，则
（6）若，则，特别地，若，则
4．导数的四则运算法则
（1）加减法：
（2）乘法： ，特别地，（为常数）
（3）除法：
5．简单复合函数的导数
一般的，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作．
则复合函数的导数为：，即．
题型训练
题型一 变化率
1．函数从到的平均变化率为（　　）
A．2 B． C．3 D．
2．某物体的运动方程为，则该物体在时间上的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
3．函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A．2 B． C． D．
4．某物体位移与时间的关系式为，则物体在时的瞬时速度为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
题型二 导数的概念
5．若函数在处可导，则（　　）
A．与，都有关
B．仅与有关，而与无关
C．仅与有关，而与无关
D．与，均无关
6．若，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．4
7．若，则（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣12
8．设函数在处可导，则等于（　　）
A． B． C． D．
题型三 导数的运算
9．已知函数的导函数为，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知函数，则（　　）
A．2 B．4 C．3 D．1
11．（多选）若函数的导函数为奇函数，则的解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
12．已知函数，若，则（　　）
A． B． C． D．
13．已知函数的导函数是，且，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．1
14．已知函数的导函数为，且满足，则（　　）
A．1 B． C． D．
15．已知函数，则　 　
16．导数的运算—加减法
（1），则 （2），则
（3），则 （4），则
17．导数的运算—乘除法
（1），则 （2），则
（3），则 （4），则
18．复合函数的导数
（1），则 （2），则
（3），则 （4），则
综合训练
1．已知函数，则 （　　）
A．4 B．6 C．2 D．3
2．设函数在内可导，且，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知函数的导函数为，且满足，则（　　）
A．1 B． C． D．
4．（多选）若函数可导，我们通常把其导函数的导数叫做的二阶导数，记作，则以下函数的二阶导数在区间上恒小于0的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知函数，其导函数记为，则
（　　）
A． B．3 C． D．2
6．设，若，则
7．已知函数，则
8．我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：，则　　
9．已知函数的导函数为，且满足，则
10．已知函数，则
第一节 导数的概念与运算参考答案
题型一 变化率
1-4 B，D，C，D
题型二 导数的概念
5-8 B，A，C，D
题型三 导数的运算
9-14 D，B，AC，A，B，C
15．
16．（1） （2） （3） （4）
17．（1） （2） （3） （4）
18．（1） （2） （3） （4）
综合训练
1-5 A，B，C，ABC ，D
6．
7．
8．2
9．6
10．24