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七年级数学下册 预习篇
7.1.2 平面直角坐标系
1.有序数对：把有顺序的两个数与组成的数对叫作有序数对，记作。
2.注意事项：两个数的顺序不能随意交换。
3.平面直角坐标系：在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为轴或纵轴，取向上为正方向。
4.两个数轴的单位长度可以一致也可以不一致，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
5.点的坐标：过平面内任意一点P分别向轴和轴作垂线，垂足在轴和轴上对应的数分别叫作点P的横坐标和纵坐标，有序数对叫作点P的坐标，记作。
6.表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开；点中，表示点到轴的距离，表示点到轴的距离。
7.坐标平面内任意一点，都有唯一的一对有序数对和它对应，对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，即坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。
8.坐标平面
象限：建立了平面直角坐标系后，坐标平面就被两条坐标轴分成4个部分，分别叫作第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。
9.点的坐标的特征
（1）四个象限内点坐标的特征：四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．
（2）数轴上点坐标的特征：x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）；y轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b)。注意：x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上。坐标轴上的点不属于任何一个象限，这一点要特别注意。
（3）象限的角平分线上点坐标的特征：第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．注：若点P(a，b)在第一、三象限的角平分线上，则a＝b；若点P(a，b)在第二、四象限的角平分线上，则a＝－b。
（4）对称点坐标的特征：P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
（5）平行于坐标轴的直线上的点：平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。
（6）各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律：第一象限(＋，＋)a＞0，b＞0；第二象限(－，＋)a＜0，b＞0；第三象限(－，－)a＜0，b＜0；第四象限(＋，－)a＞0，b＜0；x轴上正半轴(＋，0)，负半轴(－，0)；y轴上正半轴(0，＋)，负半轴(0，－)；原点(0,0)。
选择题
1.平面直角坐标系中，下列在第二象限的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了第二象限点坐标的特征．熟练掌握第二象限点坐标为是解题的关键．
根据第二象限点坐标为进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，是第二象限的点，
故选：D．
2.已知点，两点关于轴对称，则点的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了关于轴对称点的坐标， 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，
∴，
∴为
故选：D．
3.已知，点在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特点，根据轴上的点的横坐标为0，可得，求解得到m的值，从而得到点P的坐标．
【详解】∵点在轴上，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为．
故选：A．
4.在平面直角坐标系中，点一定在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征，明确各象限内点的坐标的符号是解答本题的关键，判断出点的横纵坐标的符号即可求解．
【详解】解：∵，
∴点在第二象限，
故选：B．
5.如图，直角坐标平面内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，动点P第2023次运动到点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查点的坐标规律的探究；关键是探究点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号．
观察图形可知：每4次运动为一个循环，并且每一个循环向右运动4个单位，用可判断出第2023次运动时，点P在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标．
【详解】解：动点P的运动规律可以看作运动四次为一个循环，每个循环向右运动4个单位，
，
第2023次运动时，点P在第506次循环的第3次运动上，
横坐标为：，纵坐标为：，
∴此时．
故选：B
6.在平面直角坐标系中，点在轴上，则A点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了x轴上点的坐标特点，根据在x轴上的点纵坐标为0得到，由此求出a的值，进而求出的值即可得到答案．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴，
∴，
∴A点的坐标是，
故选：D．
7.如图，正方形的顶点A，B的坐标分别为，，若正方形第1次沿x轴翻折，第2次沿y轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿x轴翻折，…则第次翻折后点C对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平面直角坐标系内的轴对称变换和图形规律探究，解答时先找到，再根据题意进行轴对称变换，找到变换的周期规律即可．
【详解】解：∵A，B的坐标分别为，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴第1次翻折后点C对应点的坐标为，第2次翻折后点C对应点的坐标为，第3次翻折后点C对应点的坐标为，第4次翻折后点C对应点的坐标为，
而，
∴经过第次翻折后点C对应点的坐标为，
故选：A．
8.如图，，，，，，…按此规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】经观察分析所有点，除外，其它所有点按一定的规律分布在四个象限，且每个象限的点满足：角标循环次数余数，余数0，1，2，3确定相应的象限，由此确定点在第一象限；第一象限的点点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为…观察易得到点的横纵坐标．
【详解】解：由题可知第一象限的点：，……角标除以4余数为2；
第二象限的点：……角标除以4余数为3；
第三象限的点：……角标除以4余数为0；
第四象限的点：……角标除以4余数为1；
由上规律可知：，
∴点在第一象限．
观察图形，得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，……，
∴第一象限点的横纵坐标数字隐含规律：点的横纵坐标（n为角标）
∴点的坐标为．
故选：C．
填空题
1.如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题的关键．
直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案．
【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为，
由点的坐标建立平面直角坐标系如下：
则点C的坐标是．
故答案为：
2.如图所示的是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部 两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶“翅膀顶端” 点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查点的坐标，先根据点A、B坐标画出平面直角坐标系，进而可得点C的坐标．
【详解】解：由两点的坐标分别为，，可得如图所示的平面直角坐标系，
则点C坐标为，
故答案为：．
3.在平面直角坐标系 中，对于点，如果点的纵坐标满足：当时，；当时，．那么称点为点的“关联点”．如果点的关联点坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了点的坐标，根据“关联点”的定义，可得答案，理解“关联点”的定义是解答本题的关键．
【详解】解：点的关联点坐标为，
或，即或，
解得：或，
点的坐标为或，
故答案为：或．
4.对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点 ，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点．
已知点， ．
（1）在点 中，线段的倍等距点是 ；
（2）线段的所有倍等距点形成图形的面积是 ．
【答案】 点和点； 见解析．
【分析】（）先设为线段上一点，再根据图可知的取值范围，由题意得，可求出的取值范围，即可求出满足条件的点；
（）由（）知，线段的所有倍等距点形成图形，再根据图形求得面积，
此题考查了新定义，解题的关键是读懂“等距点”的定义，根据概念解决问题．
【详解】（）设为线段上一点，
则由图可知，
的取值范围是，
∵ ，，，
∴，，，
设线段的倍等距点为，
则，
∴，
∴点，为线段的倍等距点，
故答案为：点和点；
（）由（）可知，
∴线段的所有倍等距点形成图形，如图，
由图可知，该图形是环形，
∴等距点形成图形的面积为，
故答案为：．
5.如图，有一系列有规律的点，它们分别是以O为顶点，边长为正整数的正方形的顶点，，依此规律，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了规律型-点的坐标：通过特殊到一般解决此类问题，利用前面正方形的边长与字母A的脚标数之间的联系寻找规律．
根据已知条件得出坐标之间每三个增加一次，找出第20个所在位置即可得出答案．
【详解】解：
数据每隔三个增加一次，得6余2，
故第20个数据坐标一定有7，且正好是3个数据中中间那一个，
依此规律，点的坐标为，
故答案为：．
解答题
1.已知平面直角坐标系中有一点．
(1)当点到轴的距离为时，求点的坐标；
(2)当点到两坐标轴的距离相等时，求点的坐标．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是明确题意，求出的值．
根据题意可知的绝对值等于，从而可以得到的值，进而得到的坐标；
根据题意得出，解答即可．
【详解】（1），
或，
解得：或，
点的坐标是或；
（2），
或，
解得：或，
点的坐标是：或
2.对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即．
(1)点的“3衍生点”的坐标为__________；
(2)若点P的“5衍生点”P的坐标为，求点P的坐标；
(3)若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的6倍，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)和
【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．
（1）直接利用新定义进而分析得出答案；
（2）直接利用新定义结合二元一次方程组的解法得出答案；
（3）先由平行于y轴得出点P的坐标为，继而得出点的坐标为，线段的长度为线段长度的6倍，解之可得．
【详解】（1）解：点的“3衍生点”的坐标为，
即，
故答案为：；
（2）解：设
依题意，得方程组
．
解得．
∴点；
（3）解：设，则的坐标为．
∵平行于y轴
∴
即，
又∵，
∴．
∴点P的坐标为，点的坐标为，
∴线段的长度为．
∴线段的长为．
根据题意，有，
∴．
∴．
∴k的值为和。
3.如图在直角梯形中，，，，．
(1)求点、、的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】（）由点作轴于，可得四边形是正方形，是等腰直角三角形，则，可容易得解；
（）可根据直角三角形的面积计算公式直接计算；
此题考查了简单的坐标与图形的知识，解题的关键是运用坐标系确定几何图形的顶点坐标，会结合坐标图形读出相关信息，求出几何图形的面积．
【详解】（1）∵四边形是直角梯形，，
∴，，
∵，
∴点在轴上且、有相同的纵坐标，，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
如图，过点作于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点在轴上，，点的坐标为，
∴，点的坐标为，
∵，，
∴，
∵点的坐标为，，
∴点的坐标为；
（2）由（）可知，
∵，，
∴的面积．
4.已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到．
(1)平移后的的一个顶点的坐标为______；
(2)点是轴上的动点，当线段最短时，点的坐标是______；依据为______；
(3)求出的面积；
(4)在线段上有一点，经上述两次平移后到，则的坐标为______；它到轴的距离为______，到轴的距离为______.（用含，的式子表示）
【答案】(1)
(2)，垂线段最短
(3)
(4)，，
【分析】本题考查作图—平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质．
（1）根据坐标中点的平移特征即可求解；
（2）根据垂线段最短，作出图形，可得结论；
（3）利用四边形面积减去三个三角形的面积求解即可；
（4）根据坐标中点的平移特征即可求解．
【详解】（1）根据坐标中点的平移特点得的坐标为
故答案为：；
（2）如图，点即为所求，点的坐标为，依据为垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短；
（3）的面积为：；
（4）向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
，它到轴的距离为，到轴的距离为，
故答案为：，，．
5.在平面直角坐标系中，有三点．
(1)当点在轴上时，点的坐标为________．
(2)当点在轴上时，点的坐标为________．
(3)当轴时，两点间的距离为________．
(4)当轴于点，且时，点的坐标为________．
【答案】(1)
(2)
(3)4
(4)或
【分析】本题考查了点的坐标：
（1）在轴上的点的纵坐标为0，据此即可作答．
（2）在轴上的点的横坐标为0，据此即可作答．
（3）平行于轴的线上的两个点的纵坐标相等，据此即可作答．
（4）垂直于轴的线上的两个点的横坐标相等，据此即可作答．
【详解】（1）解：∵点在轴上时，且，
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：∵点在轴上，且，
∴
∴点的坐标为；
（3）解：∵轴，且
∴
解得
∴
∴两点间的距离为4；
（4）解：∵轴于点，且，
∴，
∴点的坐标为或
6.在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为，
①在点，，中，为点A的“等距点”的是 ；
②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；
(2)若两点为“等距点”，求k的值．
【答案】(1)①E、F；②
(2)1或2
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．
（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；
②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；
（2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可．
【详解】（1）①点到x、y轴的距离中最大值为3，
与A点是“等距点”的点是E、F．
②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有，
这些点中与A符合“等距点”的是．
故答案为①E、F；②；
（2）两点为“等距点”，
①若时，则或
解得（舍去）或．
②若时，则
解得或（舍去）．
根据“等距点”的定义知，或符合题意．
即k的值是1或2．
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七年级数学下册 预习篇
7.1.2 平面直角坐标系
1.有序数对：把有顺序的两个数与组成的数对叫作有序数对，记作。
2.注意事项：两个数的顺序不能随意交换。
3.平面直角坐标系：在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系。水平的数轴称为轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为轴或纵轴，取向上为正方向。
4.两个数轴的单位长度可以一致也可以不一致，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
5.点的坐标：过平面内任意一点P分别向轴和轴作垂线，垂足在轴和轴上对应的数分别叫作点P的横坐标和纵坐标，有序数对叫作点P的坐标，记作。
6.表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开；点中，表示点到轴的距离，表示点到轴的距离。
7.坐标平面内任意一点，都有唯一的一对有序数对和它对应，对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，即坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。
8.坐标平面
象限：建立了平面直角坐标系后，坐标平面就被两条坐标轴分成4个部分，分别叫作第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。
9.点的坐标的特征
（1）四个象限内点坐标的特征：四个象限的点的坐标符号分别是（+，+），（-，+），（-，-），（+，-）．
（2）数轴上点坐标的特征：x轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a,0）；y轴上的点的横坐标为0，可表示为(0,b)。注意：x轴，y轴上的点不在任何一个象限内，对于坐标平面内任意一个点，不在这四个象限内，就在坐标轴上。坐标轴上的点不属于任何一个象限，这一点要特别注意。
（3）象限的角平分线上点坐标的特征：第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)．注：若点P(a，b)在第一、三象限的角平分线上，则a＝b；若点P(a，b)在第二、四象限的角平分线上，则a＝－b。
（4）对称点坐标的特征：P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,-b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (-a,-b)．
（5）平行于坐标轴的直线上的点：平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。
（6）各个象限内和坐标轴上点的坐标符号规律：第一象限(＋，＋)a＞0，b＞0；第二象限(－，＋)a＜0，b＞0；第三象限(－，－)a＜0，b＜0；第四象限(＋，－)a＞0，b＜0；x轴上正半轴(＋，0)，负半轴(－，0)；y轴上正半轴(0，＋)，负半轴(0，－)；原点(0,0)。
选择题
1.平面直角坐标系中，下列在第二象限的点是（ ）
A． B． C． D．
2.已知点，两点关于轴对称，则点的坐标是( )
A． B． C． D．
3.已知，点在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.在平面直角坐标系中，点一定在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5.如图，直角坐标平面内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，动点P第2023次运动到点（ ）
A． B． C． D．
6.在平面直角坐标系中，点在轴上，则A点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7.如图，正方形的顶点A，B的坐标分别为，，若正方形第1次沿x轴翻折，第2次沿y轴翻折，第3次沿x轴翻折，第4次沿y轴翻折，第5次沿x轴翻折，…则第次翻折后点C对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，，，，，，…按此规律，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是 ．
2.如图所示的是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部 两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶“翅膀顶端” 点的坐标为 ．
3.在平面直角坐标系 中，对于点，如果点的纵坐标满足：当时，；当时，．那么称点为点的“关联点”．如果点的关联点坐标为，则点的坐标为 ．
4.对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在点 ，使得，为正数，则称点为图形的倍等距点．
已知点， ．
（1）在点 中，线段的倍等距点是 ；
（2）线段的所有倍等距点形成图形的面积是 ．
5.如图，有一系列有规律的点，它们分别是以O为顶点，边长为正整数的正方形的顶点，，依此规律，点的坐标为 ．
解答题
1.已知平面直角坐标系中有一点．
(1)当点到轴的距离为时，求点的坐标；
(2)当点到两坐标轴的距离相等时，求点的坐标．
2.对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即．
(1)点的“3衍生点”的坐标为__________；
(2)若点P的“5衍生点”P的坐标为，求点P的坐标；
(3)若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的6倍，求k的值．
3.如图在直角梯形中，，，，．
(1)求点、、的坐标；
(2)求的面积．
4.已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到．
(1)平移后的的一个顶点的坐标为______；
(2)点是轴上的动点，当线段最短时，点的坐标是______；依据为______；
(3)求出的面积；
(4)在线段上有一点，经上述两次平移后到，则的坐标为______；它到轴的距离为______，到轴的距离为______.（用含，的式子表示）
5.在平面直角坐标系中，有三点．
(1)当点在轴上时，点的坐标为________．
(2)当点在轴上时，点的坐标为________．
(3)当轴时，两点间的距离为________．
(4)当轴于点，且时，点的坐标为________．
6.在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为，
①在点，，中，为点A的“等距点”的是 ；
②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；
(2)若两点为“等距点”，求k的值．
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