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七年级数学下册 预习篇
7.2.2 用坐标表示平移
1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)。由上可归纳为：
①在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
②在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
③在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．
2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右或向左平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加上或减去一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上或向下平移了a个单位长度。
3.平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决。注意平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
选择题
1.将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查点的平移变换．利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【详解】解：将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为，即，
点在第二象限，
故选：B．
2.在平面直角坐标系中，将点平移到点，经过的平移变换为（ ）
A．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度
C．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
【答案】C
【分析】本题考查点的平移．根据点的平移规则：左减右加，上加下减，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴将点先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点；
故选C．
3.平面直角坐标系中，把点向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．
【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到点Q，
则点Q的坐标为，即．
故选：D．
4.将点向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，则平移后的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化—平移以及各象限内点的特征，根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．关键是掌握点的坐标的变化规律．
【详解】解：点向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，是，
即，在第二象限，
故选：B．
5.在平面直角坐标系中，把点向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，平移时点的坐标变化规律是“上加下减，左减右加”．据此求解即可．
【详解】解：把点向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是，即
故选：B．
6.如图，在平面直角坐标系，线段的两个端点坐标依次为，将线段向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到对应线段，则四边形的面积为（ ）
A．7.5 B．10.5 C．15 D．18
【答案】C
【分析】本题考查坐标与平移，分割法求图形面积．根据平移规则，求得的坐标，用长方形的面积减去两个直角三角形的面积求解即可．掌握点的平移规则：左减右加，上加下减，是解题的关键．
【详解】解：由题意，，
∴四边形的面积为；
故选C．
7.将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，根据平移变化规律，横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所得到的点的坐标为，再解即可．
【详解】解：先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的点的坐标是，即．
故选：B．
8.如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键．根据点A、C的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点D的坐标即可．
【详解】解：∵的对应点C的坐标为，
∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1，
∵点的对应点为D，
∴D的坐标为．
故选：A．
填空题
1.已知、两点的坐标分别为、，把线段平移，使它的一个端点在点处，则点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了点及图形的平移规律．分两种情况讨论，由平移后对应点的坐标为得到平移规律可得到D坐标；或由平移后对应点的坐标为得到平移规律可得到D坐标．
【详解】解：若平移后对应点的坐标为，
∴相当于将线段向下平移3个单位，
∵，
∴点坐标为；
若平移后对应点的坐标为，
∴相当于将线段向左平移2个单位，
∵，
∴点坐标为；
综上，点坐标为或，
故答案为：或．
2.平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴和轴的距离分别为4，5，若把点向右平移3个单位长度，则平移后对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离以及点的平移，熟记相关结论确定点的坐标是解题关键．
【详解】解：∵点到轴和轴的距离分别为4，5，
∴
∵点在第二象限，
∴
∴，
∴的坐标为：，即：
故答案为：
3.在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位得到点，则a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】解：∵点向左平移3个单位得到点，
∴．
故答案为：．
4.平面直角坐标系中，将点向上平移4个单位，得到点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与平移．根据点的平移规则：上加下减横不变，左减右加纵不变，进行求解即可．
【详解】解：将点向上平移4个单位，得到点P的坐标为；
故答案为：．
5.在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，平移线段，平移后其中一个端点的坐标为，则另一端点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化－平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．没有确定对应点时，注意分类讨论．分两种情况讨论，①平移后的对应点的坐标为；②平移后的对应点的坐标为，根据根据平移规律可得另一端点的坐标．
【详解】解：①平移后得到点的坐标为，
∴向右平移个单位，
∴的对应点坐标为，即；
②平移后得到点的坐标为，
∴向右平移个单位，向下平移个单位，
∴的对应点坐标为，即；
综上，另一端点的坐标为或．
故答案为或．
解答题
1.如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上．将先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到．
(1)请在图中画出．
(2)上有点，平移后对应点的坐标为 （用含a，b的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解平移方式；
（1）根据题中所给平移方式进行求解即可；
（2）根据平移方式可进行求解．
【详解】（1）解：平移后得到的如图所示：
（2）解：由题意可知：上有点，平移后对应点的坐标为；
故答案为．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，使得点平移到点，点平移到点．
(1)直接写出点A和点的坐标，并证明；
(2)连接，求三角形的面积；
(3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积等于三角形的面积的一半？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点，点，证明见解析
(2)
(3)存在，或或或
【分析】本题主要考查了平移的性质、平行线的性质、三角形的面积、坐标与图形等知识，熟练掌握平移的性质是解此题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．
（1）本题主要考查利用平移的性质证明两条直线平行，再利用平行线的性质证明，对于点A和点的坐标，
直接利用平移性质求解即可．
（2）本题主要考查利用坐标来求三角形的面积，由于A，B，C都是定点，直接利用三角形的面积定义法求解即可．
（3）本题考查面积存在性问题，利用方程思想解决，由于点在坐标轴上，长度转化成坐标时，坐标有正负，注意分类讨论的思想求解，做到不重不漏．
【详解】（1）解：点，点，
由平移的性质可得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴三角形的面积为
（3）∵三角形的面积为10，
∴三角形的面积为5，
①若点在轴上，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为或
②若点在轴上，
∵，
∴，
∴，
∴点的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或或或．
3.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将向右平移3个单位后，再向下平移2个单位得到．
(1)在图上画出；
(2)设点为内一点，经过平移后，请写出点P在内的对应点的坐标．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平移作图，对于（1），将三个顶点向右平移3个单位，向下平移2个单位，再依次连接得到图形；
对于（2），根据平移特点解答即可．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）根据题意可知将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的对应点的坐标是．
4.如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为.将三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形，其中点分别为点的对应点.
(1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标；
(2)若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示点的坐标；（直接写出结果即可）
(3)求三角形的面积.
【答案】(1)见解析，
(2)
(3)6
【详解】（1）三角形如图所示.点的坐标为.
（2）点的坐标为.
（3）三角形的面积为.
5.如图1，在平面直角坐标系中，已知，将线段沿x轴正方向平移至，，且，连接．
(1)写出点A的坐标为_______；点B的坐标为_______；
(2)连接，在y轴上是否存在一点P，使三角形的面积等于三角形的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点D为的中点，点E是线段上一动点（点E不与点D、C重合），连接、．
①如图2，若，，求的度数；
②如图3，已知，，与相交于点F，点F在下方，若，．在点E运动的过程中，的值是否发生改变？若不变，请求出的值？若改变，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或
(3)①，②不变，3
【分析】（1）非负性求出的值，进而得到点坐标，再根据平移的性质，求出点的坐标即可；
（2）设点，根据三角形的面积等于三角形的面积，列出方程求解即可；
（3）①过点作，平移得到，进而得到，根据平行线的性质，推出，即可；
②设交于点，由①可知：，根据给定的角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，求出，进一步得出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵平移后的点的坐标为，
∴，即：；
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
设点，
∴，
∴；
∴或；
（3）①过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
②不变，设交于点，则：，
∵，，
∴，，
由①知：，
∴，
∴，
∴，
∴，为定值．
6.平面直角坐标系中，O为原点，点，，．
(1)如图①，则三角形ABC的面积为______；
(2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积．
【答案】(1)6；
(2)9
【分析】本题考查了坐标与图形、点的平移等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键．
（1）根据题意得出，，，然后根据三角形面积公式直接计算即可；
（2）由平移的性质可得点坐标；①连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据进行计算即可得到答案；②根据的面积等于的面积，求解即可．
【详解】（1）解：∵O为原点，点，，．
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：6；
（2）解：∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，，
∴得到对应点坐标为，
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，，
∴
。
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7.2.2 用坐标表示平移
1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)。由上可归纳为：
①在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
②在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
③在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．
2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上或减去一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右或向左平移a个单位长度；如果把各个点的纵坐标都加上或减去一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上或向下平移了a个单位长度。
3.平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决。注意平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.
选择题
1.将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.在平面直角坐标系中，将点平移到点，经过的平移变换为（ ）
A．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度
C．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
3.平面直角坐标系中，把点向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.将点向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，则平移后的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5.在平面直角坐标系中，把点向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在平面直角坐标系，线段的两个端点坐标依次为，将线段向右平移5个单位，再向上平移1个单位，得到对应线段，则四边形的面积为（ ）
A．7.5 B．10.5 C．15 D．18
7.将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
填空题
1.已知、两点的坐标分别为、，把线段平移，使它的一个端点在点处，则点的坐标是 ．
2.平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴和轴的距离分别为4，5，若把点向右平移3个单位长度，则平移后对应点的坐标为 ．
3.在平面直角坐标系中，把点向左平移3个单位得到点，则a的值为 ．
4.平面直角坐标系中，将点向上平移4个单位，得到点P的坐标为 ．
在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，平移线段，平移后其中一个端点的坐标为，则另一端点的坐标为 ．
解答题
1.如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上．将先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到．
(1)请在图中画出．
(2)上有点，平移后对应点的坐标为 （用含a，b的代数式表示）．
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，使得点平移到点，点平移到点．
(1)直接写出点A和点的坐标，并证明；
(2)连接，求三角形的面积；
(3)在坐标轴上是否存在点，使三角形的面积等于三角形的面积的一半？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将向右平移3个单位后，再向下平移2个单位得到．
(1)在图上画出；
(2)设点为内一点，经过平移后，请写出点P在内的对应点的坐标．
4.如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为.将三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形，其中点分别为点的对应点.
(1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标；
(2)若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示点的坐标；（直接写出结果即可）
(3)求三角形的面积.
5.如图1，在平面直角坐标系中，已知，将线段沿x轴正方向平移至，，且，连接．
(1)写出点A的坐标为_______；点B的坐标为_______；
(2)连接，在y轴上是否存在一点P，使三角形的面积等于三角形的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点D为的中点，点E是线段上一动点（点E不与点D、C重合），连接、．
①如图2，若，，求的度数；
②如图3，已知，，与相交于点F，点F在下方，若，．在点E运动的过程中，的值是否发生改变？若不变，请求出的值？若改变，请说明理由．
6.平面直角坐标系中，O为原点，点，，．
(1)如图①，则三角形ABC的面积为______；
(2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积．
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