中小学教育资源及组卷应用平台
七年级数学下册 预习篇
8.4 三元一次方程组的解法
1.三元一次方程的概念
三元一次方程就是含有三个未知数并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程。
2.三元一次方程组的概念
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组。
3.三元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是消元,即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想，解三元一次方程组的基本思想也是消元,一般地,应利用代入法或加减法消去一 个未知数从而变三元为二元,，然后解这个二元一次方程组 ，求出两个未知数,最后再求出另一个未知数.
选择题
1.下列不是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义，根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解．
【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
B、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是2，不是三元一次方程组，符合题意．
C、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意；
故选：B．
2.响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民复兴家准备将一块良田分成三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，复兴主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的复兴将A区的面积划分给了B区，而原B区的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的区和区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式加减的应用，三元依次方程组的应用，找准等量关系，正确列出代数式是解题关键．设三个区域原来的面积分别为，先求出复兴划分后，区的面积与区的面积，从而可得，再设区划分给区的面积为，则区划分给区的面积为，根据爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为可得，据此化简即可得．
【详解】解：设三个区域原来的面积分别为，
由题意得：复兴划分后，区的面积为，区的面积为，
∵复兴划分后，造成现区的面积占两区面积和的比例达到了，
，即，
∴复兴划分后，区的面积为，区的面积为，
设爸爸将区划分给区的面积为，则区划分给区的面积为，
∵爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为，
，
①，②，
由①得：，
将代入②得：，
，
则爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为，
故选：B．
3.我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用个钱买只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，公鸡的只数不可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得，
，
整理得：
，
，，且都是自然数，
，
，是7的倍数，
，7，14，21，
，18，11，4；
共有4种情况：
①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；
②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；
③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只；
④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只．
故小鸡的只数不可能是
故选：
4.请认真观察，动脑子想一想，图中的“？”表示的数是（ ）
A．70 B．160 C．240 D．420
【答案】A
【分析】设一个小熊为，一个球为，一双鞋为．根据题意可得，求解即可得到答案．
【详解】设一个小熊为，一个球为，一双鞋为．
根据题意，得
，得
．
组成方程组，得
．
解得
．
将代入，得
．
解得
．
原方程组的解为．
．
故选：A．
5.设，则（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方程②得到，结合方程①可得，由此即可得到答案．
【详解】解：
由②得，
∴，
∴，
故选C．
6.某学校体育社团准备采购一批体育用品奖给学生，到了文具店发现广告上写着优惠活动如下：3根跳绳，5个乒乓球和一个羽毛球共16元；2根跳绳，3个乒乓球和一个羽毛球共12元；王老师马上想到：5根跳绳，9个乒乓球和一个羽毛球共需（ ）元
A．28 B．24 C．20 D．18
【答案】B
【分析】设x根跳绳，y个乒乓球，z个羽毛球，根据已知条件列出方程组，利用加减法分别求出，，再将拆分成，代入计算即可．
【详解】解：设每根跳绳x元，每个乒乓球y元，每个羽毛球z元，
由题意可得：，
得：，
∴，
得：，
∴，
故选B．
7.解方程组，较简便的方法是（ ）．
A．先消z B．先消y C．先消x D．无法确定
【答案】B
【分析】，，得：，根据，得：，可得，方程组随之得解，问题即可作答．
【详解】
，得：，
，得：，即，
将代入，解得：，
将，代入，解得：，
根据解答过程可知较简便的方法是先消y，
故选：B．
8.已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（ ）
A．340 B．430 C．520 D．610
【答案】C
【分析】根据进行分类讨论即可求解．
【详解】解：，且均为非负整数，
①当时，
，
，
，
，
会组成四位数，不满足题意；
②当时，
，
，
，
，
故组成最大的三位数为：；
③时，
，，
，
解得：，
组成最大的三位数为：
综上所述，它们最大三位数是，
故选：C．
填空题
1.对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ．
【答案】17
【分析】此题考查了解三元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据新运算法则列出方程组，用含b的式子表示出a和c的值，再根据新运算法则计算即可．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：，
②﹣①得：，即，
②+①得：，即，
则原式．
故答案为：17．
2.对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”．最大的三位“美好数”是 ．若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，满足条件的三位“美好数”有 ．
【答案】 或
【分析】题目主要考查有理数的表示、方程组求解，理解题意，列出方程组化简求值是解题关键．根据题意，最大的三位美好数的百位数字一定是9，十位数字为8，再根据各个数位上的数字之和为18，得到个位数字为1，即可，设三位“美好数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，根据一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，结合美好数的定义，列出方程组求解即可．
【详解】解：∵最大的三位“美好数”
∴百位数字一定是9，十位数字为8，
∵各个数位上的数字之和为18，
∴个位数字为1，
∴最大的三位“美好数”是；
设三位“美好数”的百位数字为，十位数字为，个位数字为，
则：，
由题意，得：，
整理，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，；
当时，，；
∴符合条件的的三位“美好数”有或；
故答案为：，或．
3.对于一个三位数，它各个数位上的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的2倍，我们就称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差与十位数字的和记为，则 ．若是一个“互差数”，且，则的最小值 ．
【答案】
【分析】本题主要考查列代数式，有理数的混合运算，三元一次方程组的应用，理解“互差数”的意义是解题的关键．根据“互差数”的定义可求解； 设的个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c，根据“互差数”的定义列方程及，列方程组，解方程组结可求解b值，即可得，再分类求得m值．
【详解】解：；
∵是一个“互差数”，
设的个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c，而，
∴，
解得，
∴，
当时，，此时m的值为925；
当时，，此时m的值为824；
当时，，此时m的值为723；
当时，，此时m的值为521；
当时，，因，“互差数”各个数位的数字互不相等，所以622不是“互差数”；
当时，，因为“互差数”各个数位的数字均不为0，所以420不是“互差数”，
综上可知：满足条件的所有m的最小值为521．
故答案为：，
4.对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字与十位数字之和等于个位数字的2倍，那么称这个数n为“文德数”，例如：，因为，所以是“文德数”；，因为，所以不是“文德数”．若将一个“文德数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s，若s也是一个“文德数”，求满足条件的 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，等式的性质，设m的百位数为a，十位数为b，个位数为c，则s的百位数为，十位数为a，个位数为b，根据“文德数”的定义推出，再根据a、b、c为整数，以及a、b、c的取值范围确定c的值，进而确定a、b的值是解题的关键．
【详解】解：设m的百位数为a，十位数为b，个位数为c，则s的百位数为，十位数为a，个位数为b，
根据题意可得，，
∴，
∵且a、b、c都是整数，
∴都是整数，
∴，
当时，，此时，
故答案为：．
5.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成．如果每人每天能够缝制10个衣袖或15个衣身或12个衣领，那么应该安排 名工人缝制衣袖， 名工人缝制衣身， 名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套．
【答案】 120 40 50
【解析】略
解答题
1.解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解二元一次方程组，
（1）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
（2）先利用代入消元法得到，然后利用加减消元法求解即可；
利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．
【详解】（1）解：
整理得，
得，
解得
将代入①得，
解得
∴原方程组的解为；
（2）解：
由①得，
将④代入②，③得，
整理得，
得，
解得，
将代入⑤得，
解得，
将，代入④得，
∴原方程组的解为．
2.【阅读感悟】
已知实数x、y满足，求和的值．
本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？
(3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果．
【答案】(1)，
(2)丙种钢条长米
(3)3
【分析】本题考查解二元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键．
（1）利用整体思想进行求解即可；
（2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可；
（3）将，代入，得到三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可．
【详解】（1）解：，
，得：；
，得：；
（2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，
由题意，得：，
，得：；
∴丙种钢条长米；
（3）将，代入，得：
，
，得：；
∴．
3.用A，B两种硬纸板做圆柱模型，每个圆柱需要1个长方形做侧面和2个圆做底面．两种硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A纸板：剪2个长方形做侧面和3个圆做底面；
B纸板：剪1个长方形做侧面和4个圆做底面．
问需要用A，B两种硬纸板各多少张恰好能做这种圆柱模型1000个？
【答案】需要用400张A种硬纸板，200张B种硬纸板
【详解】设需要x张A种硬纸板，y张B种硬纸板，根据题意，得
，解得
答：需要用400张A种硬纸板，200张B种硬纸板．
4.四只猴子吃桃子，第一只猴子吃的是另外三只猴子吃的总数的一半，第二只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第三只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第四只猴子吃了26个．问四只猴子共吃了多少个桃子？
【答案】四只猴子共吃了120个桃子
【详解】设第一只猴子吃了x个桃子，第二只猴子吃了y个桃子，第三只猴子吃了z个桃子，依题意，得
，解得，
∴四只猴子共吃了40＋30＋24＋26＝120（个）
答：四只猴子共吃了120个桃子．
5.某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表：
胜/场 平/场 负/场 积分
A队 8 2 2 26
B队 6 5 1 23
C队 5 7 0 22
问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？
【答案】每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分
【详解】解：设每队胜1场积x分，平1场积y分，负1场积z分．
根据题意，得，解得，
故每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分．
6.有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为25岁，乙、丙的年龄之和为26岁，甲、丙的年龄之和为27岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？
【答案】甲的年龄为13岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为14岁
【详解】解：设甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，丙的年龄为z岁，
依题意，得，解得
答：甲的年龄为13岁，乙的年龄为12岁，丙的年龄为14岁．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
七年级数学下册 预习篇
8.4 三元一次方程组的解法
1.三元一次方程的概念
三元一次方程就是含有三个未知数并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程。
2.三元一次方程组的概念
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组,叫做三元一次方程组。
3.三元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想是消元,即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想，解三元一次方程组的基本思想也是消元,一般地,应利用代入法或加减法消去一 个未知数从而变三元为二元,，然后解这个二元一次方程组 ，求出两个未知数,最后再求出另一个未知数.
选择题
1.下列不是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2.响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民复兴家准备将一块良田分成三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，复兴主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的复兴将A区的面积划分给了B区，而原B区的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的区和区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为（ ）．
A． B． C． D．
3.我国古代数学家张丘建在《张丘建算经》里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用个钱买只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，公鸡的只数不可能是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4.请认真观察，动脑子想一想，图中的“？”表示的数是（ ）
A．70 B．160 C．240 D．420
5.设，则（ ）
A．12 B． C． D．
6.某学校体育社团准备采购一批体育用品奖给学生，到了文具店发现广告上写着优惠活动如下：3根跳绳，5个乒乓球和一个羽毛球共16元；2根跳绳，3个乒乓球和一个羽毛球共12元；王老师马上想到：5根跳绳，9个乒乓球和一个羽毛球共需（ ）元
A．28 B．24 C．20 D．18
7.解方程组，较简便的方法是（ ）．
A．先消z B．先消y C．先消x D．无法确定
8.已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（ ）
A．340 B．430 C．520 D．610
填空题
1.对于有理数x和y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，已知，，则的值为 ．
2.对任意一个三位正整数m，如果各个数位上的数字之和为18，则称这个三位正整数m为“美好数”．最大的三位“美好数”是 ．若一个三位“美好数”前两位数字组成的两位数与这个“美好数”个位数字的4倍的和为111，满足条件的三位“美好数”有 ．
3.对于一个三位数，它各个数位上的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的2倍，我们就称这个三位数为“互差数”．定义一个新运算，我们把一个“互差数”的百位数字减去个位数字的差与十位数字的和记为，则 ．若是一个“互差数”，且，则的最小值 ．
4.对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字与十位数字之和等于个位数字的2倍，那么称这个数n为“文德数”，例如：，因为，所以是“文德数”；，因为，所以不是“文德数”．若将一个“文德数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s，若s也是一个“文德数”，求满足条件的 ．
5.某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成．如果每人每天能够缝制10个衣袖或15个衣身或12个衣领，那么应该安排 名工人缝制衣袖， 名工人缝制衣身， 名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套．
解答题
1.解方程组：
(1)
(2)
2.【阅读感悟】
已知实数x、y满足，求和的值．
本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得x、y的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①＋②可得，由可得，这样的解题思想称为“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米：甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？
(3)对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，请直接写出运算：的结果．
3.用A，B两种硬纸板做圆柱模型，每个圆柱需要1个长方形做侧面和2个圆做底面．两种硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A纸板：剪2个长方形做侧面和3个圆做底面；
B纸板：剪1个长方形做侧面和4个圆做底面．
问需要用A，B两种硬纸板各多少张恰好能做这种圆柱模型1000个？
4.四只猴子吃桃子，第一只猴子吃的是另外三只猴子吃的总数的一半，第二只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第三只猴子吃的是另外三只猴子吃的，第四只猴子吃了26个．问四只猴子共吃了多少个桃子？
5.某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表：
胜/场 平/场 负/场 积分
A队 8 2 2 26
B队 6 5 1 23
C队 5 7 0 22
问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？
6.有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为25岁，乙、丙的年龄之和为26岁，甲、丙的年龄之和为27岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
