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七年级数学下册 预习篇
9.3 一元一次不等式组
1.一元一次不等式组的概念：一般地关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。（这几个不等式必须含有同一个未知数）
2.解一元一次不等式组：
（1）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不等式组的解集。
（2）由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况：同小取小；同大取大；大小小大取中间，大大小小取不到。
（3）一元一次不等式组的解法：
第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集；
第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；
第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。
3.一元一次不等式（组）的应用：审题设未知数找不等关系列不等式（组）解不等式（组）检验回答。
选择题
1.不等式组的解集在数轴上表示为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的解集在数轴上的表示；分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
原不等式组的解集在数轴上表示如下：
故选：C
2.若关于 的不等式组的整数解共有3个，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式组特殊解问题，先分别解出不等式，再根据只有3个整数解求解即可得到答案
【详解】解：解不等式①得，，
解不等式②得，，
∵不等式组的整数解共有3个，
∴整数解是：，，，
∴，
故选：D．
3.若关于x的一元一次不等式的解为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
根据不等式的性质可知，两边同时除以，不等式的符号发生改变，可知，求解即可．
【详解】解：关于x的一元一次不等式的解为，
，
．
故选：A．
4.如果关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是求出的取值范围．
根据不等式组有且只有5个整数解可以是，即可得到，解得，由关于的方程的解为非负整数，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的和即可．
【详解】由，得，
由，得，
∵关于的不等式组有且只有5个整数解，
∴这5个整数解是，
∴，
解得，
由方程，可得，
∵方程的解为非负整数，
∴且为整数，
解得且为整数，
∴且为整数，
∴满足条件的整数的值为，
∴符合条件的所有整数的和为3，
故选：B．
5.已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解的应用，确定不等式组的解集是解答本题的关键．
先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后根据整数解的个数确定a的范围即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是，
∵原不等式组的整数解有4个为，
∴．
故答案为A．
6.关于的不等式组的解集为，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法，首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是，可得，，再解一元一次方程可得答案．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∵关于x的不等式组的解集为，
∴，，
解得：，
则，
故选：C．
7.若不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
【详解】解：不等式组有解，
，
故选：D．
8.定义：把互不相等的3个正整数x，2，5（三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串．现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作．下列说法：
①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或3．
②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1，2，3，则x有4种不同的取值．
③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数串1，2，3．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论，按照题干中给出的信息进行操作，列出相应的方程进行计算即可．
【详解】解：①若新数串为1，2，3则2不是新数串中最大值，
∴5是被替换的数，即存在时或时，故①正确；
②当x为最大值时，则第一次操作后新数串为：，2，5，
经过第二次操作，新数串为1，2，3，
则可知，第二次操作，5被替换，
即5为最大数，
∴或，
解得：，
∴新数串为，，，
当，或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当，或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
∴当x为最大值时，或或或；
当5为最大值时，则第一次操作后新数串为：，2，x，
∵经过第二次操作后仍然存在2，
∴或，
当时，或，
由得，
∵x为正整数，
∴，
当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1，1，2，不符合题意；
∴不符合题意；
不等式组无解；
当时，或，
不等式组无解；
由得：，
∵x为正整数，
∴或，
当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1，1，2，不符合题意；
当时，第一次操作后新数串为3，2，4，进行第二次操作后为2，2，3，不符合题意；
综上分析符合题意的x的值只有4个，故②正确；
③当时，第一次操作后新数串为14，2，5，
进行第二次操作后为4，2，5，
进行第三次操作后为4，2，3，
进行第四次操作后为2，2，3，不符合题意，
∴只能进行三次操作，无法进行第四次操作，
∴当时，在整个操作过程中不存在新数串1，2，3，故③错误；
综上分析可知，正确的个数为2个．
故选：B．
填空题
1.既满足，又满足的整数可以为 （写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
【详解】解：由得，
，
由得，
，
同时满足两个不等式的解集，
其中整数有0，1，2
故答案为：1（答案不唯一）
2.把一盒铅笔分给小朋友，每人3支，则余8支；每人5支，则最后一个小朋友能分到铅笔但不足3支，则这一盒铅笔有 支．
【答案】26
【分析】本题考查了不等式组的问题，掌握解不等式组的整数解的方法是解题的关键．设共有x名小朋友，则共有支铅笔，根据“每人5支，则最后一个小朋友能分到铅笔但不足3支”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出x的值，再将其代入中即可求出结论．
【详解】解：设共有x名小朋友，则共有支铅笔，
依题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴，
∴．
故答案为：26．
3.不等式组的整数解之和是 ．
【答案】3
【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可求出整数解之和．
【详解】解：不等式组可化为，
解得，
其整数解为，，0，1，2，3，
所以整数解之和是．
故答案为：3．
4.若关于x的一元一次不等式组无解，求a的取值范围 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式无解即可得到答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于x的一元一次不等式组无解，
∴，
故答案为；．
5.已知关于，的方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解关于，的方程组，结合，可求得的取值范围，解关于的不等式组，根据不等式组无解，可再次可求得的另一取值范围．
【详解】解关于，的方程组，得
则，
即
解得，
解关于的不等式组
由不等式，得
，
由不等式，得，
，
因为关于的不等式组无解，可得
，
解得
，
综上所述可知
，
所以，所有符合条件的整数为，，，，，，，这些整数的和为，
．
故答案为：．
解答题
1.解下列一元一次不等式（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解不等式或不等式组；
（1）先移项，然后合并同类项，再将未知数系数化为1即可；
（2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：．
2.骑车佩戴安全头盔，可以保护头部，减少意外伤害，某商店销售进价分别为元/个、元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：
时间 甲种头盔销量（个） 乙种头盔销量（个） 销售额（元）
周一
周二 6
(1)求甲、乙两种头盔的销售单价；
(2)甲乙两种头盔共售出个，为实现利润达到元的目标，至少需要卖多少个甲头盔．
【答案】(1)甲头盔的销售单价为元，乙头盔的销售单价为元；
(2)至少需要卖个甲头盔；
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用：
（1）本题考查二元一次方程的实际应用，设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，根据费用列方程组求解即可得到答案；
（2）本题考查不等式的应用，根据利润列不等式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲头盔的销售单价为元，乙头盔的销售单价为元；
（2）解：设卖出m个甲头盔，则卖出个乙头盔，
根据题意得：，
解得：，
∴m的最小值为，
答：至少需要卖个甲头盔．
3.甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动，已知甲、乙两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）．现准备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表：
购买服装的套数 48套以下 48套至90套 91套及以上
每套服装的价格 65元 55元 45元
如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元．
(1)如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？
(3)如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？
【答案】(1)1360元
(2)甲幼儿园有56名小朋友准备参加演出，乙幼儿园有40名小朋友准备参加演出
(3)方案1：各自购买服装需5590元；方案2：联合购买服装需4730元；方案3：联合购买91套服装需4095元；甲、乙两所幼儿园联合起来选择按45元一套购买91套服装最省钱
【分析】本题考查方案问题、一元一次方程的实际应用；找到等量关系列方程、列出所有方案是解决本题的关键；
（1）计算出联合购买的价格，再减去单独购买的价格即可；
（2）根据题目等量关系“甲、乙两所幼儿园一共96人”列方程求解，再判定结果是否满足“甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人”即可；
（3）分别计算出3种方案的价格，最后比较结果即可．
【详解】（1）解：若甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装需（元），
比各自购买服装共可以节省：（元），
因此共可以节省1360钱，；
（2）设甲幼儿园有小朋友名，则乙幼儿园有小朋友名，
依题意得，，
解得，，
故符合题意，所以（名），
故甲幼儿园有56名小朋友准备参加演出，乙幼儿园有40名小朋友准备参加演出；
（3）甲幼儿园人数：（人），乙幼儿园人数：40人，
方案1：各自购买服装需（元），
方案2：联合购买服装需（元），
方案3：联合购买91套服装需（元），
因为，
所以应该甲、乙两所幼儿园联合起来选择按45元一套购买91套服装最省钱．
4.解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：解不等式①，得 第1步
合并同类项，得 第2步
两边都除以，得 第3步
任务一：该同学的解答过程中第 步出现了错误，这一步的依据是 ，不等式①的正确解是 ．
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：3，不等式的基本性质3，；任务二：
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．任务一：根据不等式的解法逐步分析即可；任务二：根据不等式的解法求出不等式②的解集，然后求出解集即可．
【详解】解：（1）该同学的解答过程中第3步出现了错误，这一步的依据是不等式的基本性质3，不等式①的正确解是
故答案为：3，不等式的基本性质3，
（2）解不等式②，得，
∴不等式组的解为．
5.若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是多少？
【答案】
【详解】由条件可得由，得，
将代入中，得．
则可变形为．
又，．
6.学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需元；购买5个A奖品和4个B奖品共需元．
(1)求A，B两种奖品的单价；
(2)王老师带了元准备购买A，B两种奖品共个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．王老师有几种购买方案？
【答案】(1)A种奖品的单价是元，B种奖品的单价是元
(2)有3种购买方案：A种奖品购买8个，则购买B奖品个或A种奖品购买9个，则购买B奖品个或A种奖品购买个，则购买B奖品个
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系、不等关系．
（1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，可得：，即可解得答案；
（2）设A种奖品购买m个，则购买B奖品个，可得：，解出不等式组，再由m是正整数即可得到答案．
【详解】（1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，
根据题意得：，
解得，
答：A种奖品的单价是元，B种奖品的单价是元；
（2）设A种奖品购买m个，则购买B奖品个，
根据题意得：，
解得，
m是正整数，
m可以取8、9、10，
有3种购买方案：
A种奖品购买8个，则购买B奖品个
A种奖品购买9个，则购买B奖品个
A种奖品购买个，则购买B奖品个
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七年级数学下册 预习篇
9.3 一元一次不等式组
1.一元一次不等式组的概念：一般地关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。（这几个不等式必须含有同一个未知数）
2.解一元一次不等式组：
（1）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不等式组的解集。
（2）由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况：同小取小；同大取大；大小小大取中间，大大小小取不到。
（3）一元一次不等式组的解法：
第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集；
第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；
第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。
3.一元一次不等式（组）的应用：审题设未知数找不等关系列不等式（组）解不等式（组）检验回答。
选择题
1.不等式组的解集在数轴上表示为( )
A． B．
C． D．
2.若关于 的不等式组的整数解共有3个，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3.若关于x的一元一次不等式的解为，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.如果关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
5.已知关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.关于的不等式组的解集为，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．1
7.若不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.定义：把互不相等的3个正整数x，2，5（三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串．现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作．下列说法：
①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或3．
②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1，2，3，则x有4种不同的取值．
③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数串1，2，3．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
填空题
1.既满足，又满足的整数可以为 （写出一个即可）．
2.把一盒铅笔分给小朋友，每人3支，则余8支；每人5支，则最后一个小朋友能分到铅笔但不足3支，则这一盒铅笔有 支．
3.不等式组的整数解之和是 ．
4.若关于x的一元一次不等式组无解，求a的取值范围 ．
5.已知关于，的方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的和为 ．
解答题
1.解下列一元一次不等式（组）：
(1)；
(2)．
2.骑车佩戴安全头盔，可以保护头部，减少意外伤害，某商店销售进价分别为元/个、元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：
时间 甲种头盔销量（个） 乙种头盔销量（个） 销售额（元）
周一
周二 6
(1)求甲、乙两种头盔的销售单价；
(2)甲乙两种头盔共售出个，为实现利润达到元的目标，至少需要卖多少个甲头盔．
3.甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动，已知甲、乙两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）．现准备给每位小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表：
购买服装的套数 48套以下 48套至90套 91套及以上
每套服装的价格 65元 55元 45元
如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元．
(1)如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？
(3)如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为如何购买服装才能最省钱？
4.解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：解不等式①，得 第1步
合并同类项，得 第2步
两边都除以，得 第3步
任务一：该同学的解答过程中第 步出现了错误，这一步的依据是 ，不等式①的正确解是 ．
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
5.若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是多少？
6.学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需元；购买5个A奖品和4个B奖品共需元．
(1)求A，B两种奖品的单价；
(2)王老师带了元准备购买A，B两种奖品共个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．王老师有几种购买方案？
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