北京市汇文教育集团垂杨柳学校2023—2024学年下学期九年级开学考数学试卷（PDF版、无答案）

初三数学试卷
班级： 姓名： 成绩：
一、选择题（本题共 16 分，每题 2 分）第 1 - 8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 抛物线 = ( + 2)2 1的对称轴是
A． = 1 B． = 1 C． = 2 D． = 2
2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B. C. D.
3．在下列事件中，随机事件是
A．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过 6
B．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球
C．通常情况下，自来水在 10℃结冰
D．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为 2
4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB=65°，则∠ADC 的度数为
A．65° B．35°
C．32.5° D．25°
5.如果甲、乙、丙三位同学随机站成一排，那么甲站在中间的概率是
1 1 2 1
A． B． C． D．
2 6 3 3

6.平面直角坐标系 xOy 中，若点 ( 1, 2)和 ( 2, 4)在反比例函数 = ( > 0)图象上，则下列关系式
正确的是
A． 1 > 2 > 0 B． 2 > 1 > 0 C． 1 < 2 < 0 D． 2 < 1 < 0
7.某商店在节日期间开展优惠促销活动：购买原价超过 200 元的商品，超．过．200
元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额 y（单位：元）与商
品原价 x（单位：元）的函数关系的图象如图所示，则超．过．200 元的部分可以
享受的优惠是（ ）
A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折
1
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8.如图，正方形 ABCD 的边长是 4，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上的一
A D F
点，且 BE＝DF，四边形 AEGF 是矩形，设 BE 的长为 x，AE 的长为 y，
矩形 AEGF 的面积为 S，则 y 与 x，S 与 x 满足的函数关系分别是 E
G
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 B C
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
二、填空题（本题共 16 分，每题 2 分）
9．点 M（2，-4），N 关于原点对称，则点 N 的坐标是 ．
10．已知⊙O 的半径为 6，若点 P 在⊙O 外，则 OP 6（填“＞”“＝”或“＜”）．
11. 如果一个圆锥的母线长为 4，底面半径为 1，那么这个圆锥的侧面积为 ．
12．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑
中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，
某地园林中的一个圆弧形门洞的高为 2.5m，地面入口
宽为 1m,则该门洞的半径为__________m.
13.为了解某小麦品种的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下
表：
种子个数 n 5 50 100 200 500 1 000 2 000 3 000
发芽种子个数 m 4 44 92 189 476 951 1 898 2 851

发芽种子频率 0.800 0.880 0.920 0.945 0.952 0.951 0.949 0.950

(1)估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为 (结果保留两位小数)；
(2)若在相同条件下播种该品种小麦种子 10 000 个，则约有 个能发芽．
14．中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图 1），其中的 24 枚邮票大小相同，
上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这 24 枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气
韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念．以“大雪”节气单枚邮票为例（图 2），该邮票
的“上圆弧”的长为 l，“直边长”为 d，“下圆弧”的长为 x，则 x＝ （用含 l，
d 的式子表示）．
2
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5
15．如图 1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分．铅球出手位置的高度为 m，
3
当铅球行进的水平距离为 4 m 时，高度达到最大值 3 m. 铅球的行进高度 y（单位：m）与水平距离 x
（单位：m）之间的关系满足二次函数. 若以最高点为原点，过原点的水平直线为 x 轴，建立如图 2
1
所示的平面直角坐标系 xOy，则该二次函数的解析式为 = 2.若以过出手点且与地面垂直的直线
12
为 y 轴，y 轴与地面的交点为原点，建立如图 3 所示的平面直角坐标系 xOy，则该二次函数的解析式
为 .
16．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（1，0）．P 是第一象限内任意一点，连接 PO，PA．若
∠POA= m°，∠PAO= n°，则我们把 P（m°，n°）叫做点 P 的“双角坐标”．例如，点（1，1）的“双
角坐标”为（45°，90°）．
1 3
（ √1）点（ ， ）的“双角坐标”为______________；
2 2
1
（2）若点 P 到 x 轴的距离为 ，则 m+n 的最小值为__________．
2
三、解答题（共 68 分，第 17-22 题，每题 5 分，第 23-26 题，每题 6 分，27-28 题，每题 7 分）解答应写
出文字说明、演算步骤或证明过程．
4 3 ≥ 3( 1),
17．解不等式组：{2 +6
< .
5
18．关于 x 的一元二次方程 2 (2 + 1) + 2 = 0有两个实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根．
3
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19．已知一次函数 1 = 2 + 的图象与反比例函数 2 = ( > 0)的图象交于 A，B 两点．
（1）当点 A 的坐标为（2，1）时.
①求 m，k 的值；
②当 > 2时， 1_____ 2（填“>”，“=”或“<”）.
（2）将一次函数 1 = 2 + 的图象沿 y 轴向下平移 4 个单位长度后，使得点 A，B 关于原点对称，
求 m 的值 . y
6
5
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 x-1
-2
-3
-4
-5
-6
20．已知抛物线 = 2 + + + 2( ≠ 0)与 x 轴交于点 A（ 1，0），点 B（ 2，0）（点 A 在点 B
的左侧），抛物线的对称轴为直线 = 1．
（1）若点 A 的坐标为（ 3,0），求
①抛物线的表达式
②点 B 的坐标 ；
（2）C 是第三象限的点，且点 C 的横坐标为 2，若抛物线恰好经过点 C，直接写出 x2 的取值范围．
21．两个质地均匀的正方体 M 和 N，正方体 M 的六个面分别标有数字“0”“1”“2”“3”“4”“5”；正方体 N
的六个面分别标有数字“0”“1”“2”“6”“7”“8”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字．如果先掷一次
正方体 M，再掷一次正方体 N 得到两个数字，如先后掷到“0”和“1”记为 01，可表示某月的 01 日：
先后掷到“5”和“8”记为 58，不能表示某月的日期．求先后各掷一次正方体 M 和正方体 N，得到的
两个数字能组成一月的一个日期的概率．
4
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22．如图， 是☉ 外一点， 与☉ 相切，切点为 . 画出☉ 的另一条切线 ，切点为 .
小云的画法是：
①连接 ，过点 画出 的垂线交☉ 于点 ；
②画出直线 . P
直线 即为所求.
（1）根据小云的画法，补全图形；
（2）完成下面的证明. A
证明：连接 ， ． O
∵ = ， ⊥ ，
∴ 垂直平分 ，∠ = ∠ .
∴ = ① .
∴∠ = ② .
∴∠ = ∠ .
∵ 是☉ 的切线， 为切点，
∴ ⊥ ．
∴∠ = 90°.
∴∠ = 90°.
∴ ⊥ 于点 .
∵ 是☉ 的半径，
∴ 是☉ 的切线（ ③ ）（填推理的依据）.
23. 在△ABC 中，∠ACB=90°，AC＜BC，点 D 在 AC 的延长线上，点 E 在 BC 边上，且 BE=AD．
（1）如图 1，连接 AE，DE，当∠AEB=110°时，求∠DAE 的度数；
（2）在图 2 中，将线段 AE 绕点 E 顺时针旋转 90°得到线段 EF，连接 BF，DE．
①依题意补全图形；
②求证：BF=DE．
图 1 图 2
5
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24．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CD⊥AB 于点 E，连接 DO 并延长交⊙O 于点 F，连接 AF
交 CD 于点 G，CG=AG，连接 AC．
C F
（1）求证：AC∥DF；
（2）若 AB=12，求 AC 和 GD 的长．
G
A E O B
D
25．由于惯性的作用，行使中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹
车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过 150km/ ）进行测试，
测得数据如下表：
车速 （km/ ） 0 30 60 90 120 150
刹车距离 （ ） 0 7.8 19.2 34.2 52.8 75
（1）以车速 为横坐标，刹车距离 为纵坐标，在坐标 s ( m ) s
80
系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连
70
接这些点；
60
（2）由图表中的信息可知： 50
40
①该型汽车车速越大，刹车距离越_________（填“大”
30
或“小”）；
20
②若该型汽车某次测试的刹车距离为 40 m，估计该车 10
的速度约为__________ km/h； O 30 60 90 120 150 v( km/h )
（3）若该路段实际行车的最高限速为 120 km/h，要求
该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的 3 倍，则安全车距应超过 ________m.
6
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7
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28．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M（0，t），N（0，t+2），给出如下定义：
若∠MPN＝30°，则称点 P 为线段 MN 的“亲近点”．
（1）当 t＝0 时，
①在点 ，B（3，2）， ，D（﹣1，﹣3）中，线段 MN 的“亲近点”
是 ；
②点 P 在直线 y＝1 上，若点 P 为线段 MN 的“亲近点”，则点 P 的坐标为 ；
（2）若直线 上总存在线段 MN 的“亲近点”，则 t 的取值范围是 ．
8
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