第一章 安培力与洛伦兹力 专题强化练3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动（含解析）-2024春高中物理选择性必修2（人教版）

专题强化练3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
训练1　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1.(2023·淮安市高中校协作体联考期中)如图所示的虚线框为一长方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子以不同的速率从O点垂直于磁场方向、沿图中方向射入磁场后，分别从a、b、c三点射出磁场，比较它们在磁场中的运动时间ta、tb、tc，其大小关系是(　　)
A．taC．ta＝tb>tc D．ta2.(2023·扬州市广陵区红桥高级中学高二期中)如图所示，在第四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，一对比荷之比为2∶1的正、负带电粒子在坐标平面内以相同的速率沿与x轴成30°角的方向从坐标原点射入磁场。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用力。正、负带电粒子在磁场中运动的时间之比为(　　)
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．1∶1
3.如图所示，空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计粒子重力，该磁场的磁感应强度大小为(　　)
A. B. C. D.
4.如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则(　　)
A．从P射出的粒子速度大
B．从Q射出的粒子周期大
C．从P射出的粒子在磁场中运动的时间长
D．两粒子在磁场中运动的时间一样长
5.(2023·苏州市常熟中学高二月考)如图所示，三个速度大小不同的同种带电粒子(重力不计)，沿同一方向从图中长方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞出时相对入射方向的偏角分别为90°、60°、30°，则它们的速度大小之比为(　　)
A．1∶2∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶(＋2) D．1∶2∶(2＋4)
6.如图所示，OACD为矩形，OA边长为L，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为q的粒子从O点以速度v0垂直磁感线射入磁场，速度方向与OA的夹角为α＝60°，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则(　　)
A．粒子带正电
B．匀强磁场的磁感应强度大小为
C．为保证粒子能够从A点射出磁场，OD边长至少为L
D．减小粒子的射入速度，粒子在磁场区域内的运动时间变短
7.如图所示的扇形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AO与OB垂直，圆弧的半径为R。一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从圆心O点以大小为的速度射入磁场，结果粒子刚好从AB弧的中点C射出，不计粒子的重力，则下列说法正确的是(　　)
A．粒子在磁场中运动的时间为
B．粒子从O点射入速度与BO边的夹角为30°
C．只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从AC段圆弧射出，则粒子在磁场中运动时间变长
D．只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从CB段圆弧射出，则粒子在磁场中运动时间变短
8.(2019·全国卷Ⅱ)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　)
A.kBl，kBl B.kBl，kBl
C.kBl，kBl D.kBl，kBl
9.如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v1、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为(　　)
A.v1 B.v1
C.v1 D.v1
10.(2023·连云港市高二期中)两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。若a、b的偏转角分别为120°和60°，不计粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
A．a、b粒子的半径之比为1∶2
B．a、b粒子的动量之比1∶1
C．a、b粒子动能之比9∶1
D．a、b粒子在磁场中运动的时间之比2∶1
11.(2023·淮安市涟水县第一中学高二月考)如图所示，直角三角形ACD区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电粒子以速度v从C点沿∠C的角平分线射入磁场(图中未画出)，刚好从A点离开磁场。已知∠A＝30°，CD边的长度为d，粒子重力不计。
(1)判断该粒子的带电性质；
(2)求该粒子的电荷量q；
(3)求该粒子在磁场中的运动时间t。
训练2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题
1．如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为(　　)
A．B> B．B< C．B> D．B<
2.如图所示，宽为d的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为e的质子从A点出发，与边界成60°角进入匀强磁场，要使质子从左边界飞出磁场，则质子速度的最大值为(　　)
A. B. C. D.
3.直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图所示，直线OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，方向与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计粒子重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点O的距离为(　　)
A. B. C. D.
4.如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
A．使粒子的速度v>
B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v>
D．使粒子的速度5.(2022·南通市高二期末)如图所示，真空中有一磁感应强度为B的匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同心圆，磁场方向垂直纸面向里。圆心处有一粒子源，粒子的质量为m、电荷量为q，忽略粒子的重力。若粒子均被限制在图中实线圆围成的区域内，则粒子源发射粒子的最大速度是(　　)
A. B. C. D.
6.如图所示，在平面直角坐标系Oxy的第一、二象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场。当沿x轴正方向射入时，粒子垂直x轴离开磁场，不计粒子的重力，则(　　)
A．粒子一定带负电
B．粒子入射速率为
C．粒子在磁场运动的最短时间为
D．粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为L
7.(2023·南京师范大学附属扬子中学高二期末)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在四分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计粒子重力及带电粒子之间的相互作用力。则v2∶v1为(　　)
A.∶2 B.∶1 C.∶1 D.∶
8.(2023·扬州市邗江区高二期中)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小B＝0.60 T，有一与磁场平行的足够大的感光板ab，其左侧处有一粒子源S向纸面内各个方向均匀发射速度大小都是v＝6.0×106 m/s的带正电粒子，其比荷为＝5.0×107 C/kg，粒子重力不计。已知SO垂直ab，其中沿与SO成30°角射出的粒子的运动轨迹刚好与ab相切于P，求：
(1)粒子源距ab感光板的距离；
(2)从S垂直SO向下射出的粒子打在感光板上的位置；
(3)ab板上感光部分的长度。
9．(2022·滁州市高二期末)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在磁场边界上的M点放置一个放射源，能在纸面内以速率v向各个方向发射大量的同种粒子，粒子的电荷量为q、质量为m(不计粒子的重力及粒子间的相互作用力)，有粒子射出的圆弧长度为。下列说法正确的是(　　)
A．粒子进入磁场时的速率为v＝
B．所有粒子中在磁场中运动的最长时间是t＝
C．将磁感应强度大小改为B时，有粒子射出的边界弧长变为
D．若粒子入射速率为v时，有粒子射出的边界弧长变为πR
专题强化练3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
训练1　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．C　[电子在磁场中做圆周运动的周期T＝，则电子在磁场中运动的时间为t＝T，与速度无关，故在磁场中运动的时间取决于圆心角的大小。由几何关系可知θa＝θb>θc，故C正确。]
2．D　[运动轨迹如图所示，由图可知，带正电的粒子运动轨迹所对应的圆心角为120°，带负电的粒子运动轨迹所对应的圆心角为60°，正、负带电粒子圆心角之比为2∶1；由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，得r＝，又T＝，解得T＝，故正、负带电粒子周期之比为1∶2，粒子在磁场中运动的时间t＝T，故正、负带电粒子在磁场中运动的时间之比为＝，故选D。
]
3．A　[粒子的运动轨迹如图所示，
粒子做圆周运动的轨道半径
r＝＝R
根据洛伦兹力提供向心力得
qv0B＝m，解得B＝，故A正确。]
4．D　[作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，根据圆周运动特点知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相等，故可判定两粒子从P、Q点射出时，半径RP]
5．D　[长方形区域的匀强磁场的宽度为d，偏角为90°、60°、30°的轨迹半径分别为r1、r2、r3，由几何关系得r1＝d，r2－r2cos 60°＝d，解得r2＝2d，r3－r3cos 30°＝d，解得r3＝(4＋2)d，根据牛顿第二定律，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝，v＝，故它们的速度之比等于轨迹半径之比，即为1∶2∶(2＋4)，D正确，A、B、C错误。
]
6．C　[粒子进入磁场时所受洛伦兹力垂直于速度方向指向右下方，由左手定则可知，粒子带负电，故选项A错误；
粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可得轨迹半径r＝＝，由洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m，解得B＝，故选项B错误；
OD边长最短时对应CD边与轨迹圆弧相切，由几何知识可知，OD边长最短为d＝r－rcos α＝，故选项C正确；
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，可知减小粒子的入射速度v，轨迹半径将减小，粒子出射位置会在A点左侧，由几何知识可知，轨迹的圆心角始终等于2α，粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，T不变，粒子在磁场中的运动时间t＝T，不变，故选项D错误。]
7．A　[粒子在磁场中运动的半径r＝＝R，则由几何关系可知，粒子在磁场中转过的角度为60°，运动的时间为t＝T＝T＝，选项A正确；由几何关系可知粒子从O点射入速度与BO边的夹角为75°，选项B错误；只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从AC段圆弧射出，则粒子在磁场中转过的角度仍为60°，粒子在磁场中运动时间不变，选项C错误；只改变粒子射入磁场时速度的方向，使粒子从BC段圆弧射出，则粒子在磁场中转过的角度仍为60°，粒子在磁场中运动时间不变，选项D错误。
]
8．B　[电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra＝，由洛伦兹力提供向心力，有evaB＝m，
又＝k，解得va＝；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有rd2＝l2＋(rd－)2，解得：rd＝，由洛伦兹力提供向心力，有evdB＝m，又＝k，解得vd＝，选项B正确。]
9．C　[画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示，由题意，同一粒子在磁场中偏转时间均为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60°；设圆的半径为R，由几何关系可以确定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r1＝2R，r2＝Rtan 60°＝R，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，则速度v＝，则＝＝，所以当粒子沿ab方向射入时，v2＝v1，A、B、D错误，C正确。
]
10．D　[设圆形磁场区域的半径为R，a粒子的轨迹半径为ra，b粒子的轨迹半径为rb，根据几何关系有ra＝Rtan 30°＝R，rb＝＝R，a、b粒子的半径之比为1∶3，A错误；根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得动量满足p＝mv＝qBr，a、b粒子的动量之比为1∶3，B错误；粒子动能Ek＝，可得a、b粒子的动能之比为1∶9，C错误；粒子在磁场中运动的时间为t＝·T＝·＝，故a、b两粒子在磁场中运动时间之比为＝＝，D正确。
]
11．(1)带负电　(2)　(3)
解析　(1)由左手定则可知，该粒子带负电；
(2)粒子沿∠C的角平分线射入磁场，与AC的夹角为30°，刚好从A点离开磁场，则应该沿DA方向射出，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的半径为r＝＝＝2d
根据qvB＝m
可得q＝
(3)粒子在磁场中的运动时间t＝·＝。
训练2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题
1．D　[由题意可知，电子正好经过C点时的运动轨迹如图所示，此时圆周运动的半径R＝＝a，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝有a<，即B<，D项正确。
]
2．A　[质子速度最大的临界状态是轨迹与PQ相切时，如图所示
由几何知识可得r＋rcos 60°＝d，解得r＝d，质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力有evB＝，解得v＝，故选A。]
3．D　[带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r＝。由题意可知，轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识得CO′D为一直线段，＝＝2＝4r＝，故D正确。
]
4．B　[如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r12＝(r1－)2＋l2，又r1＝，所以v1＝；粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，v2＝，综合上述分析可知，选项B正确。
]
5．B　[当粒子在磁场中的运动轨迹和外圆相切时，粒子在图中实线圆围成的区域内运动的半径最大，速度最大，粒子的运动轨迹如图，设粒子的最大半径为r，根据几何知识有r2＋a2＝(3a－r)2，所以粒子的最大半径为r＝a，由qvB＝m，得v＝，故选B。
]
6．D　[根据题意，当粒子的速度沿x轴正方向射入时，粒子运动的轨迹如图甲所示，由此可知，粒子带正电，故A错误；
根据洛伦兹力提供向心力，
则qvB＝m，r＝L，解得v＝，故B错误；
当粒子在磁场中运动时间最短时，粒子运动轨迹如图乙所示，根据几何关系可得θ＝，粒子运动的时间为
t＝T＝·＝，故C错误；
当粒子离开磁场的位置与P点连线是轨迹圆的直径时，位置最远，如图丙所示，由图丙可知PQ＝2L，PQ2＝OP2＋OQ2，解得OQ＝L，故D正确。
]
7．D　[由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由qvB＝m，可知R＝，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。设圆形区域半径为R圆，若粒子运动的速度大小为v1，如图所示
通过旋转圆可知，当粒子在磁场中的出射点A离P点最远时，有AP ＝ 2R1，同样，若粒子运动的速度大小为v2，当粒子在磁场中的出射点B离P点最远时BP ＝ 2R2，由几何关系可知R1＝，R2＝R圆·cos 30°＝，R1∶R2＝∶，则v2∶v1＝R2∶R1＝∶，故选D。]
8．(1)10 cm　(2)见解析　(3)10(＋) cm
解析　(1)如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
qvB＝m
解得R＝＝20 cm
当初速度与SO成30°角射出，轨迹与ab切于P点，可知△SPO1为等边三角形，由几何关系可知粒子源距ab感光板的距离为SO＝R－Rsin 30°＝R＝10 cm
(2)如图所示
设从S垂直SO向下射出的粒子打在感光板上的位置与O的距离为x，
根据几何关系可得cos α＝＝
则有
x＝Rsin α＝10 cm
(3)如图所示
ab板上感光部分最上端点与O点的距离为OP＝Rsin 60°＝10 cm
ab板上感光部分最下端点与O点的距离为
OQ＝＝10 cm
故感光部分的长度为
PQ＝10(＋) cm。
9．C　[由题意，如图甲所示，当粒子在磁场中运动转过的圆心角为180°时，其射出点N离M最远，此时对应磁场区域的圆心角为120°，则根据几何关系可知粒子做匀速圆周运动的半径为r1＝Rsin 60°＝R，根据牛顿第二定律有qvB＝m，解得v＝，故A错误；
粒子在磁场中运动的周期为T＝＝，当粒子的轨迹与磁场区域内切时，其运动时间最长，恰好为1个周期，故B错误；
将磁感应强度大小改为B时，由r＝知粒子运动半径变为r2＝＝R
如图乙所示，可知粒子轨迹弦长最大值为R，所以有粒子射出的边界弧长变为＝×2πR＝，故C正确；
若粒子入射速率为v时，粒子运动半径变为r3＝r1＝R
如图丙所示，可知粒子轨迹弦长最大值为R，所以有粒子射出的边界弧长变为＝×2πR＝，故D错误。
]