2023-2024学年数学八年级二次根式单元测试试题（人教版）（提升卷一）含解析

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2023-2024学年数学八年级二次根式（人教版）
单元测试 （提升卷一） 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片则图中空白部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）要使有意义，则x的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（本题3分）如果二次根式有意义，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）下列乘法算式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
8．（本题3分）设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则代数式，的值是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不存在
9．（本题3分）若，则化简的结果是（ ）
A． B． C．5 D．
10．（本题3分）已知正实数m，n满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
12．（本题3分）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ．
13．（本题3分）已知，，则代数式的值是 ．
14．（本题3分）已知，则 ．
15．（本题3分）若，则 ．
16．（本题3分） ．
17．（本题3分）若x，y为实数，且，则 ．
18．（本题3分）设，则的值为 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）计算∶
(1)； (2)．
20．（本题8分）计算：
(1)； (2)．
21．（本题10分）已知其中，化简求值．
22．（本题10分）计算：
(1)；
(2)已知，．
①已知的算术平方根为3，求的平方根；
②如果，都是同一个数的平方根，求这个数.
23．（本题10分）观察，思考，解答：，反之，，即．所以．
(1)仿照上列，化简 ；
(2)已知，求值．（结果需化为最简的二次根式）
24．（本题10分）计算：
(1)；
(2)；
(3)如果规定“⊙”为一种新的运算：，例如：，仿照例子计算，当时，的值．
25．（本题10分）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知，求式子 的最小值．
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子 的最小值为 ；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？

(3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．

参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查二次根式的应用，算术平方根的实际应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长即可得出结果．
【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和，
∴它们的边长分别为，，
∴，，
∴空白部分的面积
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据二次根式的乘法，加法，减法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C
3．C
【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】A选项：，故不是最简二次根式；
B选项：，故不是最简二次根式；
C选项：是最简二次根式；
D选项：，故不是最简二次根式．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式的分母不为0，二次根式的被开方数非负，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，
，
∴
∴x的值可以是3，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于零及分母不为零得到，进而求解即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
解得：，
故选：A．
6．D
【分析】此题考查的是二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、整式的除法、分式的乘除法，掌握它们的运算法则是解决此题关键．
A、根据二次根式加减法的法则计算判断即可；B、根据单项式的除法法则计算判断即可；C、根据分式的乘除法法则计算判断即可；D、根据二次根式乘法的法则计算判断即可．
【详解】解：A、，故原计算错误，不合题意；
B、，故原计算错误，不合题意；
C、，故原计算错误，不合题意；
D、，故原计算正确，符合题意；
故选：D．
7．B
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先把各二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念解答即可．
【详解】A、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、与被开方数相同，故是同类二次根式；
C、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
D、与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查偶次方根有意义的条件，代数式求值．
根据六次方根的被开方数是非负数和求x、y、z是两两不等的实数，求得，代入求得，再把，代入计算即可．
【详解】解：由题意，得，
∵x、y、z是两两不等的实数，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查二次根式的化简，利用二次根式的性质及绝对值的性质计算即可．
【详解】解：，
，，
，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可．
【详解】解：∵m，n均为正实数，
∴可化为，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故选：B
11．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，据此即可作答．
【详解】解：∵式子 有意义
∴
解得
故答案为：
12．，
【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：，，，
故这些二次根式中是最简二次根式的为：，．
故答案为：，
13．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．利用平方差公式把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
14．//2.5
【分析】本题主要考查了代数式求值、二次根式运算、利用完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据题意解得，，再将整理为，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，由可得，平方后整理得，再整体代入求值即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简各项再计算即可．
【详解】原式
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
二次根式的被开方数是非负数，据此得到，继而求得，然后代入所求的代数式求值即可．
【详解】解：由题意知：且．
解得．
所以．
所以．
故答案为：．
18．
【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，直接利用混合运算法则化简，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】，
，
，
，
，，
∴
，
∴
，
∴原式，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先利用二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算：
（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解；
（2）根据二次根式的乘法法则计算，即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
21．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，先根据分式的运算法则化简代数式，然后将代入，即可求解．
【详解】
，
，
原式
22．(1)；
(2)①；②；
【分析】（1）根式的混合运算，根据，求解即可得到答案；
（2）①本题考查有关平方根及算术平方根的运算，根据求解即可得到答案；②本题考查一个数的平方根互为相反数直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：①的算术平方根是3，
，
解得，
，
，
故的平方根；
②，都是同一个数的平方根，且，
，
解得，
，
答：这个数是．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的例题解答问题．
（1）根据题目中的例题可以解答本题；
（2）根据题目中的例题，可以将变形，然后再将分式进行化简，代入求值即可．
【详解】（1）解：；
故答案为：．
（2）解：，
．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据二次根式的除法进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（3）仿照例子根据二次根式的混合运算进行计算，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）∵，
∴
．
25．(1)6
(2)20米
(3)
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目．
（1）根据材料提供的信息解答即可．
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可．
（3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．
【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6．
（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为20，
∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
（3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为，
又∵、的面积分别是6和12，
∴，，
∴，
∴
∵．
∴当且仅当时，取等号，即的最小值为，
∴四边形面积的最小值为．
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