2023-2024学年数学八年级三角形的证明单元测试试题（北师大版）（提升卷一）含解析

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2023-2024学年数学八年级三角形的证明（北师大版）
单元测试 （提升卷一） 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．8，9，10
2．（本题3分）题目：“如图，，C是射线反向延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，已知点P，Q同时出发，表示移动的时间，若是等腰三角形，求t的值．”对于其答案，甲答：“”，乙答：“”，则正确的是（ ）

A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲、乙合在一起才正确 D．甲、乙合在一起也不正确
3．（本题3分）如图，在中，，，的垂直平分线交于点O，交于点D，连接．则下列结论：①；②平分；③；④．正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（本题3分）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
5．（本题3分）如图，在中，，，则点到直线的距离是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
6．（本题3分）如图，在中，，，点E是的中点，则的面积是（ ）
A．3 B．12 C．24 D．32
7．（本题3分）如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（本题3分）如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（ ）
A． B．4 C． D．5
9．（本题3分）如图，过边长为a的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于D，则的长为（　　）
A． B． C． D．不能确定
10．（本题3分）如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）如图，中，是的垂直平分线，，，则的周长是 ．
12．（本题3分）如图，在中，，，，，则 ．
13．（本题3分）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接．若的面积为9，的面积为12，则四边形的面积为 ．
14．（本题3分）如图，在三角形ABC中，，，若的面积为6，则D到的距离为 ．
15．（本题3分）已知等腰三角形的周长为24，其中两边之差为6，则这个等腰三角形的腰长为 ．
16．（本题3分）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为平分，若，则的长为 ．
17．（本题3分）如图，中，是中线，是角平分线，垂直于点F，，，则的长是 ．

18．（本题3分）如图，是边长为的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，点A、C、D、B四点共线且与交于点M，，，．
(1)证明：．
(2)证明：是等腰三角形．
20．（本题8分）如图，在中，．
(1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D；（要求保留作图痕迹）
(2)连接，若，，求的周长．
21．（本题10分）如图，中，，，于点 E，于点 D，与 相交于 F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
22．（本题10分）如图，在中，，是边上的中线，是上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
23．（本题10分）操作题：
(1)尺规作图：作的平分线；
(2)用刻度尺画的平分线，写出作法；
(3)小明操作如下：在的两边上分别任取，，连接、，与相交于点，射线即为所求．请你完成作图，并说明理由．
24．（本题10分）如图，为的中点，在上，交于，若．
求证：．
25．（本题10分）在中，，点D为外一点，连接，连接交于点G，且满足．
(1)如图1，若，求的长．
(2)如图2，点F为线段上一点，连接，过点C作交的延长线于点E，若．求证：；
(3)如图3，点H为线段上一点，，点K是直线上的一个动点，连接．将线段绕点G顺时针旋转得到线段，点P是线段上的一个动点连接，若，，请直接写出的最小值．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴三边长为1，2，3不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴三边长为3，4，5可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴三边长为4，5，6不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴三边长为8，9，10不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段上时；（2）当点P在的延长线上时．分别列式计算即可求．
【详解】解：分两种情况：当点P在线段上时，
设t时后是等腰三角形，
有，
即，
解得；
当点P在的延长线上时，此时经过时的时间已用，
当是等腰三角形时，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即，
解得，
故或，即甲、乙合在一起才正确．
故选：C．
3．C
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，理解性质是解题的关键．由在中，，，的垂直平分线交于点O，交于点D，根据线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，可求得， ，继而求得：①；②平分；③．由所对的直角边等于斜边的一半可判断④，从而可得答案．
【详解】解：的垂直平分线交于点O，交于点D，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
平分；故②正确；
，
，故③正确；
∵，，
∴，故④错误．
故选C
4．D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答的关键．
根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了点到直线的距离，角平分线的性质．熟练掌握点到直线的距离，角平分线的性质是解题的关键．
如图，作于，则的长即为点到直线的距离，由角平分线的性质可得，然后作答即可．
【详解】解：如图，作于，则的长即为点到直线的距离，
∵，，，
∴，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理．根据三角形外角的性质及证得，设，在中利用勾股定理即可求出x的值，从而求出的面积，再根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形计算即可．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
∴的面积为：，
∵点E是的中点，
∴的面积是，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，进而可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误．
【详解】解：如图，在上取点使，
∵平分，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，③正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴，②正确，故符合要求；
∴，①正确，故符合要求；
∵，，
∴，④正确，故符合要求；
综上：正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和三角形中线性质，作于，先利用角平分线的性质得到，由三角形中线可知，再根据即可得．
【详解】解：如图，作于，
平分，，
，
是线段的中点，
∴
∴，
∵，
∴
解得，
故选：C．
9．A
【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．过P作交于点F，通过求证，推出，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可推出的长度．
【详解】解：过P作交于点F，如图所示
则，
∵是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵于E，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
10．B
【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当取得最小值时确定点的位置．如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点的位置，即为与的交点时，的值最小，求出此时．
【详解】解：如图1，作，且，连接，连接，
是等边三角形，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
当为与的交点时，如图2，的值最小，
此时，，
，
故选：B．
11．12
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
故答案为：12．
12．
【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为．
13．30
【分析】本题考查了作图中垂线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．先利用基本作图得到垂直平分，则，在根据三角形面积公式得到，接着计算出，然后计算即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
，
∵的面积为9，的面积为12，，
∴，
四边形的面积．
故答案为：．
14．2
【分析】本题考查了角平分线的性质内容：即为角平分线上的点到角两边距离相等，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：过点D分别作，
∵，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∵的面积为6，
∴
即，
解得，
即D到的距离为2，
故答案为：2．
15．10
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．已知等腰三角形的周长为24，两边之差为6，但没有明确指明底边与腰谁大，因此要分两种情况，分类讨论．
【详解】解：设等腰三角形的腰长为，
①当腰长比底边长长6时，底边长为，则：
，
解得，
此时三角形的三边长为10，10，4，满足三角形的三边关系.
②当底边长比腰长长6时，底边长为，
则，
解得，
此时三角形的三边长为6，6，12，
∵，
∴6，6，12不能组成数形，故不成立；
综上分析可知，这个等腰三角形的腰长为10．
故答案为：10．
16．2
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含角的直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
故答案为：2．
17．2
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质．延长交于点G，证明，从而可得是等腰三角形，，点F是中点，判断出是的中位线，继而可得出答案．
【详解】解：延长交于点G，

∵平分，
∴，
∵垂直，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
又∵点D是中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：2．
18．
【分析】先过点作于点，先根据等边三角形的性质及三线合一得到，证明，推得，．
【详解】解：过点作交于点，
，
，，
是等边三角形，
，
又，
是等边的中线，
，
和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点平行线的性质、等边三角形的性质与判定、三线合一、全等三角形的性质与判定，解题关键是合理设置辅助线转化相等线段位置．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．
（1）直接根据证明即可；
（2）先根据全等三角形的对应角相等，再根据三角形的判定可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
20．(1)见解析；
(2)的周长为．
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键；
（1）根据线段垂直平分线的尺规作图可进行求解；
（2）由（1）可知，然后问题可求解
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求．
（2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线，
，
的周长=．
，
∴的周长为．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先说明，再根据等角的余角相等得，然后根据证明≌，即可得答案；
（2）先证明，再根据勾股定理求出，然后证明是的垂直平分线，进而得出答案．
【详解】（1）∵，，
∴．
∵，，，
∴.
在和中，
∴≌，
∴；
（2）连接，
∵≌，
∴，
∴是等腰直角三角形.
，
∴．
∵，，
∴，是的垂直平分线．
∴，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质和判定，全等的性质是证明线段相等的常用方法．
22．(1)答案见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等边对等角可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【详解】（1）证明：，是边上的中线，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，是边上的中线，
，
．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据尺规作图作的平分线；
（2）在的两条边上分别画，，连接、，交点为点，画射线，即为所求；
（3）根据（2）的方法画图，进而根据全等三角形的性质与判定进行证明即可求解．
【详解】（1）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交，于，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线．
（2）如图，在的两边上分别任取，，连接、，与相交于点，射线即为所求．
（3）解：如图所示，
在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
平分．
24．证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，倍长中线，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】延长到点G，使得，
∵ D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴,，
∴，
∴．
25．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点A作于点E，证明，可得，求出的长即可利用勾股定理求解；
（2）如图所示，在上取一点H，使得，连接，证明，可得，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，可得，同理，即可推出，即可求证；
（3）如图3-1所示，过点G作交直线于T，连接，则是等腰直角三角形，证明，可得，从而得到 在垂直于的直线l上运动；如图3-2所示作H关于直线的对称点，连接，则，可得要使最小，即要使最小，当三点共线且时（此时P在在N），满足题意；根据题意得到，过点A作于Q，过点H作于M，可求出，可得，，根据轴对称性可得，从而得，可得到，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点A作于点E，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，在上取一点H，使得，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理，
∵，
∴，
；
（3）解：如图3-1所示，过点G作交直线于T，连接，则是等腰直角三角形，
∴，
由旋转的性质可知，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在垂直于的直线l上运动；
如图3-2所示作H关于直线的对称点，连接，则，
过作于N，交于L，交于；
∴，
∴要使最小，即要使最小，
∴当三点共线且时（此时P在在N），满足题意；
∵，
∴，
∴，
过点A作于Q，过点H作于M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由轴对称性得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路径问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
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