2023-2024学年数学八年级一次函数单元测试试题（京改版）（提升卷一）含解析

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2023-2024学年数学八年级一次函数（京改版）
单元测试 （提升卷一） 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）一次函数与正比例函数（k为常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，下列说法不正确的是（ ）
A．点A在第三象限 B．点A与点B关于y轴对称
C．线段平行于x轴 D．点A到x轴的距离是3
3．（本题3分）如图，直线与相交于点，则方程组的解是（ ）

A． B． C． D．
4．（本题3分）一列快车由甲地开往乙地，同时一列慢车由乙地开往甲地，两车匀速行驶，它们离乙地路程与行驶时间之间的函数关系如图所示，则两车相遇时，它们离乙地的路程为（ ）
A．150km B．200km C．250km D．300km
5．（本题3分）一次函数的自变量和函数值的部分对应值如下表所示：
则关于x的不等式的解集是( )
A． B． C． D．
6．（本题3分）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图（1），从矩形纸片中剪去矩形后，动点从点出发，沿、、、以的速度匀速运动到点停止，设点运动的时间为，的面积为，如果关于的函数图象如图5（2）所示，则图形的面积是（ ）．
A．32 B．34 C．48 D．36
8．（本题3分）已知一次函数图象上两点和，下列结论：①若，则；②图象过定点；③原点O到直线的距离最大值为5，正确的个数（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（本题3分）将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，所得直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，…，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）若点在x轴上，则 ．
12．（本题3分）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ．
13．（本题3分）将直线沿y轴平移后经过点，则平移后的直线表达式为 ．
14．（本题3分）已知点在函数的图象上，则 ．
15．（本题3分）在平面直角坐标系中，一块正方形纸板按如图位置放置，已知点坐标为点坐标为，则点的坐标为 ．
16．（本题3分）如图①，在中，，动点从点A出发，沿折线运动到点，速度为，其中的长与运动时间的关系如图②．则的面积为 ．
17．（本题3分）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A点、B点．点M在坐标轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有 个．
18．（本题3分）把a、b、c三个数按照从小到大排列，最大的数记作，例如，若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）一次函数恒过定点．
(1)若一次函数还经过点，求的表达式；
(2)若有另一个一次函数，
①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：；
②设函数，当时，函数有最大值6，求的值．
20．（本题8分）在直角坐标系中，点，点是直线在第一象限的一点．
(1)设的面积为S，用含的解析式表示S，写出自变量取值范围；
(2)在直线求一点，使是以为底的等腰三角形；
(3)若第（2）问变为使是等腰三角形，这样的点有几个？
21．（本题10分）在弹性限度内，弹簧的长度（厘米）与所挂物体质量（千克）成一次函数关系，根据下表提供的数据，求关于的函数表达式．
所挂物体质量（千克） 8 24
弹簧长度（厘米） 12 16
22．（本题10分）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示
进货批次 甲种水果质量单位：千克 乙种水果质量单位：千克 总费用单位：元
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)销售完前两次购进的水果后，第三次购进甲、乙两种水果共200千克，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．
①已知投入的资金不超过3360元试求购进的甲种水果至少为多少千克？
②将其中的 m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
23．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与直线交于点，与x轴交于点D．
(1)直接写出点A、点B的坐标和m的值；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
24．（本题10分）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发匀速运动到B地，先到B地的人原地休息，甲开轿车，乙骑摩托车．已知乙先出发，然后甲再出发．设在这个过程中，甲、乙两人的距离y（km）与乙离开A地的时间x（h）之间的函数关系如图所示．
(1)乙比甲先出发______小时，甲开轿车的速度是______，第一次相遇的时间在乙出发______小时；
(2)求线段对应的函数表达式；
(3)当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距30km时，求此时乙行驶的时间．
25．（本题10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B作交x轴于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)点D为直线上一点，且，求直线的解析式；
(3)若点是轴上一点，连接，将沿着所在直线折叠，当点落在轴上时，求点的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了一次函数图象，根据题意可得，根据解析式可得与平行，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴与平行，且与轴交于负半轴，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据点A的坐标为，点B的坐标为，判断各选项的正误即可．
【详解】A、点A的坐标在第三象限，正确，不符合题意；
B、点A与点B的纵坐标相同，但横坐标不是相反数，故原说法错误，符合题意；
C、点A与点B的纵坐标相同，线段平行于x轴，原说法正确，不符合题意；
D、点A的坐标为，点A到x轴的距离是3，原说法正确，不符合题意，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．
把点代入求出的值，根据函数图象交点的坐标就是函数解析式组成的方程组的解，得出交点坐标．
【详解】解：把点代入，
得：，
∴点，
∵直线与相交于点，
∴方程组的解是．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系．根据图象，得到快车和慢车的速度，再用总路程除以两车的速度和求出相遇的时间，进一步求出它们离乙地的路程即可，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
【详解】解：由图象可知：快车的速度为，慢车的速度为，
∴两车相遇所需时间为：；
∴两车相遇时，它们离乙地的路程为．
故选A．
5．A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先根据待定系数法求出一次函数的解析式，再解不等式求解．
【详解】解：将代入
解得：
∴，
∴，
解得：，
故选：A．
6．D
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，有一定难度，解题的关键是作出辅助线，根据题意得到直角三角形的面积，利用三角形的面积公式求出的长．设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．
【详解】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，
∵正方形的边长为1，
∴，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边面积分别是4，
∴三角形面积是5，
∴，
∴，
∴，
由此可知直线l经过，
设直线l解析式为，
则，解得：，
∴直线l解析式为，
故选D．
7．D
【分析】本题考查函数图象的应用．正确读懂函数图象是解决本题的关键．
根据函数图象的增减性，把图象的特殊点，与实际图形中的点对应起来即可求解．
【详解】解：根据函数图象可以知道，从0到4，随的增大而增大，因而，在段时，底边不变，高不变，因而面积不变，由图象可知；同理：，；则，
则图形的面积是：矩形的面积矩形的面积．
图形的面积是．
故选：D．
8．C
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，点到直线的距离，平面直角坐标系内两点间的距离．掌握一次函数的图象和性质是解题关键．由，即得出其y值随x的增大而减小，可判断①；将代入，即可求出，即得出图象过定点，可判断②；由题意得出原点O到直线的距离最大值为原点到的距离，从而可求出最大值，可判断③．
【详解】解：若，则说明该一次函数的y值随x的增大而减小，
∴，
解得：，故①正确；
将代入，得：，
∴图象过定点，故②正确；
∵该图象过定点，
∴原点O到直线的距离最大值为原点到的距离，
∴最大值为，故③错误．
综上可知正确的个数有2个．
故选C．
9．D
【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，
∴根据“上加下减，左加右减”规律可得，平移后的解析式为，
故选：．
10．D
【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，先根据，可得，再根据，即可推出的坐标，找到某种循环规律之后，可以得解．
【详解】解：由图可得，，
，
，
，
故选：D．
11．
【分析】本题考查了点的坐标，根据x轴上的点的纵坐标等于零即可求出a的值．
【详解】解：点在x轴上，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意得，进而可得，再根据一次函数（为常数且与的图象相交于点即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：依题意得：的图象经过点，
，
解得：，
，
一次函数（为常数且与的图象相交于点，
方程的解为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换及待定系数法去函数的解析式，掌握直线平移时的值不变是解题的关键．根据平移不改变的值可设平移后直线的解析式为，然后将点代入即可得出直线的函数解析式．
【详解】解：设平移后直线的解析式为．
把代入直线解析式得，
解得．
所以平移后直线的解析式为．
故答案为：．
14．2024
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
，
．
故答案为：2024
15．
【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，过点作轴，证明，进一步求出点的坐标即可．
【详解】解：∵点坐标为点坐标为，
∴，
过点作轴，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
16．48
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，直角三角形的性质，解本题的关键是得出和的长．由题意可知，过点A作于点D，由三线合一可得，再根据勾股定理可得，最后根据三角形的面积公式可得结论．
【详解】解：当时，点P与点A重合，则，
当时，，
∴，
过点A作于点D，
则，，
在中，，
∴的面积．
故答案为：48．
17．7
【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，等腰三角形的判定．数形结合是解题的关键．
根据等腰三角形的判定，数形结合求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，即；当时，，即，
∴，即与原点重合，
以点为圆心，以的长为半径画圆，两圆与坐标轴的交点即为点，如图，
∴共有7个满足要求的点，
故答案为：7．
18．或或
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可得出直线过定点，再画出函数的图象，由图象即可求解．
【详解】解：，
∴当时，，即直线过定点，如图，
由题意可得出函数的图象由射线，线段，射线组成，如图，
联立，解得：，
∴．
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
由图象可知：当时，直线与函数的图象有且只有1个交点，即为点C；
当时，直线与函数的图象有且只有1个交点；
当，直线与函数的图象有且只有1个交点．
综上可知若直线与函数的图象有且只有1个交点，则k的取值范围是或或．
故答案为：或或．
19．(1)
(2)①见解析；②1或
【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）①把点代入可得，从而得到，即可求解；②先求出，然后分两种情况，结合一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入得：
，
解得：，
∴的表达式为；
（2）解：①把点代入得：
，即，
∵点和点分别在一次函数和的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②根据题意得：，
∵当时，函数有最大值6，
若，随的增大而增大，
此时当时，函数有最大值6，
即，解得：；
若，y随x的增大而增大，
此时当时，函数有最大值6，
即，解得：；
综上所述，a的值为1或．
20．(1)
(2)
(3)这样的点有5个
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质．
（1）根据三角形面积公式求出S与x的函数解析式即可；
（2）根据是以为底的等腰三角形时，点Q在垂直平分线上，得出点Q的横坐标为2，求出结果即可；
（3）通过画图得出这样点的个数即可．
【详解】（1）解：如图：
把代入得：，
解得：，
∴直线与x轴的交点坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：作的垂直平分线，交直线于点Q，连接、，如图所示：
根据垂直平分线的性质可知，，
∴是以为底的等腰三角形，
此时点Q的横坐标为：，
把代入得：，
∴点Q的坐标为．
（3）解：分别以点A，O为圆心，为半径画圆，作出的垂直平分线，如图所示：
根据图可知，两个圆分别与直线有2个交点，的垂直平分线与直线有1个交点，
∴这样的点一共有5个．
21．
【分析】本题考查一次函数的应用．将关于的函数表达式设为一次函数的一般形式，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设关于的函数表达式为．
将，和，分别代入，
得，解得，
关于的函数表达式为．
22．(1)甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元；
(2)①80千克；②22
【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元，构建方程组求解；
（2）①设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，由题意，得，解这个不等式即可求解．②设获得的利润为元，由题意，得，利用一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元，
由题意，得，
解得，
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
（2）解：①设第三次购进千克甲种水果 ，则购进千克乙种水果．
由题意，得，
解得，
答：求购进的甲种水果至少为80千克．
②设获得的利润为元，
由题意，得
，
，
随的增大而减小，
当时，的值最大，最大值为，
由题意，得，
解得，
的最大整数值为22．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解本题的关键．
23．(1)，；；
(2)
(3)
【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点问题，坐标与图形面积，利用图象确定不等式的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
（1）把与分别代入可得A，B的坐标，再求解C的坐标即可；
（2）先求解D的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可；
（3）直接利用图象可得不等式的解集．
【详解】（1）解：∵，
当时，，
当时，，
解得：，
∴，；
把代入，
∴，
∴；
（2）∵，
当，则，
解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
由图象可得不等式的解集为．
24．(1)1；60；1.8
(2)线段对应的函数表达式为；
(3)当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距30km时，乙行驶的时间为小时．
【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据图象获取相关信息，利用待定系数法求函数解析式．
（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意，当甲、乙两人只有一人在行驶时，实际上就是乙一个人在行驶，故分甲没有出发时和甲到达地时两种情况，列方程求出的值．
【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲先出发1小时；
由图象知，甲2小时到达地，
甲开轿车的速度为（千米小时）；
由图象知，乙的速度为千米小时，
设第一次相遇的时间在乙出发小时，
根据题意得：，
解得，
第一次相遇的时间在乙出发1.8小时．
故答案为：1；60；1.8；
（2）解：根据题意，，
，
设线段对应的函数表达式为，
把，坐标代入解析式得：，
解得，
线段对应的函数表达式为；
（3）解：①甲没有出发时，
根据题意得：，
解得，
不合题意；
②甲到达地时，
根据题意得：，
解得．
综上所述，当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距30km时，乙行驶的时间为小时．
25．(1)点C的坐标为；
(2)；
(3)点的坐标为或．
【分析】（1）设，，由直线分别交轴、轴于点，可得，，利用面积法即可求解；
（2）过点作轴于，由得，根据等腰三角形的性质得，则，点，利用待定系数法即可得直线的解析式；
（3）分点落在轴负半轴和轴正半轴上两种情况分类讨论，利用折叠的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设，，
直线分别交轴、轴于点，，
，，
，，，，，
，
，解得，
∴点C的坐标为；
（2）解：过点作轴于，
，
，
，
，，
∴，
点为直线上一点，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为；
（3）解：设点的坐标为．
将沿着所在直线折叠，当点落在轴负半轴上时，设点落在轴负半轴的点处，如图所示：
根据折叠的性质可得：，，，
，
，
在中，，
，解得，
点的坐标为；
将沿着所在直线折叠，当点落在轴正半轴上时，设点落在轴正半轴的点处，如图所示：
根据折叠的性质可得：，，，
，
，
在中，，
，解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是注意分类求解，不要遗漏．
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