2024年中考数学一轮复习：一元二次方程的应用 讲义（无答案）

2024年中考数学一轮复习——一元二次方程的应用
一、数字问题
例1．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数．
解：设原来个位为x，则十位上的数字为8﹣x，
由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855
解得：x1＝3，x2＝5，
原来十位上的数字为5或3，
答：原来这个两位数53或35．
二、传播问题
例2．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝49，
解得：x1＝6，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了6个人．
三、单循环问题
例3．某校九年级班级之间进行篮球循环赛，班与班之间都要进行1场比赛，循环赛打完共进行了15场比赛，该校九年级共有多少个班？
解：设该校九年级共有x个班，
根据题意得：x（x﹣1）＝15，
整理得：x2﹣x﹣30＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）．
答：该校九年级共有6个班．
四、双循环问题
例4．一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？
7．解：设有x队参加比赛．
依题意，得x（x﹣1）＝90，
（x﹣10）（x+9）＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：共有10支队参加比赛．
五、增长率问题
例5．新能源汽车越来越多地进入普通家庭，调查显示，截止2023年中旬某市新能源汽车拥有量为18.9万辆，已知2021年中旬该市新能源汽车拥有量约为2.1万辆，求2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率．
解：设2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率为x，
根据题意得：2.1（1+x）2＝18.9，
解得：x1＝2＝200%，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）．
答：2021年中旬至2023年中旬该市新能源汽车拥有量的平均增长率为200%．
六、商品销售问题
例6．某商场购进一批新产品进行销售，已知该产品的进货单价为40元/件，该商场对这批新产品上市后的销售情况进行了跟踪调查．销售过程中发现，该产品每星期的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系满足如表．
销售单价x（元/件） … 51 52 53 54 …
每月销售量y（件） … 98 96 94 92 …
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，并求出y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，该产品每星期获得的利润为1600元？
（3）当销售单价为多少元时，该产品每星期获得的利润最大？最大利润为多少万元？
解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，
设y＝kx+b（k≠0），
则，
解得，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+200；
（2）设总利润为w元，由题意得，
w＝y（x﹣40）＝（﹣2x+200）（x﹣40）
＝﹣2x2+280x﹣8000，
当w＝1600时，﹣2x2+280x﹣8000＝1600，
解得，x1＝60，x2＝80，
答：当销售单价为60元或80元时，每星期获得的利润为1600元；
（3）∵w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴x＝70时，w取得最大值，此时w为1800元，
答：当销售单价为70元时，每星期获得的利润最大，最大利润为1800元．
七、图形面积问题
例7．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米．如果花园的面积为1200平方米，那么围成的花园与墙垂直的一边长为多少米？
解：设垂直于墙的边为x米，则平行于墙的边为（120﹣3x）米，则：
x（120﹣3x）＝1200．
解得x1＝x2＝20．
答：围成的花园与墙垂直的一边长为20米．
八、动态几何问题
例8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q同时出发，P，Q的运动速度均为1cm/s．
（1）那么运动几秒时，它们相距15cm？
（2）△PCQ的面积能等于60平方厘米吗？为什么？
解：（1）设运动t秒时，P，Q两点相距15厘米，
依题意，得：t2+（21﹣t）2＝152，
解得：t1＝9，t2＝12，
∴运动9秒或12秒时，P，Q两点相距15厘米；
（2）△PCQ的面积不能等于60平方厘米，理由如下：
设运动x秒时，△PCQ的面积等于60平方厘米，
依题意，得：x（21﹣x）＝60，
整理，得：x2﹣21x+120＝0，
∵Δ＝（﹣21）2﹣4×1×120＝﹣39＜0，
∴原方程无解，即△PCQ的面积不能等于60平方厘米．
平行练习
1．一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．
2．某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
3．某校要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都进行一场比赛），共要比赛45场．求有多少个队参加比赛？
4．中秋节期间，我校数学兴趣小组同学都向本组其他同学各发了一条祝福短信，据统计，发了210条祝福语，问这个数学兴趣小组有多少学生？
5．阳湖水蜜桃是常州特产，有“太湖仙果”的美誉．某农场2022年种植水蜜桃20亩，平均亩产量是1000kg.2023年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到33800kg．已知种植面积的增长率与平均亩产量的增长率相同，求平均亩产量的增长率．
6．近年来，某文创团队充分利用铜仁非遗项目种类繁多的资源优势，用心打造的A商品一投入市场，就深受广大游客喜爱．已知A商品每件成本60元，经调查发现，定价为每件100元时，一天可以卖出120件，每降价1元，就多卖出5件．
（1）设A商品降价x元，则一天可以卖出 　 　件（用含x的式子表示）；
（2）该文创团队一天能获得5100元利润吗？如果能，则需要降价多少元？如果不能，请说明理由．
7．如图，某学校有一块长32米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为570平方米．求小道的宽为多少米？
8．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16厘米，AD＝6厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：
（1）两动点经过几秒时，使得BP＝CQ；
（2）两动点经过几秒时，使得四边形PBCQ面积是矩形ABCD面积的；