2023～2024 学年度烟台一中高二 2 月份月考
数 学
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置．
2．选择题答案必须用 2B铅笔正确填涂；非选择题答案必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写，
字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、
试题卷上答题无效．保持卡面清洁，不折叠、不破损．
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知 m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且 m α，n β．有
下列命题：
①若α∥β，则 m∥n； ②若α∥β，则 m∥β；
③若α∩β＝l，且 m⊥l，n⊥l，则α⊥β； ④若α∩β＝l，且 m⊥l，m⊥n，则α⊥β．
其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若平面α过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A，平面α∥平面 A1BD，平面α 平面 ABCD
＝l，则直线 l与直线 CD1所成的角为
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，E为 A1C1的中点．若 BE ＝x AA1 ＋y AB
＋z AD，则
1 1 1 1
A．x＝1， y＝－ ， z＝ B．x＝1， y＝ ， z＝－
2 2 2 2
1
C． x
1
＝ ，y＝1， z x 1 1D． ＝－ ，y＝1， z＝
2 2 2 2
4．如图，在三棱锥 P－ABC中，PA⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，点 D，E，N分别为 PA，
PC，BC的中点，M是线段 AD的中点，PA＝AC＝2AB＝4，则直线 MN到平面 BDE的距离
为
A 3
4
． B．
7 7
5
C． D 21．
7 7
5．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 P在线段 BD1上，且 D1P＝ D1B (0＜λ＜1)．当
∠APC为锐角时，则实数λ的取值范围为
1 1 1 1
A． 0， B． ， 1 C． 0， D． ， 1
2 2 3 3
高二数学试题（第 1页，共 4页）
{#{QQABLYaUggiAAgBAAAhCEwV6CgOQkBCACIoGBFAAoAABCQFABAA=}#}
1
6 ． 已 知 空 间 向 量 OA ＝ 1， ， 0
1
，2 OB ＝ (1， 2， 0)
， OC ＝ 0， 1， 2
，
OP＝xOA＋yOB＋zOC ，且 x＋2y＋z＝2，则 |OP | 的最小值为
A． 2 B． 3 C．2 D．4
7．已知向量 a＝(0，0，1)，b＝(1，－1，1)，向量 a＋b 在向量 a 上的投影向量为
A．(0，0，2) B．(0，0，1)
C．(0，0，－1) D．(0，0，－2)
8．如图，已知正四棱锥 P－ABCD的所有棱长均为 2，E为棱 PA的中点，则
异面直线 BE与 PC所成角的余弦值为
A 6． B 6 3．－ C． D 3．－
3 3 3 3
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
（“部分选对得部分分”说明：若有两个选项符合题意，只选一个且正确的得 3 分；若
有三个选项符合题意，只选一个且正确的得 2 分，只选两个且正确的得 4 分.）
9．如图，若长方体 ABCD－A1B1C1D1 的底面是边长为 2 的正方形，高为 4，E是 DD1
的中点，则
A．B1E⊥A1B
B．平面 B1CE∥平面 A1BD
8
C．三棱锥 C1－B1CE的体积为 3
D．三棱锥 C1－B1CD的外接球的表面积为 24π
10．如图，点 E是正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱 DD1的中点，点 M在线
段 BD1上运动，则下列结论正确的是
A．直线 AD与直线 C1M始终是异面直线
B．存在点 M，使得 B1M⊥AE
C．四面体 EMAC的体积为定值
D．当 D1M＝2MB时，平面 EAC⊥平面 MAC
11．如图，正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是边长为 1 的等边三角形，
侧棱长为 2，D，E分别是 BB1，AC的中点，则下列结论成立的是
A．直线 CD与 B1C1是异面直线
B．直线 BE与平面 A1CD平行
C 2．直线 AC与直线 A1D所成角的余弦值为
4
D CD AA C C 10．直线 与平面 1 1 所成角的余弦值为
4
高二数学试题（第 2页，共 4页）
{#{QQABLYaUggiAAgBAAAhCEwV6CgOQkBCACIoGBFAAoAABCQFABAA=}#}
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图，在 4 个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的
中点，能得出 AB∥平面 MNP的是________（写出所有符合要求的序号）．
13．已知球 O的半径为 1，AB是球 O的直径，点 D在球 O的球面上．若空间中一点 C
与点 D间的距离为 3 ，则CA CB的最小值为________．
14．如图，在边长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 P在 B1C1上，
点 Q在平面 AB B1A1 内，设直线 AA1与直线 PQ所成角为θ．若直线 PQ到平
面 ACD 31 的距离为 ，则 sin θ的最小值为________．
2
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分. 解答时应写出相应的文字说明、证明过程或
演算步骤.
15．（13 分）
在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，∠A1AD＝∠BAD＝∠A1AB＝60°，AB＝AD＝1，AA1
＝2，E为 A1C1 与 B1D1的交点．
（1）用向量 AB， AD， AA1 表示 AE；
（2）求线段 AE的长及向量 AE与 BD的夹角．
16．（15 分）
如图，在四棱锥 A-BCDE中，BE∥CD，BE⊥BC，AB＝AC，平面 BCDE⊥
平面 ABC，M为 BC的中点．
（1）若 N是线段 AE的中点，求证：MN∥平面 ACD；
（2）若 BE＝1，BC＝2，CD＝3，求证：DE⊥平面 AME．
高二数学试题（第 3页，共 4页）
{#{QQABLYaUggiAAgBAAAhCEwV6CgOQkBCACIoGBFAAoAABCQFABAA=}#}
17．（15 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD中，四边形 ABCD是矩形，平面 PAB⊥平面 ABCD，点 E，F
分别为 BC，AP的中点．
（1）求证：EF∥平面 PCD；
2
（2）若 AD＝AP＝PB＝ AB＝1，求三棱锥 P-DEF的体积．
2
18．（17 分）
如图，在△ABC中，DE∥BC，∠C＝60°，点 D在 AC上，AD＝2DC＝4，点 F在 BC
上，CF＝2BF＝3，以 DE为折痕把△ADE折起，使点 A到点 P，且 PF＝3．
（1）求证：PF⊥平面 BCDE；
（2）求直线 EF与平面 PED所成角的正弦值．
19．（17 分）
如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，平面 A1ACC1⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，∠A1AC＝
60°，A1A＝AC＝2BC＝2，点 E为 AC1 的中点，点 F在线段 AB1上，且 B1F＝2AF．
（1）求平面 CEF与平面 A1B1C1 的夹角的余弦值；
（2）点 G在 AB上，若直线 CG在平面 CEF内，求线段 AG的长．
高二数学试题（第 4页，共 4页）
{#{QQABLYaUggiAAgBAAAhCEwV6CgOQkBCACIoGBFAAoAABCQFABAA=}#}2023～2024 学年度烟台一中高二 2 月份月考
数学参考答案
一、选择题
B C A D C B A C
二、选择题
9．CD 10．BCD 11．BCD
三、填空题
3
12．①③ 13．3 2 3 14．
3
四、解答题
1
15．解：（1）因为 E为 A1C1与 B1D1 的交点，所以 AE＝ AC1＋AA1 ．……………2 分2
1 1
又因为 AC1＝AA1＋AB＋AD，所以 AE＝AA1＋ AB＋ AD． …………………………5 分2 2
2 1 1
2
（2）因为 AE ＝ AA1＋ AB＋ AD
2 2
2 1 2 1 2 1 1 1
＝AA1 ＋ AB ＋ AD ＋ AA1 AB＋ AA1 AD＋ AB AD4 4 2 2 4
4 1 1 1 1 1 45＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ， …………………………………………………………8 分
4 4 2 2 8 8
3 10
所以 AE＝ ． ………………………………………………………………………9 分
4
因为 AD＝AD－AB ，所以
1 1 AE AD ＝ AA1＋ AB＋ AD AD－AB …………………………………………11分
2 2
1 1 2 1 2 1
＝AA1 AD－AA1 AB＋ AB AD－ AB ＋ AD － AD AB2 2 2 2
＝1 1 1 1 1 1－＋ － ＋ － ＝0 ． ……………………………………………………………13 分
4 2 2 4
16．解：（1）取 AB的中点 H，连接 MH，NH．∵ N是 AE的中点，∴NH∥BE．2 分
又 BE∥CD，∴NH∥CD．又∵NH 平面 ACD，∴NH∥平面 ACD.…………………4 分
同理可证，MH∥平面 ACD．而 MH NH＝H，∴ 平面 MNH∥平面 ACD，∴ MN∥平
面 ACD． ………………………………………………………………………………………6 分
（2）连接 AM，DM，EM，由 AB＝AC，M为 BC的中点，得 AM⊥BC．…………7 分
又平面 BCDE⊥平面 ABC，平面 BCDE 平面 ABC＝BC，AM 平面 ABC，∴AM⊥平
面 BCDE，∴AM⊥DE． ……………………………………………………………………10 分
1
在 Rt△EBM中，BE＝1，BM＝ BC＝1，∴EM＝ ．
2 2
高二数学参考答案（第 1页，共 4页）
{#{QQABLYaUggiAAgBAAAhCEwV6CgOQkBCACIoGBFAAoAABCQFABAA=}#}
1
在 Rt△DCM中，CD＝3，CM＝ BC＝1，∴DM＝ 10 ．…………………………12 分2
在直角梯形 BCDE中，可得 DE＝ (CD－BE)2＋BC 2 ＝ 2 2 ，
∴ EM 2＋ DE 2 ＝DM 2 ，∴EM⊥DE． ………………………………………………14 分
又∵AM EM＝M，∴ DE⊥平面 AME． ……………………………………………15 分
17．解：（1）如图，取 PD中点 G，连接 GF，GC．
1
在 △PAD 中 ， ∵ G ， F 分 别 为 PD ， AP 中 点 ， ∴GF∥ AD ， 且 GF ＝
2
1
AD． …………………………………………………………………………………………2 分
2
1 1
在矩形 ABCD中，∵E为 BC中点，∴CE∥ AD，且 CE＝ AD，∴GF∥EC，且 GF＝EC．
2 2
∴四边形 GCEF是平行四边形，∴GC∥EF．…………………………………………5 分
∵GC 平面 PCD，EF 平面 PCD，∴EF∥平面 PCD． ……………………………6 分
（2）∵ 四边形 ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC． ……………………………7 分
∵ 平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB 平面 ABCD＝AB，AD 平面 PAB，AD⊥平面
PAB，∴ 平面 PAD⊥平面 PAB，BC∥平面 PAD． …………………………………………9 分
∵AD＝AP＝PB 2＝ AB＝1，∴AB＝ 2 ，∴AP2＋PB2＝AB2， …………………11 分
2
∴AP⊥BP，∴BP⊥平面 PAD． ………………………………………………………12 分
∵BC∥平面 PAD，∴点 E到平面 PAD的距离等于点 B到平面 PAD的距离．
1 1 1 1 1 1
而 S△PDF＝ ×PF×AD＝ ，∴VP-DEF＝ S△PDF·BP＝ × ×1＝ ． ………15 分2 4 3 3 4 12
18．解：（1）因为 AC＝6，CF＝3，∠C＝60°，所以 AF⊥BC．因为 DE∥BC，所以 AF
⊥DE． ……………………………………………………………2 分
连接 AF，设直线 DE与直线 AF相交于点 G．建立如图所示的
直角坐标系．设∠PGF＝θ，则 P(0， 2 3 cos ， 2 3 sin )，D(－2，
0，0)，E(1，0，0)，F(0， 3 ，0)．…………………………4 分
所以|PF|＝|(0， －2 3 cos ＋ 3， －2 3 sin )|
＝ (2 3 cos － 3)2＋(2 3 sin )2＝3 ． ………………………………………………6 分
1
所以 cos θ＝ ．所以
2 PF＝(0， 0， －3)
． ……………………………………………7 分
因为 m＝(0，0，1)是平面 BCDE的一个法向量， PF＝－3m ，所以 PF⊥平面 BCDE．8 分
（2）由（1）得 EF＝(－1， 3， 0)，DE＝(3， 0， 0)，EP＝(－1， 3， 3)， ………9 分
高二数学参考答案（第 2页，共 4页）
{#{QQABLYaUggiAAgBAAAhCEwV6CgOQkBCACIoGBFAAoAABCQFABAA=}#}
n DE＝0， 3x＝0，
设平面 PED的法向量为 n＝(x，y，z)，则 所以
n EP＝0． －x＋ 3y＋3z＝0．
取 y＝ 3 ，则 z＝－1．所以 n＝(0， 3 ，－1)是平面 PED的一个法向量．……12 分
设直线 EF与平面 PED所成角为β，则
n EF (0， 3， －1) (－1， 3， 0) 3
sin β＝ ＝ ＝ ．………………………………………15 分
|n ||EF| 2×2 4
3
所以直线 EF与平面 PED所成角的正弦值 ．………………………………………17 分
4
19．解：取 AC中点为 H，建立如图所示的直角坐标系，则
C 1
－ ，
3
， 0 A 1 ， ，
3
－ ， 0 ，A1(0，0， )，
2 2
3
2 2
1 3 B ， ， 0 ，n＝(0，0，1)为平面 A1B2 2 1
C1 的一个法向量．2 分
（ 1 ） 设 C1(x1 ， y1 ， z1) ， 因 为 CC1＝AA1 ， 所 以
1 3
1 3
－ ， ， 3 ＝ x1＋ ， y1－ ， z1 ． ……………………………………………3 分
2 2 2 2
1 3 3
所以 x1＝－1，y1＝ 3 ，z1＝ 3 ，即 C1(－1， 3 ， 3 )，因此 E － ， ， 4 4 2
．设
1 3 1 3
B1(x2，y2，z2)，因为 BB＝AA ，所以 － ， ， 3 ＝ x2－ ， y－ ， z1 1 2 2 ．………4分
2 2 2 2
所以 x2＝0，y2＝ 3 ， z2＝ 3 ，即 B1(0， 3 ， 3 )． …………………………5 分
1 1 1 3 3
因为 AF
1 3 3
＝ AB1＝ － ， ， 3 ＝ － ， ， 3 3 2 2 6 2 3
．
CF 5 3 3
1 3 3
所以 ＝ ，－ ， ，CE＝ ， － ， ． ………………………………6 分
6 2 3 4 4 2
1 3 3
n CE＝0，
x－ y＋ z＝0，
设平面 CEF 2的法向量为 n2＝(x，y，z)，所以
4 4 2
即
n2 CF＝0． 5 x 3 3－ y＋ z＝0．
6 2 3
高二数学参考答案（第 3页，共 4页）
{#{QQABLYaUggiAAgBAAAhCEwV6CgOQkBCACIoGBFAAoAABCQFABAA=}#}
3 3 3 3
取 y＝ 3 ，则 x＝ ， z＝ ．所以 n2＝ ， 3， 是平面 CEF的一个法向量．2 4 2 4
…………………………………………………………………………………………………8 分
设平面 CEF与平面 A1B1C1 的夹角为θ，则
3
(0， 0， 1) ， 3，
3
n1 n
cos θ 2 ＝
2 4 29
＝ ＝ ，
|n1 ||n2| 1 87
29
×
4
29
即平面 CEF与平面 A1B1C1 夹角的余弦值为 ． …………………………………10 分
29
1
（2）设G ， m
3
， 0 ，则CG＝ 1， m－ ， 0 ．……………………………………12 分 2 2
3 3
因为直线 CG在平面 CEF内，所以CG＝xCG＋yCF ，即CG n2＝ ＋ 3m－ ＝0 ， …15 分2 2
所以 m＝0，即 AG 3＝ ．………………………………………………………………17 分
2
高二数学参考答案（第 4页，共 4页）
{#{QQABLYaUggiAAgBAAAhCEwV6CgOQkBCACIoGBFAAoAABCQFABAA=}#}
