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2024年山西省中考数学模拟练习训练卷（解析卷）
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 两千多年前，中国人就开始使用负数.某班期末考试数学的平均成绩是83分，
小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．86 B．83 C．87 D．80
【答案】D
【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故选：D．
2. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意，
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
故选：A．
3 . 华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，
这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示为的形式，
其中，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
【详解】解：，
故选：C．
4. 如图，直线ab，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】根据题意易得∠1+∠3=90°，然后根据平行线的性质可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：∠3=180°-90°-∠1=40°，
∵ab，
∴∠2=∠3＝40°，
故选C．
下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别利用幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项进行计算即可．
【详解】A、，选项说法错误，不符合题意；
B、，选项说法正确，符合题意；
C、，选项说法错误，不符合题意；
D、，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
6. 如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9.4，众数是10 B．中位数是9，平均数是10
C．中位数是9.4，众数是9 D．中位数是9.5，众数是9
【答案】A
【分析】根据众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．
【详解】解：平均数为，
众数是10，
中位数为，
故选：A．
7 .若点、、、分别在反比例函数的图象上，
则下列值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由反比例函数解析式可知，则有在每个象限内，y随x的增大而增大，进而问题可求解．
【详解】解：由反比例函数可知，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点、、、分别在反比例函数的图象上，
∴；
∴函数值最小的是；
故选C．
8 . 如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由（ ）个基础图形组成．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察图形不难发现，后一个图形比前一个图形多3个基础图形，根据此规律写出第个图案的基础图形个数即可；
【详解】解：第1个图案由4个基础图形组成，，
第2个图案由7个基础图形组成，，
第3个图案由10个基础图形组成，，
，
第个图案由个基础图形组成．
故选B．
9. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，
再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
10. 如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，
同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．
设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），
则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，分三段（，，）分别求解与的解析式，从而求解．
【详解】解：当时，分别在线段，
此时，
，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；
当时，分别在线段，
此时，底边上的高为，
，为一次函数，图象为直线；
当时，分别在线段，
此时，底边上的高为，
，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；
结合选项，只有B选项符合题意，
故选：B
第Ⅱ卷 选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算： ．
【答案】/
【分析】先根据积的乘方得到，
然后利用平方差公式计算即可得到答案．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
12. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
【答案】6
【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为．
∵袋子中有4个黑球，
∴袋子中共有10个球，
∴白球有6个．
故答案为：6．
如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，
分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为 ．
【答案】2
【分析】根据作图过程可得平分；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明，证出，即可得出的长．
【详解】解：根据作图的方法得：平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
如图，在中，，点为中点，的面积是10．
的垂直平分线分别交边于两点，在线段上存在一点，
使三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ．
【答案】7
【分析】由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，交于点，则当三点共线时，的周长最小，为的长．
【详解】解：是线段的垂直平分线，
与关于对称，
如图所示，连接，交于点，
，
，
周长，
当三点共线时，的周长最小，为的长，
为边的中点，，，
，，
，
，
周长，
周长的最小值为7，
故答案为：7．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (1)计算：
(2)解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据有理数混合运算，以及特殊三角函数指，
化简得：，由此进行计算即可求得结果；
（2）根据不等式组运算，可以求得不等式组解集为：，准确在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：（1）原式=
=；
（2）解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
解集在数轴上表示如图所示：
17. 解分式方程：．
【答案】
【分析】先去分母，将分式方程化为整式方程，求出未知数的值，再进行检验，
从而确定原方程的解即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
解此方程，得，
经检验，是原分式方程的根．
方程的解为．
年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，
荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，
在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，
某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，
每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图；
(2)估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数；
(3)若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)100；见解析
(2)900名
(3)树状图见解析 ；
【分析】（1）根据喜欢歌舞的人数和所占百分比求出总人数，进而可求出喜爱小品的人数，并补全条形图即可；
（2）由总人数乘以喜爱小品的人数的百分数即可得解；
（3）画树状图展示种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：抽取的总人数为（人），
所以喜欢小品的人数为（人），
补全条形图如图所示：
故答案为：100；
（2）解：估计喜欢小品节目类型的人数为人；
（3）解：画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率．
为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，
学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．
已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需131元，
购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元．
科技类图书和文学类图书每本各多少元？
经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．
如果学校用于购买奖品的资金不超过8000元，那么科技类图书最多能买多少本？
【答案】(1)科技类图书每本28元，文学类图书每本25元
(2)科技类图书最多能买166本
【分析】（1）设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元，根据题意列出二元一次方程，求解即可；
（2）设购买科技类图书a本，结合资金不超过8000元，列出一元一次不等式，解出最大值.
【详解】（1）解：设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元．
依题意，得，
①×2－②，得，
把代入①，得．
所以这个方程组的解为，
答：科技类图书每本28元，文学类图书每本25元．
（2）解：设购买科技类图书a本．
依题意，得．
解得．
所以满足条件的最大整数为166．
答：科技类图书最多能买166本．
20.图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．
已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为，
安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
真空管上端B到水平线AD的距离．
求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：，，，，，
【答案】(1)1.8米
(2)0.9米
【分析】（1）过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．
（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD，根据BC＝DF＝AD AF计算即可．
【详解】（1）如图，过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，
∵sin∠BAF＝，
∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．
∴真空管上端B到AD的距离约为1.8米．
（2）在Rt△ABF中，
∵cos∠BAF＝，
∴AF＝ABcos∠BAF＝3cos37°≈2.4，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，
∵tan∠EAD＝，
∴，
∴AD＝3.25米，
∴BC＝DF＝AD AF＝3.25 2.4＝0.85≈0.9
∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
21. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
(1)试确定一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
(3)结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2)点P的坐标为；
(3)或．
【分析】（1）将代入求出m，再将代入求出n，，
最后将、代入一次函数即可得到答案；
（2）解出一次函数与x轴的交点，根据，求出，即可得到答案；
（3）根据函数图像直接求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入得；
∴反比例函数解析式为，
把代得，解得，
∴，
把，分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：设一次函数与x轴交点为C，
中，令，则，
解得，
∴一次函数的图象与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴．
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时，
∴的解为：或．
22. 如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，
与轴交于点，其顶点为．
求抛物线及直线的函数关系式；
(2) 在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．
若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．
解：（1）将、代入，
可得，解得，
∴抛物线的函数关系式为；
设直线的函数关系式为，
将、代入，
可得，解得，
∴直线的函数关系式为；
（2）当时，，
∴点的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点的坐标为，
∴点，关于抛物线的对称轴对称，
令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示，
∵点，关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
∴此时周长取最小值，
当时，，
∴此时点的坐标为，
∵，，，
∴，，
∴，
∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，
周长的最小值为；
过点作轴交轴于点，交直线于点，
过点作轴交轴于点，如图所示，
设点的坐标为，则点，点，
∴，，
∴，
∵点，
∴点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，
此时点的坐标为．
约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．
例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，
那么称为关于边的“华益美三角”．
如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2) 如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，
以为直径的⊙恰好经过点．
① 求证：直线与相切；
② 若的直径为，求线段的长；
(3) 已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
(3)或或
【分析】（1）根据中线的定义可设，即，再由，可得，，即有，结合，可得，问题得证；
（2）①连接，根据，可得，根据为的直径，可得，根据，可得，即有，可得，问题得证；②由题意可知，，即有，，可得，即有，进而可得，在中，有，即有，解方程即可求解；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，利用相似可得，即，根据，可得，此时面积可求；当时，过A点作于点，同理利用相似可得，进而可得，根据，可得，，则有，利用，可得，求出，进而可得，面积可求，问题随之得解．
【详解】（1）如图，
∵为的中线，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴；
∴为关于边的“华益美三角”；
（2）①证明：连接，如图，
由题意可知，
∴，
又∵为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵为的半径，
∴为的切线；
②∵由题意可知，，
∴，，
∴，
∵的直径为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去）；
（3）分类讨论：当时，过A点作于点E，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，过A点作于点，如图，
∵为关于边的“华益美三角”，，，
∴，，
∴，即，
∴，
根据还有：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：的面积为或或．
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2024年山西省中考数学模拟练习训练卷
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 两千多年前，中国人就开始使用负数.某班期末考试数学的平均成绩是83分，
小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．86 B．83 C．87 D．80
2. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3 . 华为Mate60Pro手机是全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，
这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4. 如图，直线ab，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6. 如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9.4，众数是10 B．中位数是9，平均数是10
C．中位数是9.4，众数是9 D．中位数是9.5，众数是9
7 .若点、、、分别在反比例函数的图象上，
则下列值最小的是（ ）
A． B． C． D．
8 . 如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由（ ）个基础图形组成．
A． B． C． D．
9. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，
同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．
设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），
则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算： ．
12. 一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为___________
如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，
分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为 ．
年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．
如图，在中，，点为中点，的面积是10．
的垂直平分线分别交边于两点，在线段上存在一点，
使三点构成的的周长最小，则周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (1)计算：
(2)解不等式组，并将它的解集在下面的数轴上表示出来．
17. 解分式方程：．
年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，
荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，
在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，
某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，
每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图；
(2)估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数；
(3)若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，
将他们确定为班级节目表演重点培养对象，
请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．
为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，
学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．
已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需131元，
购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元．
科技类图书和文学类图书每本各多少元？
经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．
如果学校用于购买奖品的资金不超过8000元，那么科技类图书最多能买多少本？
20.图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．
已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为，
安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
真空管上端B到水平线AD的距离．
求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：，，，，，
21. 已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点．
(1)试确定一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点P在x轴上，且的面积为，求点P的坐标；
(3)结合图象直接写出不等式的解集．
22. 如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，
与轴交于点，其顶点为．
求抛物线及直线的函数关系式；
(2) 在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．
若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．
约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，
我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．
例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，
那么称为关于边的“华益美三角”．
如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”；
(2) 如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，
以为直径的⊙恰好经过点．
① 求证：直线与相切；
② 若的直径为，求线段的长；
(3) 已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积．
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