1.8三角函数的简单应用 同步练习（含解析）2023—2024学年北师大版（2019）高中数学必修第二册

1.8三角函数的简单应用同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式，其中为血压（单位：），为时间（单位：），则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．50 B．70 C．90 D．130
2．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一个大风车的半径是，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．半径为2m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为．圆盘按逆时针方向做匀速圆周运动，其角速度为．如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且，则点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．甲、乙两人从直径为的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用表示乙在某时刻旋转角的弧度数，表示甲、乙两人的直线距离，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，是轮子外边沿上的一点，轮子的半径为0.5（单位：）.若轮子从图中位置向右匀速无滑动滚动，设当滚动的水平距离为（单位：）时，点距离地面的高度为（单位：），则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，点恰好位于轮子的最高点
B．，其中
C．当时，点距离地面的高度在下降
D．若，，则的最小值为
7．如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过x的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的部分图象如图，则函数的解析式可能为（ ）.

A． B．
C． D．
二、多选题
9．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（ ）
A．
B．当天下午3：00温度最高
C．温度为是当天晚上7：00
D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．若，恒成立，则实数
C．函数在内有5个零点，则
D．若在上恰有2024个零点，则
11．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似地用函数来表示，函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．当时，水深度达到
D．已知函数的定义域为，有个零点，则
三、填空题
13．函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当 时，游客流量最大．
14．某时针的秒针端点到中心的距离为，秒针匀速绕点旋转到点，当时间时，点与钟面上标有12的点重合，将、两点间的距离表示成的函数，则 ，其中.
15．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）.求新路总长度的最小值 ．

16．水车又称孔明车，是以水流为动力的机械装置，是我国古老的农业灌溉工具.如图，某水车的半径为4米，圆心距离水面2米，每分钟逆时针匀速旋转5圈.当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计时，已知点距离水面的高度（米）关于时间（秒）的函数为，则 ；点第一次到达最高点大约需要 秒.
四、解答题
17．2023年12月1日，“民族魂·中国梦——阳光下成长”2023年浙江省中小学生艺术节闭幕式暨颁奖晚会在湖州大剧院举行．为迎接艺术节闭幕式的到来，承办方计划将场地内一处扇形荒地进行改造．已知该扇形荒地的半径为20米，圆心角，承办方初步计划将其中的（如下左图，点位于弧上，，分别位于半径，）区域改造为花卉区，扇形荒地内其余区域改造为草坪区．

(1)承办方进一步计划将，设计为观光步道，其宽度忽略不计．若观光步道造价为元/米，请你设计观光步道的造价预算，确保观光步道最长时仍有资金保障；
(2)因某种原因，承办方修改了最初的改造计划，将花卉区设计为矩形（如下右图，其中，位于半径上，位于半径上）．为美观起见，承办方最后决定将四边形设计为正方形．求此时花卉区的面积．
18．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.
(1)求的值；
(2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？
19．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射点的纬度，为当地的纬度值，约定北纬为正值，南纬为负值，那么这三个量满足．某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，则第x天的太阳直射点的纬度y近似满足，初始时间为，定义从某年春分到次年春分为一个回归年，一个回归年以365天计算．

(1)求的值；
(2)已知莆田某小区的纬度为，该小区内有A，B两幢楼房，A在B的正南方向，国家工程建设标准用楼间距保障采光权，其中楼间距前楼高两楼距，已知A，B间的楼间距1.34，求一个回归年中B楼底层能被正午太阳光照射到的天数．参考数据
20．如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记．
(1)记四边形的面积为的函数，周长为的函数，
（i）证明：；
（ii）求的最大值；
(2)求四边形面积的最小值．
21．如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为.
(1)求的值；
(2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据频率公式进行计算.
【详解】由题意得，此人每分钟心跳的次数为.
故选：B
2．D
【分析】将代入解析式得到，得到解析式，代入求出答案.
【详解】将代入中得，
，即，
因为，所以，所以，解得，
故，
当时，.
故选：D
3．A
【分析】建立平面直角坐标系，结合解直角三角形以及角速度求得P离地面的距离h与时间t之间的函数关系.
【详解】以最低点的切线作为 x轴，最低点作为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
风车上翼片端点P所在位置可由函数，来刻画，而且，
又设P的初始位置在最低点，即，
在中，，所以，
又，，，
则.
故选：A.
4．D
【分析】设点M的横坐标x关于时间 （单位： 的函数关系式为，求出的值，时，射线OM可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式．
【详解】设点M的纵坐标关于时间 （单位：的函数关系式为，
由题意可得，，
时，射线可视角的终边，则．
故选：D．
5．B
【分析】根据题意分析，当时两人相遇，再根据距离一定非负，即可得到答案.
【详解】甲的速度是乙的速度的两倍，
由题意知当时，两人相遇，排除A，C，两人的直线距离大于等于零，排除D.
故选：B.
6．B
【分析】根据条件，求出，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】如图，过分别作地平线的垂线，垂足分别为，过作于，记，
又轮子的半径为0.5，则有，得到，
在中，，所以，
故，
对于选项A，当时，，所以选项A错误；
对于选项B，，所以选项B正确；
对于选项C，当时，，又，所以在区间上先减后增，故选项C错误；
对于选项D，由，得到，
由，得到或，，
又，当，时，满足，此时，故选项D错误，
故选：B.
7．D
【分析】由过点，得到，，再由它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，得到，进而得到，将代入求解.
【详解】解：因为过点，
代入得，
所以，则，
解得，.
所以，，
因为它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，
所以由图象知：，所以，
又因为，所以，
所以，
因为点M到y轴的距离为，即，
当时，，
所以，即点N的纵坐标为.
故选：D.
8．A
【分析】由奇偶性可排除BC，由特殊点可排除D，即可求解
【详解】由于图像关于原点对称，所以为奇函数，
对于B：由，
得：，为偶函数，故可排除B；
对于C：由，
得：，为偶函数，故可排除C；
由图知图象不经过点，
而对于D：，故可排除D；
故选：A
9．ABD
【分析】A选项，根据题意得到时，，时温度最低，为，然后带入解析式得到；BCD选项，根据三角函数的性质判断.
【详解】时，，，
第二天凌晨3：00最低为，此时，
∴，∴，A对．
，令即时取最大值，对应下午3：00，B对．
，或10，上午11：00或下午7：00，C错．
时，，D对.
故选：ABD．
10．BC
【分析】由图象先求出，再结合选项依次判断即可.
【详解】解：由图象知，，得，
由，而，得，
故，
对于A项，由，得，则，不满足，故A项错误；
对于B项，由，得，得，
令，由，得，
而，得在上恒成立，
由在上单调递增，则，
得，故B项正确；
对于C项，由，得，
因为函数在内有5个零点，所以，得，故C项正确；
对于D项，令，得，
若在上恰有2024个零点，
转化为函数和在上恰有2024个交点，
当时，由，得，
得，
当时，函数和在上恰有4048个交点，故D项错误.
故选：BC
11．ABC
【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项求解，即可得到答案.
【详解】由题意，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，
所以振幅且，可得，所以A、B正确；
又由筒车的轴心O距离水面的高度为，可得，所以D错误；
根据题意，当时，，即，可得，所以C正确.A
故选：ABC.
12．ACD
【分析】根据图象的最值求出，再根据图象得到其周期则得到，代入最高点求出，则得到三角函数解析式，则判断A，再结合其对称性即可判断B，代入计算即可判断C，利用整体法和其对称性即可判断D.
【详解】对A，由图知，，，；
的最小正周期，；
，，解得：，
又，，，故A正确；
对B，令，，解得，，当时，，
则，则函数的图象关于点对称，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，则，令，
则，令，则根据图象知两零点关于直线，
则，即，则，则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式，再根据其对称性等性质逐项分析即可.
13．8
【分析】根据余弦函数性质求出函数的最大值及取最大值时的值，由此可得结论.
【详解】因为，
所以，
所以当，即时，取最大值，
所以时，取最大值，
又游客流量越大所需服务工作的人数越多，
所以时，游客流量最大．
14．
【分析】根据圆的几何性质，利用半径及即可表示.
【详解】如图，
设，过点作，垂足为，
则，即，
当时，，；
当时，，，
综上，，.
故答案为：.
15．
【分析】求新路总长度的问题转化为三角函数的最值问题，利用基本不等式求解即可.
【详解】如图：

连接.
∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ，
在直角三角形MCP中，则，所以MP＝，，
NQ＝，
设新路长为，其中(，)，则，
∴，
，当时取等号.
故答案为：.
16． 0 4
【分析】以圆心为原点建立平面直角坐标系，由函数的周期求出，最后由，求出，即可求出函数解析式，则得到的值，令，即即可求得时间．
【详解】以为坐标原点建立如图坐标系，
由题知周期秒，，所以，
又，∴，又因为，则，则，
所以，（）.
令得，∴，
所以，得.所以点第一次到达最高点需要4秒.
故答案为：0；4.
17．(1)元
(2)
【分析】（1）设，过点做的垂线，求得，，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由，求得，得到，结合，即可求解.
【详解】（1）解：设，，过点做的垂线交于，
则，，
所以，
则
所以预算应该设定为元．
（2）解：由题意得，，
因为，可得，
则，所以，
所以.

18．(1)；
(2)
【分析】（1）依题意，设函数表达式为，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据题意，令，即可求解.
【详解】（1）解：依题意，设函数表达式为，
水轮半径为，所以振幅，
水轮每分钟按逆时针方向转动1.5圈，故角速度为，
水轮上点从水中浮现时开始计时，所以，且，解得，
所以函数表达式为，故.
（2）解：根据题意，令，可得.
所以盛水筒出水后至少约就可到达最高点.
19．(1)
(2)122天
【分析】（1）根据周期公式计算可得；
（2）根据所给公式及数据，解三角不等式计算可得.
【详解】（1）由已知，纬度函数的周期为365，
所以；
（2）如图所示，当正午太阳光恰好照射到B楼底层时，
，从而，
要使得能被正午太阳光照射到，则太阳高度角.
由太阳高度角公式可知，解得，
整理得，
解得，即
又，从而，所以共有122天．

20．(1)（i）证明见解析；（ii）
(2)答案见解析
【分析】（1）（i）根据已知条件求出，，结合同角三角函数的平方关系即可求解；
（ii）根据（i）的结论及重要不等式即可求解；
（2）根据已知条件求出四边形的面积的表达式，利用换元法及二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）（i）由题知：，．
所以．
（ii）由（i）知：，
当时，时取等号，
所以，
故当时，的最大值为．
（2）因为．
令，所以，
令，
对称轴为，开口向上，由二次函数的性质知，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
所以．
若，则在上单调递减，
所以，
综上，当时，四边形面积最小值为；
当时，四边形面积最小值为.
21．(1)
(2)100
【分析】（1）根据最大值与最小值求出求的值，根据周期求出得值，根据特殊点求出的值；
（2）由（1）得，解三角不等式，即可求得5分钟内，盛水筒在水面下的时间.
【详解】（1）由图可知，的最大值为的最小值为，
则，
.
因为筒车按逆时针每分钟转2圈，所以，
所以.
当时，，所以，则，
因为，所以.
（2）由（1）得，
令，则，得，
则，
解得，
5分钟秒，则令，得，
故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页