第1章 三角形的证明（知识归纳+题型突破）
1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.
2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.
3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.
一、等腰三角形
1.三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等，对应角也相等.
判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
2.等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）
3.等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.
判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.含30°的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.
二、直角三角形
1.勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
2.命题与逆命题
命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；
3.直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.
要点：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.
②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.
三、线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
2.三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.
要点：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；
②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.
四、角平分线
1.角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
2.三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
3.如何用尺规作图法作出角平分线
要点：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；
②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.
目录：
题型一 等腰三角形的定义
题型二 等腰三角形三线合一
题型三 等腰三角形的性质与判定综合
题型四 等边三角形的性质
题型五 等边三角形的性质与判定
题型六 30°直角三角形的性质
题型七 HL
题型八 勾股定理的逆定理
题型九 垂直平分线的性质
题型十 垂直平分线的性质与判定
题型十一 角平分线的性质
题型十二 角平分线的性质与判定
题型十三 尺规作图
题型十四 三角形的证明解答证明题综合
题型一 等腰三角形的定义
【例1】若等腰三角形的顶角为100°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．根据等腰三角形的特征以及三角形内角和为进行作答即可．
【解析】解：∵等腰三角形的两个底角相等，
∴底角为，
故选：C．
巩固训练：
1．一个等腰三角形的一条边长为5，一条边长为6，请你计算这个三角形的周长是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，构成三角形的三边关系．熟练掌握等腰三角形的定义，构成三角形的三边关系是解题的关键．
由题意知，分当第三条边为5时，当第三条边为6时，两种情况，判断是否能构成三角形，然后计算周长即可．
【解析】解：由题意知，当第三条边为5时，三边为5，5，6，能构成三角形，此时三角形的周长为；
当第三条边为6时，三边为5，6，6，能构成三角形，此时三角形的周长为；
综上所述，这个三角形的周长是或，
故答案为：或．
2．等腰三角形的顶角是，则此等腰三角形的底角度数为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．分的角是顶角和底角两种情况讨论，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【解析】解：当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数 ；
当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角的度数是或．
故选：C．
3．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．或或 B．或 C．或 D．
【答案】A
【解析】略
4．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，先分别求出顶角的大小，从而即可求出其底角的大小．
【解析】①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，
由题意可知，
∴；
②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，
由题意可知，
∴．
综上可知这个等腰三角形的顶角度数为或，
故选：D．
题型二 等腰三角形三线合一
【例2】如图，已知，，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是等腰三角形的三线合一的性质，熟记等腰三角形的三线合一是解本题的关键．
【解析】解：∵，，，
∴，
故选B
巩固训练：
1．下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为，一边长为，那么它的周长是或．其中不正确的（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形中三线合一，腰上的高线，全等三角形的判定和性质，三边长的关系等知识是解题的关键．
根据等腰三线合一即可判定结论①；运用等腰三角形的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质，即可判定结论②；根据等腰三角形的性质，腰上的高线，即可判定结论③；根据等腰三角形的性质，三边的关系可判定结论④．
【解析】解：∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线，三线合一，
∴①错误；
如图1，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴②正确；
如图2，
当为等腰直角三角形时，等腰三角形的腰等于其腰上的高，
∴③错误；
∵等腰三角形的一边长为，一边长为，
∴只能三边是，
∴它的周长是，
∴④错误；
故选：．
2．如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，分别得出，，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求出的大小．熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
【解析】解：，，
，
，
，
，是边上的中线，
，
，
故选：B．
3．如图，在中，，点在边上，，平分交于点E，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理和等腰三角形“三线合一”的性质，先由勾股定理求解得到的长度，根据等腰三角形“三线合一”的性质可知为的中线，即可求解．
【解析】解：如图，在中，，，，
由勾股定理知：．
，平分交于点．
．
故选：C．
题型三 等腰三角形的性质与判定综合
【例3】如图，，D点在边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形性质，等腰三角形判定及性质．根据题意可知，利用等腰三角形性质可知，通过即可得到本题答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴，
故选：A．
巩固训练：
1．如图， 在中， 和的平分线分别交于点 F、G，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质，角平分线的定义，得到，进而得到，即可得出结果．
【解析】解：∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴；
故选C．
2．如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，可得，从而可得，然后再利用角平分线的定义以及平角定义可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解析】解：平分平分，
在中，
故选：C．
题型四 等边三角形的性质
【例4】．如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，先根据等边三角形的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，可求答案.
【解析】解：∵为等边三角形，
∴.
∵是等边三角形的中线，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：A．
巩固训练：
1．如图，是等边三角形的中线，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据等边三角形的性质可得，再由，可得，即可求解．
【解析】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
2．如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则 ．
【答案】/120度
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质．利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可．
【解析】解：是的三等分点，且是等边三角形，
，，
，
．
故答案为：．
题型五 等边三角形的性质与判定
【例5】．如图，等边的两条高和相交于点O，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，角的平分线的定义，三角形外角的性质，首先根据题意得到，，然后利用三角形外角的性质求解即可，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
【解析】∵等边的两条高和相交于点O，
∴，
∴．
故选：C．
巩固训练：
1．在中，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰钝角三角形
【答案】B
【分析】本题主要考查等边三角形的判定以及三角形内角和定理．
【解析】解：在中，若，
∴
∵
∴是等边三角形．
故选：B．
2．如图，在中，，过点作，在直线上取点，使得，连接，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是连接，构造出全等三角形，得到为等边三角形，进而求解．
【解析】解：连接，如下图：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴为等边三角形，即，
又∵，
∴．
故选：B．
题型六 30°直角三角形的性质
【例6】．如图，在中，为直角，，于，若，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，掌握含角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【解析】解：∵为直角，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
巩固训练：
1．如图在中，，于点D，若，，则的长为（ ）．
A．4 B．4 C．8 D．16
【答案】A
【分析】本题主要考查直角三角形的性质及应用，解答本题的关键在于熟练掌握直角三角形的有关性质，本题即可求解．
【解析】解：∵，
于点D，
，
又，
，
在中，
；
又，
（在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半）．
故选：A．
2．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键．
【解析】解：∵，
∴是等边三角形．
∴
∵
∴（SAS），
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴
∴
故选：B．
题型七 HL
【例7】．如图，若要用“HL”证明，则还需补充条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】好本题考查了直角三角形全等的判定的应用，熟记定理是解此题的关键．
【解析】解：∵，
在和中，
∴．
故选：C．
巩固训练：
1．如图，在四边形中，连接，且，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握利用“”的方法是解题的关键，“”判定三角形全等是指：“两个直角三角形中，一条直角边和斜边对应相等”，观察答案逐一判断即可．
【解析】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：D．
2．如图，在中，于R，于S，则三个结论①；②；③中（ ）
A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角．熟练掌握了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边对等角是解题的关键．
证明，则，可判断①的正误；等边对等角，可得，则，进而可判断②的正误；题干条件无法判断，进而可判断③的正误．
【解析】解：由题意知，∵，，
∴，
∴，①正确 ，故符合要求；
∵，
∴，
∴，②正确，故符合要求；
由题意无法判断，③错误，故不符合要求；
故选：B．
题型八 勾股定理的逆定理
【例8】．一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形最长边上的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由勾股定理逆定理可判定该三角形为直角三角形，则可利用等面积法求斜边上的高．
【解析】解：，
该三角形为直角三角形，且斜边为．
设斜边上的高为，
则该三角形的面积，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
巩固训练：
1．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，再根据四边形的面积等于，即可求解．
【解析】解：如图，连接，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积是 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
2．如图所示，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接，求解，证明，延长至，使，连接， 证明为等边三角形，可得，从而可得答案．
【解析】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
延长至，使，连接，而
∴，而，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的应用，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
题型九 垂直平分线的性质
【例9】．如图，在中，，，的垂直平分线交于点M，交于点N，，则（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．连接，先利用线段垂直平分线的性求得，再求，然后利用直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半即可求解．
【解析】解：如下图，连接，
∵的垂直平分线交于点M，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
巩固训练：
1．如图所示，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，根据线段垂直平分线性质求出长和，根据三角形周长求出的长度，求出的周长，代入求出即可．
【解析】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为，
，
，
的周长为，
故选：B．
2．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．
【解析】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
故选D．
题型十 垂直平分线的性质与判定
【例10】．如图，，，则正确的结论是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
【解析】解：∵，，，
∴垂直平分，
根据现有条件，无法证明垂直平分，
故选A．
巩固训练：
1．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（ ）
A．小明说的对
B．小亮说的对，可添条件为“”
C．小亮说的对，可添条件为“”
D．两人说的都不对
【答案】C
【分析】根据选项结合已知得出，从而得到，即可求出最终结果；
本题主要考查垂直平分线的知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．
【解析】解：可添条件为才能说：直线是的垂直平分线
证明如下：
在和中
，
直线是的垂直平分线
故选：C．
2．如图，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，下列结论：①；②；③；④四边形的面积等于．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题意可知垂直平分，可得①②正确；然后根据三角形的面积公式计算四边形的面积可得③正确．
【解析】解：∵，
∴点D、B在的垂直平分线上，即垂直平分，
∴，①③正确；
无法得到,②错误;
∵
，
∴③正确；
综上，正确的有①③④,共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，三角形的面积计算，熟知到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上是解题的关键．
题型十一 角平分线的性质
【例11】．在中，，的平分线交于点，，，则到的距离是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，勾股定理；勾股定理求得，过作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得．
【解析】解：中，，，，
∴，
过作，
是的平分线，，
，
到的距离是，
故选：A．
巩固训练：
1．如图，中，是的角平分线，，F是中点，连接，若，，，则的面积为（ ）
A． B．8 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，三角形的中线将三角形的面积平均分为两部分；先根据角平分线的性质得出，即可求出，进而得出，最后根据三角形中线的性质，即可求解．
【解析】解：过点D作于点H，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵F是中点，
∴，
故选：A．
2．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题．
【解析】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，
平分，
，
，
当点与点重合时，的值最小，等于的值，
，的面积为8，
，
，
的最小值为4，
故选：B．
题型十二 角平分线的性质与判定
【例12】．如图，，，，，则 °．
【答案】64
【分析】主要考查了查角平分线的判定，掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．由角平分线的判定可求得是的平分线，则可求得答案．
【解析】解：∵，，，
∴点P在的平分线上，
即平分，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案是：．
巩固训练：
38．如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，．
（1）若，则 ；
（2）已知，，则的长是 ．
【答案】 6
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键．
（1）先证明得到平分，由三角形内角和定理计算出，即可得到答案；
（2）先计算出，证明得到，最后由即可得到答案．
【解析】解：（1），，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：6．
39．如图，已知，边分别交交于M，N，若，，则的度数是 ．
【答案】/28度
【分析】此题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，角平分线的判定，作，垂足分别为P，Q，根据全等三角形的性质得出，则平分，设，证出，，根据列出方程计算即可．
【解析】解：作，垂足分别为P，Q，
∵，
∴，
平分，
，
设，
∵，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
，
，
，
解得：，
∴，
故答案为：．
题型十三 尺规作图
【例13】．如图，请仔细观察用直尺和圆规作的三个步骤，要说明，只需要连接、，并证明即可，则这两个三角形全等的依据是( )
A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，作角平分线，根据作图，连接、，则，根据，即可根据“边边边”证明，即可求解．
【解析】解：连接、，
根据作图可得，，
∴，
∴，即
故选：D．
巩固训练：
1．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径两弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】利用基本作图方法可对①进行判断；利用角平分线的定义计算出，则由三角形内角和定理求出的度数，于是可对②进行判断；由得到，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断； 利用含度的直角三角形三边的关系得到，则，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．
【解析】解：由作图方法可知平分， 故①正确；
∵，，
∴，，
∴，故②正确；
∵，
∴
∴点在的垂直平分线上，故③正确；
∵
∵，
∴，
∴，
，故④错误．
∴正确的有3个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的尺规作图，三角形内角和定理，等角对等边，线段垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．
2．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了两类基本的尺规作图—尺规作角平分线和线段的垂直平分线、角平分线的定义、对顶角的性质和平行线的判定和性质等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．易得，于是可根据平行线的性质求出，由题意可得：平分，垂直平分，从而可根据角平分线的定义求出，再根据三角形的内角和定理即可求出，进而可得答案．
【解析】解：因为，
所以，
所以，
如图，由题意可得：平分，垂直平分，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
3．已知，用尺规作图的方法在上取一点P，使，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
【解析】解：选项B正确．理由：
连接．
由作图可知点P在的垂直平分线上，
，
．
故选：B．
4．如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点A、B为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C，D；②连接，作直线，且与相交于点，则下列说法不正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质．利用基本作图得到垂直平分，，则可对A选项、B选项和C选项进行判断；然后根据等边三角形的性质可对D选项进行判断．
【解析】解：由作法得垂直平分，，
∴为等边三角形，，所以A、B、C选项符合题意；
∴．所以D选项不符合题意；
故D．
题型十四 三角形的证明解答证明题综合
【例14】．已知：如图，于，于，若，；求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定，证是解题关键．
【解析】证明：∵，，
∴
在和中：
∴，
∴
又∵，，
∴平分
巩固训练：
1．如图，在中，，求边上的高．
【答案】
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理可证明是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式即可．关键是掌握“如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”．
【解析】解：，
，
是直角三角形，
，
即，
．
2．如图，在中，，点D是的中点，，交的延长线于点，且，．
(1)求证：；
(2)求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长为24．
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，平行线的性质．
（1）利用即可证明；
（2）证明是等边三角形，即可求解．
【解析】（1）证明：∵，点D是的中点，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的周长为24．
3．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
(1)求证：；
(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）等边三角形三线合一，得到，等边对等角结合三角形的外角，推出，进而得到，即可；
（2）易得是含30度角的直角三角形，进而得到，中线得到，求出的长，即可．
【解析】（1）证明：∵是等边三角形，是中线，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
（2）∵，
∴
∴在中，．
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形．熟练掌握三线合一，等边对等角，等角对等边，以及30度的角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
4．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
(1)当t为何值时，为等边三角形？
(2)当t为何值时，为直角三角形？
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键．
用含t的代数式表示出．
（1）由于，当时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．
【解析】（1）解：在中，
，，
．
，
.
当时，为等边三角形．
即．
∴．
当时，为等边三角形；
（2）若为直角三角形，
①当时，，
即
．
②当时，，
即，
．
即当或时，为直角三角形．
5．已知，在中，，，为边上一点，为射线上一点，连接、．
(1)如图1，若，平分，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数；
(3)如图3，若，，在，之间，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）证明得到，，根据等边对等角得到，，则，即可由三角形外角的性质得到；
（2）如图所示，在上找一点F，使得，连接，先证明，进而证明，得到，进一步证明，得到，即；
（3）作交延长线于，连接，证明，证明为含的直角三角形即可得出答案．
【解析】（1）解：∵平分，，
∴,
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，在上找一点F，使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作交延长线于，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，,
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，含直角三角形的性质等知识点，根据题意作出辅助线证明三角形全等是解题的关键．
6．已知，如图1所示，为等边三角形，D是边上一点，，且，连接、．
(1)求证：；
(2)如图2，延长交于点F，连接，求证：平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作于H，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先根据等边三角形的性质得到，，求出，然后证明出，即可得到；
（2）过点C作，过点G作，由得到，即可证明平分；
（3）在线段上取点M，使，过点D作，首先求出，然后证明出，得到，，证明出是等边三角形，得到，，然后由得到，，然后证明出，得到．
【解析】（1）∵为等边三角形，
∴，
∵
∴
又∵
∴
∴；
（2）如图所示，过点C作，过点G作
∵，，
∴
∴
∴平分；
（3）如图所示，在线段上取点M，使，过点D作，
∵，
∴
∵，，
∴
∴，
∵
∴
∴是等边三角形
∴，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
由（1）得，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．第1章 三角形的证明（知识归纳+题型突破）
1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.
2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.
3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.
一、等腰三角形
1.三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等，对应角也相等.
判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
2.等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）
3.等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.
判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.含30°的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
要点：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.
二、直角三角形
1.勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
2.命题与逆命题
命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；
3.直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.
要点：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.
②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.
三、线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
2.三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.
要点：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；
②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.
四、角平分线
1.角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
2.三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
3.如何用尺规作图法作出角平分线
要点：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；
②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.
目录：
题型一 等腰三角形的定义
题型二 等腰三角形三线合一
题型三 等腰三角形的性质与判定综合
题型四 等边三角形的性质
题型五 等边三角形的性质与判定
题型六 30°直角三角形的性质
题型七 HL
题型八 勾股定理的逆定理
题型九 垂直平分线的性质
题型十 垂直平分线的性质与判定
题型十一 角平分线的性质
题型十二 角平分线的性质与判定
题型十三 尺规作图
题型十四 三角形的证明解答证明题综合
题型一 等腰三角形的定义
【例1】若等腰三角形的顶角为100°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（ ）
A． B． C． D．
巩固训练：
1．一个等腰三角形的一条边长为5，一条边长为6，请你计算这个三角形的周长是 ．
2．等腰三角形的顶角是，则此等腰三角形的底角度数为（ ）
A． B． C．或 D．
3．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．或或 B．或 C．或 D．
4．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．或 B． C． D．或
题型二 等腰三角形三线合一
【例2】如图，已知，，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
巩固训练：
1．下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为，一边长为，那么它的周长是或．其中不正确的（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
2．如图，中，，，是边上的中线，且，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，点在边上，，平分交于点E，若，，则的长为（ ）
题型三 等腰三角形的性质与判定综合
【例3】如图，，D点在边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
巩固训练：
1．如图， 在中， 和的平分线分别交于点 F、G，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（）
A． B． C． D．
题型四 等边三角形的性质
【例4】．如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
巩固训练：
1．如图，是等边三角形的中线，，则的度数为 ．
2．如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则 ．
题型五 等边三角形的性质与判定
【例5】．如图，等边的两条高和相交于点O，则度数为（ ）
A． B． C． D．
巩固训练：
1．在中，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰钝角三角形
2．如图，在中，，过点作，在直线上取点，使得，连接，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型六 30°直角三角形的性质
【例6】．如图，在中，为直角，，于，若，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
巩固训练：
1．如图在中，，于点D，若，，则的长为（ ）．
A．4 B．4 C．8 D．16
2．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
题型七 HL
【例7】．如图，若要用“HL”证明，则还需补充条件（ ）
A． B． C． D．
巩固训练：
1．如图，在四边形中，连接，且，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，于R，于S，则三个结论①；②；③中（ ）
A．全部正确 B．仅①和②正确 C．仅①正确 D．仅①和③正确
题型八 勾股定理的逆定理
【例8】．一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形最长边上的高为（ ）
A． B． C． D．
巩固训练：
1．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
2．如图所示，，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型九 垂直平分线的性质
【例9】．如图，在中，，，的垂直平分线交于点M，交于点N，，则（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
巩固训练：
1．如图所示，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
题型十 垂直平分线的性质与判定
【例10】．如图，，，则正确的结论是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确
巩固训练：
1．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（ ）
A．小明说的对
B．小亮说的对，可添条件为“”
C．小亮说的对，可添条件为“”
D．两人说的都不对
2．如图，在四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，下列结论：①；②；③；④四边形的面积等于．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
题型十一 角平分线的性质
【例11】．在中，，的平分线交于点，，，则到的距离是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
巩固训练：
1．如图，中，是的角平分线，，F是中点，连接，若，，，则的面积为（ ）
A． B．8 C．9 D．12
2．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
题型十二 角平分线的性质与判定
【例12】．如图，，，，，则 °．
巩固训练：
1．如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，．
（1）若，则 ；
（2）已知，，则的长是 ．
2．如图，已知，边分别交交于M，N，若，，则的度数是 ．
题型十三 尺规作图
【例13】．如图，请仔细观察用直尺和圆规作的三个步骤，要说明，只需要连接、，并证明即可，则这两个三角形全等的依据是( )
A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边
巩固训练：
1．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径两弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（ ）
A． B． C． D．
3．已知，用尺规作图的方法在上取一点P，使，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点A、B为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C，D；②连接，作直线，且与相交于点，则下列说法不正确的是（ ）
A．是等边三角形 B．
C． D．
题型十四 三角形的证明解答证明题综合
【例14】．已知：如图，于，于，若，；求证：平分．
巩固训练：
1．如图，在中，，求边上的高．
2．如图，在中，，点D是的中点，，交的延长线于点，且，．
(1)求证：；
(2)求的周长．
3．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
(1)求证：；
(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．
4．如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
(1)当t为何值时，为等边三角形？
(2)当t为何值时，为直角三角形？
5．已知，在中，，，为边上一点，为射线上一点，连接、．
(1)如图1，若，平分，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数；
(3)如图3，若，，在，之间，且，求的长．
6．已知，如图1所示，为等边三角形，D是边上一点，，且，连接、．
(1)求证：；
(2)如图2，延长交于点F，连接，求证：平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点E作于H，若，，求的长．
