2024 年高二下学期开学考试（数学答案）
一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.B
2．A
2 2
【详解】依题意， A(0, n),B(0, n)，设点P(x0 , y
x y
0 )，则有 0 0 1，m n
x2 m即 0 (n y
2
0 )，n
4 y n y n y 2 n n 4
由直线 AP，BP 斜率之积等于 ，得 0 0 0 ，
3 x0 x x
2
0 0 m 3
m 3
即 ，
n 4
显然曲线C是焦点在 y轴上的椭圆， a n ,b m，
m 3 1
所以 C的离心率为 e 1 1 .故选：A
n 4 2
3. C
【详解】法一：令 x y k ，则 x k y，
2 2
代入原式化简得 2y 2k 6 y k 4k 4 0 ，
2 2
因为存在实数 y，则 0，即 2k 6 4 2 k 4k 4 0，
化简得 k 2 2k 17 0，解得1 3 2 k 1 3 2，
故 x y 的最大值是3 2 1，
法二： x2 y2 4x 2y 4 0 ，整理得 x 2 2 y 1 2 9，
1
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
令 x 3cos 2， y 3sin 1，其中 0,2π ，
则 x y 3cos 3sin 1 3 2 cos
π
1，
4
0,2 π π , 9π π 2π 7 ，所以 ，则 ，即 时，4 4 4 4 4
x y取得最大值3 2 1，
法三：由 x2 y2 4x 2y 4 0 可得 (x 2)2 (y 1)2 9，
| 2 1 k |
设 x y k ，则圆心到直线 x y k 的距离d 3，
2
解得1 3 2 k 1 3 2
4．B
【详解】由题可知， 1000， 50，
.
P 950 X 1100 P X 2
P X P X 2
0.6827 0.9545
0.8186
2 2
所以 300 天内小笼包的销售量约在 950 到 1100 个的天数大约是
300 0.8186 245.58 246天．故选：B．
5.C 6.D
7．B
【详解】经过 4次飞行，停在位于数轴上实数 3的点处，
设向右飞行 1 个单位为事件A，向右飞行 2 个单位为事件 B，
2
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
情况一， AABA满足要求，此时只需安排好 B, A，故不同的飞行方式为
A24 12种，
情况二， BBBA满足要求，此时只需安排好B,A，故不同的飞行方式为
A24 12种，
综上，小蜜蜂不同的飞行方式有12 12 24种.故选：B
8．【答案】D
x2 y2
【详解】已知双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的渐近线方程为bx ay 0，a b
bc
双曲线右焦点 F (c,0)到渐近线bx ay 0的距离为 b
a2 b2
，
在 OMF 中， |MF | b， |OF | c，所以 |OM | a，
2 b
b tan 2 2 tan a 2 ab设 MOF ，则 tan ，
a 1 tan 2 b2 a2 b2
，
1
a2
因为ON 3OM 4OF ON OF 3OF 3OM ，所以 NF 3FM，
所以 | NF | 3b，所以 |MN | 4b，
在Rt△OMN中， tan MON 4b tan 2 ，
a
4b 2ab 2
所以 2 2
b 1
a a 2 b2
，即 a 2b ，即
a2
，
2
2
所以 e 1 b 6 2 ． 故选：Da 2
3
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
二、多选题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四
个选项中，有多个是符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，
有选错的得 0 分．
9.AD
【解析】对于 A，若 an n，则 a1 1， a2 2，a3 3，符合题意；
对于 B，若 an n
3 6n2 12n 6，则 a1 23，不符合题意；
a 1 n2 1对于 C，若 n n 1，当 n 3时， a3 4 3，不符合题意；2 2
6
对于 D，若 an ，则 a1 12 ， a2 2，a3 3，符合题意.故选：n 6n 11
AD.
10．BCD
【详解】以D为坐标原点，以DA,DC,DD1所在直线为 x, y, z轴建立空间直
角坐标系D xyz，
4
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2),M (1,1,1)，
对于 A， AM (0,1,1),CM (1,0,1)，则 AM CM 1 0，
所以 AM ,CM 不垂直，故 A 错误；
对于 B， D1M (1,1, 1)，所以 AM D1M 0,CM D1M 0，
所以，D1M是平面MAC的一个法向量，即D1M 平面MAC，故 B 正确；
对于 C，易知平面 ABC的一个法向量 n (0,0,1)，
n
D1M
而 cos n
,DM 1 31 ，n D1M 3 3
所以二面角M AC B 3的余弦值为 ，故 C 正确；
3
对于 D，D1到平面MAC的距离 d D1M 3，故 D 正确.故选：BCD.
11．ABD
【详解】A选项：根据对立事件的概念可知， A1， A2是对立事件，A 正确；
5
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
P(B) 5 3 2 4 23B 选项：由题意可知， ，B 正确；
7 8 7 8 56
C 选项：当 A1发生时，乙组中有 5 名男生，3 名女生，其中抽取的不是 1
名女生有 5种可能情况，则 P(B | A )
5
1 ，C 错误；8
2 4
P A B
P A |B 2
7 8 8
D 选项： 2 ，D 正确． 故选：ABDP B 23 23
56
12．ABD
x2 y2
【详解】由椭圆 1，可得 A1 2,0 ,A2 2,0 ，设点 P x4 2 0
, y0 且
y0 0，
y
k k 0
y
1 PA , k k
0
1 x0 2
2 PA2 x ，0 2
y y y2
所以， k1 k 0 0 02 x 20 2 x0 2 x0 4
x2 y2 2
又点 P是椭圆上的一点，则 0 0 1，化简得 x0 4 2y
2
0 ，即4 2
y20 1
x2
，
0 4 2
y2
故 k k 0
1
1 2 2 ，则 A 正确；x0 4 2
直线 A1P的方程为 y k1 x 2 ，
y k
AP 1 x 2 因直线 1 与直线 x 2交于点 M，所以，由 得M 2,4k1 .
x 2
6
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
4k 1 1
k 1 2k ，由 k1 k2 OM 1 ，得 k2 2
kPA 2k ，2 2 1
1
因为 kOM kPA 2k1 1，所以OM PA2，故 B 正确；2
2k1
记 BOM MOA π，则 2 ，2
所以在△OBG中， OG OA2 cos
π
2sin , OB 2 ，
2
由余弦定理可得
BG OB 2 OG 2 2 OB OG cos 2 4sin2 4 2 sin cos
2 2 1 cos 2 2 2 sin 2 4 2 2 sin 2 cos 2
2
4 2 3 sin 2 ，（其 tan ,
2
0,
2
），
2
所以 BG 4 2 3 sin 2 4 2 3 3 1 3 1 ，当且仅当
2 π 时 BG 3 1，所以 GB 的最小值为 3 1，故 C 错误；2
7
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
记 MA1A2 且 0，则 k1 tan ，
kOM tan MOA2 2k1 2tan ，
所以，
tan OMA1 tan MOA
tan MOA2 tan tan 1 2 1 tan MOA2 tan 1 2 tan
2 1 2 tan
tan
，
π 1
当 0, 时， tan 0，由基本不等式 2 tan 2 2，则
2 tan
1 1 2
1 22 2 4 ，当且仅当 tan 时取等号； 2 tan
tan 2
当
π 1
, π 时， tan 0，由基本不等式 2 tan 2 2，则
2 tan
1 1 2
1 2
1
2 tan 2 2 4
，即 1 当且仅当
2 tan
4
tan tan
tan 2 时取等号.
2
2
综上所述， tan OMA1的最大值为 ，故 D 正确.
4
故选：ABD.
三、填空题：本小题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡
中的横线上．
13．64 14.（-3，+∞）
4 Sn 7n 1
15． 【详解】因为
3 Tn 4n 27
，
8
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
a1 a21 21
a11 a1 a21 2 S21 7 21 1 4所以 .
b11 b1 b21 b1 b21 21 T21 4 21 27 3
2
4
故答案为： .
3
1
16．
2
【详解】由题， A a,0 ,B a,0 ，设 P x0 , y0 ,M x1, y1 .
k y y则 PA 0 ，kPB 0x a x a ，又点 P 在双曲线上，则0 0
x2 y20 0 1 x2 a2 a
2 y2 b2
2 2 0 2 y
2
0 k PAk 0PB 2 2 2 .a b b x 0 a a
k y1 k yMA ， 1x a MB x ，又点 M 在椭圆上，则1 1 a
x2 2 2 2 21 y1 2 a y b
2 2 1 x1 a
2 2 1
a b b2
y1 k MAk MB 2 2 x a a2
.
1
注意到 kPA kMA，kPB kNB ，则
kPAkPB kMAkMB kPA kMB kNB 0 kMB kNB .
即直线 MB 与直线 NB 关于 x 轴对称，又椭圆为轴对称图形，则 M，N 两点关
于 x 轴对称，故MN AB .
设椭圆右焦点坐标为 c,0 ，其中 c2 a2 b2，因直线 MN 过椭圆右焦点 F，
2
则 x1 c
b
，将其代入椭圆方程可得 y1 .a
9
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
2
则 MF b ，AF a c ，又 tan AMN 2，则
a
AF a c
2 2 2b
2 a2 ac
MF b .
a
则
c 22a2 2c2 a2 ac 2c2 ac a2 0 2 c c 2c c 1 1 0 1 1 0 e
a a a a a 2
.
1
故答案为： 2 .
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
x 2y 1 0 S n217．答案】(1) (2) n
1
【详解】（1）因为直线 l： y 2x 1， l1 l，所以直线 l1的斜率为 ，2
又因为 l1过点 A
1
(1,0)，所以方程为 y x 1 ，即 x 2y 1 0 .
2
（2）因为点 n,an 在直线 l上，所以 an 2n 1，
因为 an 1 an 2 n 1 1 2n 1 2，所以 an 为等差数列，
1 2n 1 n
所以 S n n2 .2
18．(1) 2
T 5103x12(2) 6 ,T7 5103x
13
10
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
【详解】（1）因为 x 1， n 2024，
x 3x2 n =42024=24048=2×24047=2×81349=2×(7 + 1)1349
=2×[ 0 134913497 + 1 1348 1348 1 134913497 + … + 13497 + 1349]
显然 0 1349 1 1348 1348 1 134913497 + 13497 + … + 13497 能被 7 整除，2× 1349=2，
所以二项式的值被 7除的余数为 2.
（2）因为 x 3x 2 n 的二项式系数之和为 128，
2n 128, n 7，
2 7则 x 3x 的展开通项公式为
T r 7 r 2
r r r 7 r
r 1 C7x 3x 3 C7x 0 r 7, r N ，
假设展开式中系数最大的项为第 r 1项，
7! 7!
r r r 1 r 1 3 3 C7 3 C7 r !(7 r)! (r 1)!(8 r)!
则 3r Cr r 1
，即 ，
7 3 C
r 1
7 7! 3 7!
r !(7 r)! (r 1)!(6 r)!
3 1
r 8 r
即 ，解得5 r 6，
1 3
7 r r 1
所以展开式中系数最大的项为第 6，7 项，
即T6 3
5C5 127x 5103x
12 ,T 367 C
6
7x
13 5103x13 .
19．【详解】（1）连接OE， DAC AOB， AD / /BO ,
BO 面 PAD，且 AD 面 PAD， BO / /面 PAD ,
11
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
AC是圆O的一条直径, E为PC的中点,∴OE / /PA,
OE 面 PAD，且 PA 面 PAD， OE / /面PAD ,
BO OE O, BO,OE 面BOE， 面 BOE / /面PAD .
BE 面 BOE， BE / /面PAD ,
（2） 底面四边形 ABCD内接于圆O， AC是圆O的一条直径，
CD AD ,
PA 平面 ABCD，且CD 平面 ABCD， PA CD ,
PA AD A ,且 PA, AD 面 PAD CD 面 PAD ,
PD 面 PAD , CD PD ,
PDA为二面角 P CD A的平面角，
二面角 P CD A的正切值为 2， tan PAD
PA
2, AD 1,
AD
建立以D为坐标原点，DA,DC ,及垂直于平面 ABCD的直线分别为 x, y, z
轴的空间直角坐标系如图：
结合题意易得：D 0,0,0 ,C 0, 3,0 ,P 1,0, 2 ,B 3 3 , , 02 2 ，
DP 1,0,2 ,DC 0, 3,0 ,PB 1 3 , , 2
2 2
r
设平面 PCD的法向量为 n x, y, z ,
n DP n DP x 2z 0 ,即 ,令 x 2，则 n 2,0, 1 ，
n DC n DC 3y 0
12
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
直线 PB与平面PCD所成角的正弦值
cos n ,PB n PB 3 3 .n PB 5 5 5
20.【解】（1）记“甲、乙两家公司共答对 2 道题” 的事件为 ，它是甲
乙各答对 1道题的事件、甲答对 2题乙没答对题的事件和，它们互斥，则
1 2 2 1
有 ( ) = C4C23 × C1(
2 )1(1 2 )23 +
C4C2 2 3 1
C 3 3 C3
× (1 ) = ，所以甲、乙两家公
6 6 3 15
1
司共答对 2道题目的概率是 .
15
（2）设甲公司答对题数为 ，则 的取值分别为 1,2,3，
C1C2 2 = 1 = 4 2 = 1 , = 2 = C4C
1 3 0
2 = 33 3 , = 3 =
C4C2 = 1，
C 36 5 C6 5 C6 5
则 的分布列为：
1 2 3
1 3 1
5 5 5
期望 = 1 × 1 + 2 × 3 + 3 × 1 = 2，
5 5 5
13
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
方差 = (1 2)2 × 1 + (2 2)2 × 3 + (3 2)2 × 1 = 2.
5 5 5 5
（3）方法一：设乙公司答对题数为 ，则 的取值分别为 0,1,2,3，
( = 0) = ( 1 )3 = 1 , ( = 1) = C1 × 2 × ( 1 )2 2
3 27 3
= ，
3 3 9
( = 2) = C23 × (
2 )2 × 1 = 4 , ( = 3) = ( 2 )3 = 8，
3 3 9 3 27
则 的分布列为：
0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
期望 = 0 × 1 + 1 × 2 + 2 × 4 + 3 × 8 = 2，
27 9 9 27
方差 = (0 2)2 × 1 + (1 2)2 × 2 + (2 2)2 × 4 + (3 2)2 × 8 = 2，
27 9 9 27 3
显然 = , < ，所以甲公司竞标成功的可能性更大.
方法二：设乙公司答对题数为 ，则 ~B(n,P)
期望 = 2np=3× =2
3
方差 = 2 2 2np(1-P)=3× (1 - )= ，
3 3 3
显然 = , < ，所以甲公司竞标成功的可能性更大.
21、解 (1)设第 n 年小轿车排出的二氧化碳的吨数为 an(n∈N＋)，
12000 13000 13 14000 14
则 a1＝ ＝4，a2＝ ＝ ，a3＝ ＝ ，…，显然其构成首
3000 3000 3 3000 3
14
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
1
项为 a1＝4，公差为 d＝a2－a1＝ 的等差数列，
3
10×9 1
所以 S10＝10×4＋ × ＝55，
2 3
即该轿车使用 10 年共排放二氧化碳 55 吨．
(2)记第 n 年林木吸收二氧化碳的吨数为 bn(n∈N＋)，
则 b1＝1×1.8，b
2
2＝1×(1＋10%)×1.8，b3＝1×(1＋10%) ×1.8，…，
其构成首项为 b1＝1.8，公比为 q＝1.1 的等比数列，
记其前 n 项和为 Tn，
n
1.8× 1－1.1 n
由题意，有 Tn＝ ＝18×(1.1 －1)>55，
1－1.1
解得 n≥15.
所以林木至少生长 15 年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车 10 年排出
的二氧化碳的量．
4 1 2- 2 1
22.解 (1)由题设得 2+ 2=1, 2 = ,2
2 2
解得 a2= b26, =3,所以 C 的方程为 + =1.
6 3
(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2).
2 2
若直线 MN 与 x 轴不垂直,设直线 MN 的方程为 y=kx+m,代入 + =1 得
6 3
+ k2 x2(1 2 ) +4kmx+2m2-6=0.
4 2 2-6
于是 x1+x2=- ,x x = . ①1+2 2 1 2 1+2 2
由 AM⊥AN 知 · =0,
故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,
可得(k2+1)x1x2+(km-k-
2
2)(x1+x2)+(m-1) +4=0.
整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.
因为 A(2,1)不在直线 MN 上,所以 2k+m-1≠0,
故 2k+3m+1=0,k≠1.
15
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}
2 1
于是 MN 的方程为 y=k - - (k≠1).
3 3
2
所以直线 MN 过点 P ,- 1 .
3 3
若直线 MN 与 x 轴垂直,可得 N(x1,-y1).
由 · =0 得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.
2 2
又 1
+ 1=1,可得 3 21-8x1+4=0.6 3
2
解得 x1=2(舍去),x1= .3
2 1
此时直线 MN 过点 P ,- .
3 3
4 1
令 Q 为 AP 的中点,即 Q , .
3 3
若 D 与 P 不重合,则由题设知 AP 是 Rt△ADP 的斜边,
1 2 2
故|DQ|= |AP|= .
2 3
1
若 D 与 P 重合,则|DQ|= |AP|.
2
4 1
综上,存在点 Q , ,使得|DQ|为定值.
3 3
16
{#{QQABbYaUggAAAAAAAAhCEwU4CgKQkAAAAIoGhEAAsAABCBNABAA=}#}南阳市一中2024年春期高二年级开学考试
数学试题
一、单选题：本大共8小怎，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个进项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知数列1,5,5，，√2n-1,…,则11是这个数列的()
A.第5项
B.第6项
C.第7项
D.第8项
2.已知曲线：兰+上=m>0,m>0)与y轴交于A,B两点，P是曲线C上异于A,B的点，若
m n
直线机，B即斜率之积容于-号，则C的高心率为()
A.
B.②
c.3
D.5-1
2
2
2
3.已知实数，y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是（)
A1+3y2
B.4
C.1+32
D.7
2
4.某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量X~W(1000,2500)(单位：个)，估计
300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是()
(若随机变量X~N4,2),则P(4-0≤X≤4+o)≈0.6827
P(4-2osX≤4+2a)0.9545,P(u-3a≤Y≤+3a)0.9973)
A.236
B.246
C.270
D.275
5,正方体ABCD-ABCD的棱长为4，点M在棱AB上，且AM=1,点P是正方体下底面
ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线AD的距离与点P到点M的距离的平方差为
16,则动点P到B点的最小值是()
7
A,2
B.2N5
c.6
D.2
6.已知数列{a,}满足4++马++8=1-
23
-2,则a,=()
AI-员
1+
B.7
D
7.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个
单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位若小蜜蜂经过4次飞行后，停在位于数轴上实数3
的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有()
A.22
B.24
C.26
D.28
Q夸克扫描王
极速扫描，就是高效
8.已知双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作双曲线的一条渐近线的垂线1，
x2 y2
垂足为M,若直线！与双曲线C的另一条衔近线交于点N,且ON+30应=40丽(0为坐标原
点)，则双曲线C的离心率为()
A.5
B.
3
c.2w5
D.
3
2
二、多选题：本大题共4小愿，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个是
符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，
9.(（多选)一个无穷数列{a}的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是〔)
A.a=n
B.an=r-6m2-12n-6
D
C.
D.a,=-6n+11
10.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，M是BB的中点，AA=2AB=2,
则()
A.M⊥CM
B.DM⊥平面MAC
C.二面角M-AC-B的余弦值为5
D.D到平面MAC的距离为5
11.某校开展“一带一路”知识竞赛，甲组有7名选手，其中5名男生，2名女生：乙组有7名选
手，其中4名男生，3名女生.现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，4
表示事件“从甲组抽取的是男生”，A表示事件“从甲组抽取的是女生”，B表示事件“从乙组抽取
1名女生”，则下列结论正确的是()
A,4,4是对立事件
B.P=装
c.P(@A)君
D.P{4l8=万
8
12.如图，已知椭圆兰+上=1的左、右顶点分别是4,4，上顶点为B,点P是椭圆上的一
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点（不同于A,A),直线AP与直线x=2交于点M,直线OM交直线A,P于点G(O是坐标
原点)，记直线P4,PA,的斜率分别为，k2,则下列说法正确的是()
A.kka=-2
B.OM⊥PA
C.GB的最小值为√2-1
D.am∠OM4的最大值为Y三
三、填空题：本小题共4小愿，每题5分，共20分.把答案填在答加卡中的横线上.
2
Q夸克扫描王
极速扫描，就是高效
