1.1 探索勾股定理
（图 一）
（图二）
勾股定理：
（图三）
（图四）
（图五）
“总统”证法：当伽菲尔德还是美国俄亥俄 ( http: / / www.21cnjy.com )州共和党议员的时候，他曾在散步时遇到过两个小孩在激烈地谈论着什么。由于好奇的驱使，他上前问他们在干什么，其中一个小孩头也不抬地说：“请问先生，如果指教三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长是多少呢？” 伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩有问道：“如果直角边是5和7呢？” 伽菲尔德不假思索的答道：“那斜边的平方一定是5的平方加上7的平方。”小男孩有说道：“先生，你能说出其中的道理吗？” 伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。于是他不再散步，立即回家，潜心研究小男孩给他留下的难题。经过反复地思考与演算，他终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁地证明方法（也就是图五所示的证法）。
练习题：
1、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：
2、生活中的应用：
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什吗？
3、为迎接新年的到来，同学们做了许 ( http: / / www.21cnjy.com )多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．
4、如图，小张为测量校园内池塘A，B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使∠ABC＝90°，并测得AC长26m，BC长24m，则A，B两点间的距离为 m．
5、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．（不取近似值）1.2 一定是直角三角形吗？
(一) 选择题
1.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是
A.48 cm B.4.8 cm
C.0.48 cm D.5 cm
2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是
A.b2=c2－a2
B.a∶b∶c=3∶4∶5
C.∠C=∠A－∠B
D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是
A.5，6，7 B.1，4，9
C.5，12，13 D.5，11，12
4.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是
A.42 B.52
C.7 D.52或7
5.如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么
A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1
B.△ABC是直角三角形，且斜边长2 为m
C.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定
D.△ABC不是直角三角形
(二)解答题
1.已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
2.阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.
解：∵ a2c2－b2c2=a4－b4 ①
∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②
∴c2=a2+b2 ③
∴△ABC是直角三角形
问：上述解题过程，从哪一步开始出现 ( http: / / www.21cnjy.com )错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.1.3.蚂蚁怎样走最近
——勾股定理的应用
教学目标
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.
思考：
前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？
【实例一】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
根据题意，(如图)AC是建筑物，则A ( http: / / www.21cnjy.com )C=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.所以至少需13米长的梯子.
【实例二】蚂蚁怎么走最近
问题：有一个圆柱，它的高等于 ( http: / / www.21cnjy.com )12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．
（1）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么 你画对了吗
（2）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）
我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).
我们不难发现，大概有几种走法：
(1)A→A′→B； (2)A→B′→B；
(3)A→D→B； (4)A—→B.
哪条路线是最短呢？你画对了吗？
第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.
练习：
1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日 ( http: / / www.21cnjy.com )早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？
分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.
解：(如图)根据题意，可知A ( http: / / www.21cnjy.com )是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12(千米)；乙到达C点，则AC=1×5=5(千米).
在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.
2.如图，有一个高1.5米，半 ( http: / / www.21cnjy.com )径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？
分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何 ( http: / / www.21cnjy.com )插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.
解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.
(1)x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5
所以最长是2.5+0.5=3(米).
(2)x=1.5，最短是1.5+0.5=2(米).
答：这根铁棒的长应在2~3米之间(包含2米、3米).
3、在我国古代数学著作《九章算术》 ( http: / / www.21cnjy.com )中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
我们可以将这个实际问题转化成数学模型.
解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得
(x+1)2=x2+52，x2+2x+1=x2+25
解得x=12
则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.探索勾股定理
基础过关
1．直角三角形的两边长分别是3cm、4cm，则第三边长是 ．
2．等腰直角三角形的斜边长是12cm，它的面积是 cm2．
3．一个长350m，宽120m的长方形公园ABCD，如果某人要从公园的一角A走到另一角C，那么他至少要走 米．
4．如图，以直角三角形三边为直径的三个半圆面积A、B、C之间的关系是：___________．
5．如图，所有的四边形都是正方形，所有 ( http: / / www.21cnjy.com )的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为 cm2．
4题图 5题图 6题图
6．如图，一棵大树在一次强台风中在离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30○夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
7．已知有不重合的两点A和B，以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
8．若边长分别为2，4，x的三角形为直角三角形，则x的可能值为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．2.5倍 D．3倍
10．如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C． a＜c＜b D．b＜a＜c
（10题图）
11．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A．60∶13 B．5∶12 C．12∶13 D．60∶169
12．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n >1），那么它的斜边长是（ ）
A．2n B．n＋1 C．n2－1 D．n2＋1
13．在△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）a＝9，b＝12，求c；（2）a＝9，c＝41，求b；（3）b＝24，c＝26，求a．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90○，CD⊥AB于D，若 AC＝8，BC＝15，求CD的长．
( http: / / www.21cnjy.com / )
15．求斜边是29m，一条直角边是21m的直角三角形土地的面积．
三、能力提升
16．如图，一个长为2.5m的梯子 ( http: / / www.21cnjy.com )斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为0.7m，如果梯子的顶端下滑0.4m，那么梯子的底端也将右滑0.4 m吗？为什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
17．有一条24cm长的铁丝弯成一个直角三角形，要使它的一条直角边比另一条直角边长2cm，应该怎样弯呢？
18．如图，有一块直角三角形纸片，两 ( http: / / www.21cnjy.com )直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
四、聚沙成塔
我们已经知道，中国古代数学家赵爽创制了 ( http: / / www.21cnjy.com )一幅“勾股圆方图”（弦图），由形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．他利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
据说，古印度的数学家兼天文学家婆什迦罗利用如下图的拼图证明了勾股定理．他是如何证明的呢？试一试，看看你能否对此作出解释．1.2 一定是直角三角形吗？
(一) 选择题
1.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是
A.48 cm B.4.8 cm
C.0.48 cm D.5 cm
答案：B
2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是
A.b2=c2－a2
B.a∶b∶c=3∶4∶5
C.∠C=∠A－∠B
D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
答案：D
3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是
A.5，6，7 B.1，4，9
C.5，12，13 D.5，11，12
答案：C
4.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是
A.42 B.52
C.7 D.52或7
答案：D(注意有两种情况(ⅰ)32+42=52，(ⅱ)32+7=42)
5.如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么
A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1
B.△ABC是直角三角形，且斜边长2 为m
C.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定
D.△ABC不是直角三角形
答案：A
(二)解答题
1.已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
解：由已知得
(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0
(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0
由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.
所以a－5=0，得a=5；
b－12=0，得b=12；
c－13=0，得c=13.
又因为132=52+122，即a2+b2=c2
所以△ABC是直角三角形.
2.阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.
解：∵ a2c2－b2c2=a4－b4 ①
∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②
∴c2=a2+b2 ③
∴△ABC是直角三角形
问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写 ( http: / / www.21cnjy.com )出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.
答案：③ a2－b2可以为零 △ABC为直角三角形或等腰三角形探索勾股定理
基础过关
1．如果直角三角形两直角 ( http: / / www.21cnjy.com )边分别为a，b，斜边为c，那么它们的关系是______ ，即直角三角形两直角边的_______ ．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝ ．
3．如图，在下列横线上填上适当的值：
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若， c＝10，则a＝ ，b＝_______．
5．已知，甲、乙从同一地点出发，甲往东走了90m，乙往南走了120m，这时甲、乙两人相距 ．
6．一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为 ．
7．一直角三角形的三边是三个连续的正整数，则此直角三角形的周长为 ．
8．如图，阴影部分的面积为（ ）
A．81 B．9 C．54 D．100
9．直角三角形两直角边分别为5cm和12cm，则其斜边的高为（ ）
A．6cm B．8cm C．cm D．cm
10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，则CD为（ ）
A．5 B．13 C．17 D．18
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
8题图 10题图
11．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于 ( http: / / www.21cnjy.com )水流的影响，他实际的上岸点C偏离了想要到达的点B有140m（即BC＝140m），其结果是他在水中实际游了500m，求河宽为多少米？
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12．在△ABC中AB＝15，AC＝13，高AD＝12，求△ABC的周长．
三、能力提升
13．已知一个直角三角形的斜边与一条直角边的和为8，差为2，试求这个直角三角形三边的长．
14．如图，在一棵树的10米高处有两只 ( http: / / www.21cnjy.com )猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
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四、聚沙成塔
我国明朝数学家程大位（1533-1606）写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地；
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人蹴，终朝笑语欢嬉；
良工高士素好奇，算出索长有几？
（注：古时1步=5尺）b
b
C
b
C
b
a探索勾股定理
基础过关
1．如果直角三角形两直角边分别 ( http: / / www.21cnjy.com )为a，b，斜边为c，那么它们的关系是______ ，即直角三角形两直角边的_______ ．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝ ．
3．如图，在下列横线上填上适当的值：
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若， c＝10，则a＝ ，b＝_______．
5．已知，甲、乙从同一地点出发，甲往东走了90m，乙往南走了120m，这时甲、乙两人相距 ．
6．一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为 ．
7．一直角三角形的三边是三个连续的正整数，则此直角三角形的周长为 ．
8．如图，阴影部分的面积为（ ）
A．81 B．9 C．54 D．100
9．直角三角形两直角边分别为5cm和12cm，则其斜边的高为（ ）
A．6cm B．8cm C．cm D．cm
10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，则CD为（ ）
A．5 B．13 C．17 D．18
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8题图 10题图
11．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于 ( http: / / www.21cnjy.com )水流的影响，他实际的上岸点C偏离了想要到达的点B有140m（即BC＝140m），其结果是他在水中实际游了500m，求河宽为多少米？
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12．在△ABC中AB＝15，AC＝13，高AD＝12，求△ABC的周长．
三、能力提升
13．已知一个直角三角形的斜边与一条直角边的和为8，差为2，试求这个直角三角形三边的长．
14．如图，在一棵树的10米高处有两只猴子 ( http: / / www.21cnjy.com )，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．
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四、聚沙成塔
我国明朝数学家程大位（1533-1606）写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地；
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人蹴，终朝笑语欢嬉；
良工高士素好奇，算出索长有几？
（注：古时1步=5尺）
翻译为现代文的大意是：
秋千 ( http: / / www.21cnjy.com )静挂时,踏板离地的高度是1尺.现在晃出两步的距离,有人记录踏板离地的高度为5尺.仕女佳人争着荡秋千,一整天都欢声笑语；工匠师傅们好奇的是秋千绳索有多长呢 1.2 一定是直角三角形吗？
回顾：
在一个三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理）
猜想：
如果一个三角形的三边满足,这个三角形是直角三角形吗？
历史智慧：
古埃及人曾经用13个等距的 ( http: / / www.21cnjy.com )结将一根绳子分成等长的12段，一个工人师傅同时握住第一个和第13个结，两个助手分别握住低4个和低8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，子直角就在第4个结处，你知道为什么吗？
（图1）
比如一个三角形的三边分别为：
（1）a=5，b=12, c=13
(2) a=8, b=15, c=17
(3) a=7, b=24, c=25
问题：（1）这四组数都满足a2+b2=c2吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
（3）以5，12，13这一组数为例，谁能告诉我如何作出以它们为边长的三角形呢？
作法：①作线段AB=5个单 ( http: / / www.21cnjy.com )位长度；②分别以A、B为圆心，12个单位长度，13个单位长度为半径画弧，交于线段AB的同旁于一点C；③连结AC、BC.△ABC就是以5、12、13为边长的三角形
（4）你能告诉我在你作出的直角三角形中，哪一边是斜边吗？哪一个角是直角吗？
思考：
猜想一定正确吗？
证明猜想：
已知：在△ABC中，AB=c， BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2.
( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：∠c=90°
证明：作△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b，那么A′B′2=a2+b2(为什么？).
由已知条件a2+b2=c2，可得A′B′2=c2，即A′B′=c.(A′B′＞0，c＞0)
在△ABC和△A′B′C′中有BC= ( http: / / www.21cnjy.com )a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′，则△ABC≌△A′B′C′.所以∠C=∠C′=90°.
结论：
如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。
延伸：
勾股数：满足的三个正整数a,b,c称为勾股数 。
注意：勾股数必须满足
（1）符合；
(2) 必须是正整数。
例题：
【例1】 一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？
分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子.
解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.
在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.
因此这个零件符合要求.
【例2】 工人师傅想要检测一扇门两边AB,CD是否垂直于底边BC和门的上边AD，但师傅只带了一把卷尺，你能帮工人师傅完成任务吗？
练习：
1、下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.
(1)9，12，15； (2)15，36，39；
(3)12，35，36； (4)12，18，22.
2、判断以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形.
解：因为a2+b2=100+64=164≠c2
即a2+b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形.
请问：上述解法对吗？为什么？
3、已知：在△ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC边上的中线AD=12 cm.
求证：AB=AC.
证明：根据题意，画出图形.AB=13 cm，BC=10 cm.
AD是BC边上的中线—→BD=CD=5 cm.在△ABD中，AD=12 cm，
BD=5 cm，AB=13 cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169.
所以AB2=AD2+BD2.则∠ADB=90°.
∠ADC=180°－∠ADB=180°－90°=90°.
在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=122+52=132.
所以AC=AB=13 cm.
小结：回顾一下本节课学习了什么？
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相关阅读资料 ：
费尔马
费尔马出身于法国的一个皮革商人家庭 ( http: / / www.21cnjy.com ).由于家境富裕，父亲特意给他请了两个家庭教师，不入校门在家里接受系统教育，小时候的费尔马虽称不上是神童，可也算聪明.费尔马父亲比较开通，不宠爱孩子，因此，费尔马学习十分努力，文科理科都不差，不过他最喜欢的功课还是数学.
费尔马是一个不追名逐利的人，因此平 ( http: / / www.21cnjy.com )时比较清闲，空余时间他常看些古书，尤其爱看古希腊的数学名著.他不时做些题目，还作些数学研究，与当时的数学名家，如帕斯卡、笛卡儿、华利斯等人通信，交流心得体会.由于他刻苦钻研，又敢于进行创造性的思考，所以取得的成果很多.他与笛卡儿并列为解析几何的发明者，又与帕斯卡一起分享开创概率论的荣誉.微积分虽说是由牛顿和莱布尼兹最后完成的，但大家公认费尔马为他们作了奠基工作.不过，费尔马最显赫的业绩是近代数论，也是近代数论的开创者.
说起数论，费尔马还是由于读了 ( http: / / www.21cnjy.com )丢蕃图的《算术》一书，才开始产生兴趣.在这本书中，丢番图叙述了他是“怎样将一个平方数(z2)，拆成两个平方数(x2与y2)之和”的，也即叙述了他对方程x2+y2=z2的求解过程.费尔马非常善于联想，他读了丢番图的这段文章后，由此及彼地提出了一连串的同类问题：“能否将一个立方数(z3)表示为两个立方数( x3与y3)之和；将一个四次方数(z4)表示为两个四次方数(x4与y4)之和；……这一连串问题归结起来就是：方程xn+yn=zn是否存在正整数解，其中n是大于或等于2的正整数.当n=2时，方程z2=x2+y2，这是被丢番图和刘徽解决了的勾股方程.十世纪时，阿尔柯坦第曾对n=3的情况，即对方程z3=x3+y3提出过不存在正整数解的结论.显然这都是特殊情况.一旦费尔马所提出的问题得到解决，那么这些特殊情况也就随之解决.
费尔马在丢番图著作的空白处写道：“我已经发现了这个结论的一个奇妙的证明，由于这里篇幅太小，写不下”.
费尔马果真证明了他自己提出的结论 ( http: / / www.21cnjy.com )吗？在费尔马死后人们提出了疑问，这个定理公布以后，引起了各国数学家的关注.他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图证明它.1995年，数学家怀尔斯终于证明了费尔马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜.
A
B
C
D探索勾股定理
基础过关
1．在Rt△ABC中，∠C＝90○，AC＝6，BC＝8，则AB＝ ．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90○，AC＝9，AB＝15，则BC＝ ．
3．已知直角三角形的两直角边分别是3cm、4cm，则第三边的高是 ．
4．在等腰△ABC中，AB＝AC＝17cm，BC＝16cm，则BC边上的高AD＝ ．
5．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90○，AD平分∠BAC交BC于D，DE是斜边AB的垂直平分线，且DE＝1cm，则BC＝ ．
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5题图 6题图
7．在Rt△ABC中，∠A＝90°，若a＋b＝16，a∶c＝5∶3，则b＝_____
8．若直角三角形的三条边长为三个连续的整数，那么以这三边为边长的三个正方形的面积分别为（ ）
A．3，4，5 B．9，16，25 C．6，8，10 D．8，12，24
9．在△ABC中，三条边a、b、c上的高分别是6cm、4cm、3cm，那么三边的比为（ ）
A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．6∶4∶3 D．不能确定
10．已知，如图，一轮船以16海里/时 ( http: / / www.21cnjy.com )的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里
三、能力提升
11．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6m，至少需要多长的梯子？（画出示意图）
12．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，CD＝1.5，BD＝2.5，求AC的长．
13．如图，Rt△ABC，BC是斜边，P是三角形内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP＝6，求PP′2的长．
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14．已知：如图，△ABC中，∠C ( http: / / www.21cnjy.com )＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于多少．
15．△ABC中，BC＝a，CA ( http: / / www.21cnjy.com )＝b，AB＝c，若∠C＝90○．如图1，根据勾股定理，则a2＋b2＝c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2＋b2与c2的关系，并证明你的结论．
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图1 图2 图3
1-1-14
北
南
A
东
A
B
C
P
P′
C
O
A
B
D
E
F1.3 蚂蚁怎样走最近
1．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定仍然是勾股数的是（ ）
A．a+1，b+1，c+1 B．a2，b2，c2
C．2a，2b，2c D．a－1，b－1，c－1
你能否再多写几组勾股数，从这些勾股数中，你能发现什么规律？
2．如图1，有一个底面半径为6cm，高为 ( http: / / www.21cnjy.com )24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？（π取整数3）
3．有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，如图2，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由．
4．在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美 ( http: / / www.21cnjy.com )丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？
参考答案
1．C 若a，b，c为一组勾股数，那么ka，kb，kc（k≠0，k为常数）也是勾股数．
2．解：如下图：将圆柱沿着过A点的高AC剪开，并将侧面展开．
则AC=24cm，BC=·2πr=π·r≈18（cm）
∴在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=242+182，∴AB=30（cm）
∴它最短的爬行路程约为30×2=60（厘米）
3．（1）当蚂蚁在侧面A1ABB1和侧面B1BCC1上爬行时，爬行的最短路线的长设为d1
则d12=（2+1）2+32=18
（2）当蚂蚁在侧面A1ABB1和上底面A1B1C1D1上爬行时，由A到C1的最短路线的长设为d2，则d22=22+（3+1）2=20
（3）同理可求得蚂蚁在侧面A1ADD1 ( http: / / www.21cnjy.com )和D1DCC1上爬行时，d32=32+（1+2）2=18，蚂蚁在底面ABCD，侧面D1DCC1上爬行时，d32=22+（1+3）2=20
所以，蚂蚁可沿A—M—C1爬行，如下图：
或蚂蚁沿A—N—C1爬行，如下图：
4．解：设水深为x尺
如图，Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即（h+3）2=h2+62
∴h2+6h+9=h2+36，解得：h=4.5
答：水深4.5尺1.3 蚂蚁怎样走最近(一)
1、长度分别为9cm 、12cm 、15cm 、36cm 、39cm的五根木棒，能首尾相连成为直角三角形的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、△ABC中，AB=12cm，BC=16cm，AC=20cm，那么△ABC的面积为（ ）
A.96cm2 B.120 cm2 C.160 cm2 D.200 cm2
3、一直角三角形两边长为3和5，则第三边长是（ ）
A.4 B. 5 C.6 D.前面都不对
4、有一组勾股数，其中两个为8和15，那么第三个个数的平方为
。
5、一个长方体的长、宽、高分别为3、4、12，那么八个顶点间最长的距离是
6、如图，一只鸭子要从边长为10米的正方形水池一角A游到水池一边中点B，则它的最短路程的平方为 m。
(7题图) （8题图）
7、李师傅在操场上安装一幅单杠，要求 ( http: / / www.21cnjy.com )单杠与地面平行，杠面与两撑脚垂直，如图撑脚长为4m，两撑脚间距离BC为3m，则AC＝ m，就可以符合要求。
8、要登上12米高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？
9、假期中，王强和同学到某海岛上去 ( http: / / www.21cnjy.com )玩探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走到6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？
10、一段长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面6米，现将梯顶沿墙面下滑1米，则梯子底端与墙面距离是否也增长1米？说明理由.
1.3 蚂蚁怎样走最近(二)
1．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定仍然是勾股数的是（ ）
A．a+1，b+1，c+1 B．a2，b2，c2
C．2a，2b，2c D．a－1，b－1，c－1
你能否再多写几组勾股数，从这些勾股数中，你能发现什么规律？
2．如图1，有一个底面半径为6cm，高 ( http: / / www.21cnjy.com )为24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？（π取整数3）
3．有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，如图2，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由．
4．在波平如镜的湖面上，有一朵盛 ( http: / / www.21cnjy.com )开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？
61.2 一定是直角三角形吗？
回顾：
在一个三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理）
猜想：
如果一个三角形的三边满足,这个三角形是直角三角形吗？
历史智慧：
古埃及人曾经用13个等距的结将一根绳子 ( http: / / www.21cnjy.com )分成等长的12段，一个工人师傅同时握住第一个和第13个结，两个助手分别握住低4个和低8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，子直角就在第4个结处，你知道为什么吗？
（图1）
比如一个三角形的三边分别为：
（1）a=5，b=12, c=13
(2) a=8, b=15, c=17
(3) a=7, b=24, c=25
问题：（1）这三组数都满足a2+b2=c2吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，以5，12，13这一组数为例，谁能告诉我如何作出以它们为边长的三角形呢？(尺规作图)
作法：
（3）用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
（4）你能告诉我在你作出的直角三角形中，哪一边是斜边吗？哪一个角是直角吗？
思考：
猜想一定正确吗？
证明猜想：
已知：在△ABC中，AB=c， BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2.
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求证：∠c=90°
证明：
结论：（ ）
如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。
延伸：
勾股数：满足的三个正整数a,b,c称为勾股数 。
【注意】：勾股数必须满足
（1）符合；
(2) 必须是正整数。
例题：
【例1】 一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？
【例2】 工人师傅想要检测一扇门两边AB,CD是否垂直于底边BC和门的上边AD，但师傅只带了一把卷尺，你能帮工人师傅完成任务吗？
练习：
1、下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.
(1)9，12，15； (2)15，36，39；
(3)12，35，36； (4)12，18，22.
2、判断以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形.
解：因为a2+b2=100+64=164≠c2
即a2+b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形.
请问：上述解法对吗？为什么？
3、已知：如图，在△ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC边上的中线AD=12 cm.
求证：AB=AC.
小结：回顾一下本节课学习了什么？
1、
2、
3、
4、
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费尔马
费尔马出身于法国的一个皮革商人家庭.由 ( http: / / www.21cnjy.com )于家境富裕，父亲特意给他请了两个家庭教师，不入校门在家里接受系统教育，小时候的费尔马虽称不上是神童，可也算聪明.费尔马父亲比较开通，不宠爱孩子，因此，费尔马学习十分努力，文科理科都不差，不过他最喜欢的功课还是数学.
费尔马是一个不追名逐利的人，因此平时比较清闲 ( http: / / www.21cnjy.com )，空余时间他常看些古书，尤其爱看古希腊的数学名著.他不时做些题目，还作些数学研究，与当时的数学名家，如帕斯卡、笛卡儿、华利斯等人通信，交流心得体会.由于他刻苦钻研，又敢于进行创造性的思考，所以取得的成果很多.他与笛卡儿并列为解析几何的发明者，又与帕斯卡一起分享开创概率论的荣誉.微积分虽说是由牛顿和莱布尼兹最后完成的，但大家公认费尔马为他们作了奠基工作.不过，费尔马最显赫的业绩是近代数论，也是近代数论的开创者.
说起数论，费尔马还是由于读了丢 ( http: / / www.21cnjy.com )蕃图的《算术》一书，才开始产生兴趣.在这本书中，丢番图叙述了他是“怎样将一个平方数(z2)，拆成两个平方数(x2与y2)之和”的，也即叙述了他对方程x2+y2=z2的求解过程.费尔马非常善于联想，他读了丢番图的这段文章后，由此及彼地提出了一连串的同类问题：“能否将一个立方数(z3)表示为两个立方数( x3与y3)之和；将一个四次方数(z4)表示为两个四次方数(x4与y4)之和；……这一连串问题归结起来就是：方程xn+yn=zn是否存在正整数解，其中n是大于或等于2的正整数.当n=2时，方程z2=x2+y2，这是被丢番图和刘徽解决了的勾股方程.十世纪时，阿尔柯坦第曾对n=3的情况，即对方程z3=x3+y3提出过不存在正整数解的结论.显然这都是特殊情况.一旦费尔马所提出的问题得到解决，那么这些特殊情况也就随之解决.
费尔马在丢番图著作的空白处写道：“我已经发现了这个结论的一个奇妙的证明，由于这里篇幅太小，写不下”.
费尔马果真证明了他自己提出的结论吗 ( http: / / www.21cnjy.com )？在费尔马死后人们提出了疑问，这个定理公布以后，引起了各国数学家的关注.他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图证明它.1995年，数学家怀尔斯终于证明了费尔马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜.
A
B
C
D1.3.蚂蚁怎样走最近
——勾股定理的应用
教学目标
能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.
思考：
前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？
【实例一】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
【实例二】蚂蚁怎么走最近
问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面 ( http: / / www.21cnjy.com )半径等于3厘米．在圆行柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)．
（1）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么 你画对了吗
（2）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）
练习：
1.甲、乙两位探险者，到 ( http: / / www.21cnjy.com )沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10∶00，甲、乙两人相距多远？
2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱 ( http: / / www.21cnjy.com )形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？
3、在我国古代数学著作《九章算 ( http: / / www.21cnjy.com )术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？1.3 蚂蚁怎样走最近(二)
1．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定仍然是勾股数的是（ ）
A．a+1，b+1，c+1 B．a2，b2，c2
C．2a，2b，2c D．a－1，b－1，c－1
你能否再多写几组勾股数，从这些勾股数中，你能发现什么规律？
2．如图1，有一个底面半径为6c ( http: / / www.21cnjy.com )m，高为24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？（π取整数3）
3．有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，如图2，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由．
4．在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美 ( http: / / www.21cnjy.com )丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？
