2023-2024学年北京重点中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京重点中学八年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.计算( )
A. B. C. D.
3.已知，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
4.由线段，，组成的三角形是直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5.我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，里千米，则该沙田的面积为平方千米．( )
A. B. C. D.
6.已知一次函数，若随的增大而增大，则它的图象经过( )
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限
7.将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得新图象的函数表达式为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
9.对于函数，当时， ______，当时， ______．
10.函数的图象与轴的交点坐标是______，与轴的交点坐标是______，直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是______．
11.已知两直线和的交点坐标为，则 ______， ______．
12.已知一次函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是______．
13.的相反数是______；的倒数是______．
14.如图，长方形中，在数轴上，，，若以点为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为______．
15.如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则： ______．
16.如图，在平面直角坐标系中，，，线段由线段绕点顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是______．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
如图，在中，，，点在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，．
连接，求证：≌；
问线段、、三者之间的数量关系？并证明结论．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线与轴，轴交于，两点，且，点在轴正半轴上，且．
求直线的函数解析式；
点在轴上，如果的面积为，求点的坐标．
20.本小题分
阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如善于思考的小明进行了以下探索：设其中、、、均为整数，则有，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ______， ______；
利用所探索的结论，填空：______ ______；
若，且、、均为正整数，求的值．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形和的“极大距离”，记为．
已知：正方形，其中，，，．
已知点，
若，则点，正方形 ______；
若点，正方形，则 ______．
已知点，，若线段，正方形，求的取值范围．
一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求线段，正方形的最小值，并直接写出此时的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
【解答】
解：、是三次根式，不合题意；
B、被开方数是负数，无意义，不是二次根式，不合题意；
C、，符合二次根式的定义，符合题意；
D、不是二次根式，不合题意．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：原式，
故选A．
根据计算即可．
本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式除法计算公式．
3.【答案】
【解析】解：原式
，
当时，
原式
，
故选：．
利用完全平方公式将原式进行变形，然后代入求值．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：、，不能构成直角三角形，故选项错误；
B、，不能构成直角三角形，故选项错误；
C、，能构成直角三角形，故选项正确；
D、，不能构成直角三角形，故选项错误．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5.【答案】
【解析】解：，
三条边长分别为里，里，里，构成了直角三角形，
这块沙田面积为：平方米平方千米．
故选：．
直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：一次函数且随的增大而增大，
，该直线与轴交于负半轴，
该直线经过第一、三、四象限．
故选：．
根据“一次函数且随的增大而增大”得到，再由的符号确定该函数图象所经过的象限．
本题考查了一次函数图象与系数的关系．
函数值随的增大而减小；
函数值随的增大而增大；
一次函数图象与轴的正半轴相交，
一次函数图象与轴的负半轴相交，
一次函数图象过原点．
7.【答案】
【解析】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得新图象的函数表达式为．
故选：．
根据一次函数的平移规律，即可进行解答．
本题考查一次函数的平移，解题的关键是熟知“上加下减，左加右减”的平移规律．
8.【答案】
【解析】解：当在直线上时，，
当在直线上时，，
则，
故选：．
计算出当在直线上时的值，再计算出当在直线上时的值，即可得答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握番薯函数图象经过的点，必能使解析式左右相等．
9.【答案】
【解析】解：对于函数，当时，，
当时，，解得．
故答案为：，．
根据当时，当时，分别代入函数解析式求出即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，属较简单题目．
10.【答案】
【解析】解：当时，；当时，；
直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是．
函数的图象与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是，
直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是．
故填．
让函数解析式的可求得与轴的交点坐标；让可求得与轴的交点坐标；直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为直线与轴交点的横坐标的绝对值直线与轴交点纵坐标的绝对值，把相关数值代入即可求解．
用到的知识点为：轴上的点的纵坐标为；轴上的点的横坐标为；点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式．
11.【答案】
【解析】解：两直线和的交点坐标为，
，
解得，，
故答案为：，．
利用待定系数法即可求出、的值．
本题是两条直线的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：一次函数的图象不经过第四象限，
，
故答案为：．
根据已知条件和一次函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了一次函数的性质、一次函数的图象与系数的关系，能得出关于的不等式是解此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，的相反数是，
的相反数是；
的倒数是．
故答案为；．
先根据二次根式的除法法则求出，再由相反数的定义求解；根据倒数的定义，用除以即可得到的倒数．
本题考查了二次根式的除法，分母有理化，相反数与倒数的定义，是基础知识，比较简单．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，
，
点表示，
点表示的数为：，
故答案为：．
首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．
此题主要考查了实数与数轴，利用勾股定理得到的长是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，
、、都是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，；
在中，由勾股定理得：，
即，
．
故答案为：．
根据正方形的性质得，，再根据等角的余角线段得，则可根据“”判定≌，得到，；由勾股定理得，即进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和正方形的性质．解决本题的关键是结合全等三角形的性质证明线段相等．
16.【答案】
【解析】解：，，
，，
过点作轴于点，
则易知≌，
，，
，
设直线的解析式为，将点，点坐标代入得
，
，
直线的解析式为．
故答案为：．
过点作轴于点，易知≌，已知，，从而求得点坐标，设直线的解析式为，将点，点坐标代入求得和，从而得解．
本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
17.【答案】解：原式
．
原式
．
【解析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
根据二次根式的乘法运算法则以及加减运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
18.【答案】证明：是等腰直角三角形，，
，
，
，
在和中，
，
≌．
解：，
证明：，，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
．
【解析】由，，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
由，，得，由，，得，由≌得，，则，所以．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理等知识，由≌得，从而推导出是解题的关键．
19.【答案】解：，
，
，
，
在轴正半轴，
，
设直线解析式为：，
在此图象上，代入得
，
解得．
直线的函数解析式为；
，
，
，
或．
【解析】先求出，再由待定系数法求出直线的解析式；
根据三角形面积公式可求，依此可求点的坐标．
主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解本题的关键是熟练掌握待定系数法．
20.【答案】
【解析】解：，
，，
故答案为：，；
，，
，，又，为整数，
，，或，，
故答案为：，；
，
，，
、、均为正整数，
，或，，
当，时，；
当，时，．
利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、；
根据，得到，，即可求解；
由，，和、、均为正整数可确定、的值，再计算对应的的值．
本题考查了二次根式的混合运算，解答关键是灵活运用二次根式的性质，掌握二次根式的运算法则．
21.【答案】 或
【解析】解：如图中，时，，
点，正方形．
故答案为：．
点，正方形，当点在中点右侧时，，
解得或舍弃，
当点在轴的左侧时，，
解得或舍弃，
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
如图中，当在轴的右侧时，
若时，，
解得，或舍弃，
若时，，
解得，或舍弃，
观察图象可知，满足条件的的值为．
如图中，当在轴的左侧时，
若，则有，，
解得，或舍弃，
若时，，
解得，或舍弃，
观察图象可知，满足条件的的值为．
综上所述，满足条件的的值为或．
如图中，
当线段，正方形取最小值，
线段，正方形的最小值点，正方形，
点，正方形，
当点，正方形时，或，
代入，得，
将代入，得，
观察图形可知，满足条件的的值为：或．
根据图形和的“极大距离”的定义求解即可．
分两种情形，利用勾股定理求解即可．
分两种情形：如图中，当在轴的右侧时，如图中，当在轴的左侧时，分别求出落在特殊位置的的值即可解决问题．
当线段，正方形取最小值，推出线段，正方形的最小值点，正方形，推出点，正方形，当点，正方形时，或，求出两种特殊位置的值，可得结论．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，图形和的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
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