2023-2024学年山东省烟台市莱州一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省烟台市莱州重点中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 且，则四边形的形状为
( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形
2.在中，，，则等于( )
A. B. C. D.
3.在中，若点满足，则( )
A. B. C. D.
4.在中，、、的对边分别为、、，若，则( )
A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形 D. 是锐角或直角三角形
5.已知向量，，，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.已知函数为上的偶函数，且对任意，均有成立，若，，，则，，的大小关系为
( )
A. B. C. D.
7.已知非零向量，满足，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
8.定义行列式若函数在上恰有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.非零向量与是相反向量，下列正确的是( )
A. B. C. D. 方向相反
10.设向量，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
11.在中，下列式于与的值相等的是( )
A. B. C. D.
12.下列说法正确的是( )
A. 若，，满足，则的最大值为
B. 若，则函数的最小值为
C. 若，，满足，则的最小值为
D. 函数的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图所示，在矩形中，，点在边上，且，则的值是______．
14.已知，，分别为的三边，且，则 ．
15.已知为锐角且满足，则 ______．
16.已知非零向量，，若与的夹角为，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，四边形是以为边的平行四边形，，，试用，表示．
18.本小题分
已知，，且，求的坐标．
已知，求与垂直的单位向量的坐标．
19.本小题分
在中，已知，，，解这个三角形．
20.本小题分
已知函数在一个周期内的图象如图所示．
求函数的解析式．
求函数的单调递增区间．
当时，求的取值范围．
21.本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值及函数的值域；
若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
如果，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的相等与平行四边形以及菱形的判定问题，属于基础题．
由向量相等，得出四边形是平行四边形；由模长相等，得出平行四边形是菱形．
【解答】解：四边形中，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
故选C．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
利用减法的三角形法则可得答案．
本题考查向量的减法及其几何意义，属基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题目．
根据平面向量的线性表示与运算性质，进行计算即可．
【解答】
解：如图所示，
中，，
，
．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：，且
．
则是钝角三角形．
故选：．
通过余弦定理，求得的值，然后判断三角形形状．
本题主要考查了三角形形状的判断，余弦定理的应用．一般是通过已知条件，通过求角的余弦值是解题的最佳方案．
5.【答案】
【解析】解：由，得，
所以，
所以，
设与的夹角为，则，
又因为，
所以．
故选：．
展开，可得，再利用夹角公式求解即可．
本题考査了平面向量的数量积与夹角的运算问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．
【解答】
解：由题意得，偶函数在上单调递减，
，，，而，
故，
又，
所以，
又在上单调递减，
所以，
所以．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】若，则，进而可得实数的值．
本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题
【解答】解：，，，，
，
解得：，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：函数，
时，，
因为在上恰有个零点，
所以，解得，
所以的取值范围是
故选：．
由题意化函数为余弦型函数，根据的取值范围，结合余弦函数的图象与性质，即可求出的取值范围．
本题利用行列式考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：非零向量与是相反向量，
，，且与方向相反，
故选：．
利用相反向量的定义逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了相反向量的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由，，可得，，故A错误；
由，可知B正确；
由，可得与不平行，故C错误；
由，可得，即，故D正确．
故选：．
由向量模长公式可判定；由数量积的坐标运算可判定；由向量平行的坐标关系可判定；由数量积的性质可判定．
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量平行及垂直的性质，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：由正弦定理可得，，
则．
故选：．
根据正弦定理求解即可．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，若，，，则，当且仅当时等号成立，没有最大值，故A错误；
，若，即，则函数，当且仅当等号成立，故B错误；
，若，，，所以，所以，所以，当且仅当时取等，所以的最小值为，故C正确；
，，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：．
没有最大值，即可判断；函数，即可判断；的最小值为，即可判断；，当且仅当时等号成立，即可判断．
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：
，
则，
故答案为：．
由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积运算求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、余弦定理的应用，属于中档题．
中，由余弦定理求得的值，再利用同角三角函数的基本关系求出的值，可得 的值．
【解答】解：中，，，
，
故．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由，得
，
则，
是锐角，．
故答案为：．
利用辅助角公式以及三角函数的倍角公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数的化简和求解，利用辅助角公式以及倍角公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：．
，
，，
为非零向量，．
故答案为：．
分别计算与即可得出，代入数量积的定义式列方程解出
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
17.【答案】解：，，，
．
，，
．
．
【解析】利用向量的线性运算，结合图形，即可得到结论．
本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，属于基础题．
18.【答案】解：设，
，，且，
则，解得或；
故或；
设，
则，解得或，
故或
【解析】根据已知条件，结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解；
根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直、共线的性质，属于基础题．
19.【答案】解：，
，
，或．
当时，，；
当时，，．
，，或，，．
【解析】利用正弦定理可求得或，分类讨论，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．．
20.【答案】解：由函数的图象知，
，，
所以，解得；
由函数图象过点，
得，
则，，
因为，所以，
所以函数的解析式为；
由函数的解析式，令，；
解得，；
所以的单调递增区间为，；
当时，，
则，
所以，
则的取值范围是．
【解析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
由函数的图象求得、和、的值，即可写出函数的解析式；
由三角函数的图象与性质，即可求的单调递增区间；
根据三角函数的图象与性质，求出时的取值范围即可．
21.【答案】解：因为函数的定义域为，
所以由函数为奇函数可得：，
即，即，所以．
所以，
因为，且，所以，且，或，
所以或，
所以或，
所以函数的值域为．
因为不等式对任意都成立，
所以对任意都成立，
所以对任意都成立，
即对任意都成立，
而，当且仅当，即时等号成立，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以．
故实数的取值范围为．
【解析】利用函数的为奇函数即可求出的值，再利用指数函数的性质即可求出函数的值域；
将已知不等式转化为对任意都成立，求出函数的最大值即可得出的取值范围．
本题考查函数的奇偶性、不等式恒成立问题，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
22.【答案】解：因为，，
所以，即，
由，得到；
由得：
则，又，所以，
又因为，根据余弦定理得：，
由，解得．
【解析】根据正弦定理得到一个关系式，然后与已知条件联立即可求出的值，根据的范围和特殊角的三角函数值即可求出的度数；
由中的度数，求出的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简，即可求出的值，利用余弦定理得到一个关系式，再由的值和求出的代入关系式即可求出的值．
此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理及平面向量的数量积的运算法则化简求值，是一道综合题．
第1页，共1页