2023-2024学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省荆州中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
3.双曲线：过点，离心率为，则双曲线的解析式为．( )
A. B. C. D.
4.已知公差小于的等差数列的前项和为，若，则当最大时的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
5.如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，是棱的中点，且，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知两等差数列，，前项和分别是，，且满足，则( )
A. B. C. D.
7.在圆内，过点有条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么的取值集合为( )
A. B. C. D.
8.若数列对任意连续三项，，，均有，则称该数列为“跳跃数列”，下列说法中正确的是( )
A. 存在等差数列是“跳跃数列”
B. 存在公比大于零的等比数列是“跳跃数列”
C. 若等比数列是“跳跃数列”，则公比
D. 若数列满足，则为“跳跃数列”
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若有空间非零向量，，则存在唯一的实数，使得
B. ，，三点不共线，空间中任意点，若，则，，，四点共面
C. ，，若，则
D. 若是空间的一个基底，则，，，四点共面，但不共线
10.已知圆，圆，则( )
A. 圆与圆相切
B. 圆与圆公切线的长度为
C. 圆与圆公共弦所在直线的方程为
D. 圆与圆公共部分的面积为
11.已知五个数，，，，成等比数列，则曲线的离心率可以是
( )
A. B. C. D.
12.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为函数，例如，与，，，均互质则( )
A. B. 数列单调递增
C. 若为质数，则数列为等比数列 D. 数列的前项和等于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线的斜率为，且过点，则直线在轴上的截距是______．
14.若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
15.在数列中，，，则 ______．
16.已知三棱锥满足平面，且，底面为边长为的正三角形，则该三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线和圆：．
为何值时，截得的弦长为；
若直线和圆交于，两点，此时，求的值．
18.本小题分
已知数列满足，．
求的通项公式；
求数列落入区间的所有项的和．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，．
证明：平面平面；
已知，在线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
20.本小题分
已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为．
求此抛物线的方程；
若此抛物线方程与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为，求的值．
21.本小题分
已知为数列的前项和，且．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
22.本小题分
如图，已知椭圆设，是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线，分别交直线于，两点．
Ⅰ求点到椭圆上点的距离的最大值；
Ⅱ求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由直线方程求直线倾斜角，属于基础题．
把直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率公式求出直线的倾斜角．
【解答】
解：由得，，
斜率，则，
直线的倾斜角为．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：平面的法向量为，平面的法向量为，且，
，
，
解得．
故选：．
根据题意，得出，列出方程求出的值．
本题考查了平面的法向量与向量垂直的应用问题，是基础题目．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的标准方程的求解，解题的关键是求出基本量，的值，考查了运算能力，属于基础题．
利用点在椭圆上得到和的关系，再利用离心率为，将离心率转化为和的关系，求出，的值，即可得到答案．
【解答】
解：因为双曲线过点，
则有，
又离心率为，
则，
由可得，，，
所以双曲线的标准方程为．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
则，
公差小于，
则当最大时的值为或．
故选：．
根据已知条件，等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，是棱的中点，且，
，，
则，
故选：．
利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：等差数列，，前项和分别是，，
令，，，
故．
故选：．
由等差数列前项和的性质，设出，，即可求解．
本题主要考查等差数列前项和的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：圆的圆心为，半径为
过点最短弦的弦长为
过点最长弦长为圆的直径长，
，
，
，
，
．
故选：．
先求出圆的圆心和半径，根据圆的几何性质计算出过点的最短弦长和最长弦长，即等差数列的第一项和第项，再根据等差数列的公差，求出的取值集合．
本题考察了圆的方程，圆的几何性质及等差数列的通项公式等知识，解题时要学会使用圆的几何性质解决圆的弦长问题，提高解题速度．
8.【答案】
【解析】解：若是等差数列，设公差为，
则，
所以不存在等差数列是“跳跃数列”，故A错误；
若是等比数列，设公比为，
则，
当时，，所以B错误；
由，得，所以C正确；
因为，所以，
所以，故D错误．
故选：．
由可判断；由可判断；解不等式可判断；由得，计算可判断．
本题考查关于数列的新定义的应用，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：有空间非零向量，，则存在唯一的实数，使得，故A正确；
对于：，，三点不共线，空间中任意点，若，由于：，则，，，四点共面，故B正确；
对于：对于，，由于，故，解得，故C正确；
对于：若是空间的一个基底，则，，，四点不共面，且不共线，故D错误．
故选：．
直接利用共线向量，向量的基底判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：共线向量，向量的基底，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为圆，圆，
所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
所以，故圆与圆相交，即A错误；
因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为，故B正确；
将两圆方程作差得，
所以两圆公共弦所在直线的方程为，故C正确；
因为的圆心为，半径，
所以到直线的距离为，
所以公共弦长为，
又圆心到直线的距离为，
所以圆与圆公共部分的面积为，故D正确．
故选：．
求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断，，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断．
本题考查圆的方程的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆锥曲线离心率的计算，根据等比数列的定义求出、的值是解决本题的关键，是中档题．
根据等比数列的性质求出、的值，结合圆锥曲线的离心率的公式进行求解即可．
【解答】
解：五个数，，，，构成一个等比数列，
，
则，舍去，
，
，
若，，
则曲线为是椭圆，
椭圆的离心率；
若，，
则曲线为是双曲线，
双曲线的离心率，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：根据题意可知，与，，，互质，与、、、共个数都互质，即，所以A正确；
由题目中，以及可知数列不是单调递增的，B错误；
若为质数，则小于等于的正整数中与互质的数为，，，，，，，，，，
即每个数当中就有一个与不互质，所以互质的数的数目为个，
故，所以为常数，即数列为等比数列，故C正确；
根据选项C即可知，数列的前项和为，故D错误．
故选：．
根据题意，逐项分析判断即可．
本题主要是理解函数的定义，难点是选项C的证明，主要是确定与互质的数的个数；若为质数，在小于等于的正整数中每个数当中就有一个与不互质，则不互质的数目个数为个，所以互质的数的数目为个，即可证明数列为等比数列，并可计算数列前项和．
13.【答案】
【解析】解：直线的斜率为，且过点，
则直线的方程为，即，
令，解得．
故答案为：．
先求出直线的方程，再令，即可求解．
本题主要考查直线的截距式方程，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线方程为，即，
又圆的方程：，可化为，
圆心为，半径，
又双曲线的渐近线与圆相切，
圆心到渐近线的距离，，
解得，
故答案为：．
根据双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，方程思想，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，方程思想，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：在数列中，，，
则，
又，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，
即．
故答案为：．
由已知条件可得数列是以为首项，为公比的等比数列，然后求解．
本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了数列的递推式，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，
设底面三角形的外心为，则底面外接圆的半径，
设三棱锥的外接球的球心为，连接，则平面，且，
三棱锥的外接球的半径为；
三棱锥内切球的半径为，由等体积法可得：
，
得．
该三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为为．
故答案为：．
由题意画出图形，求出底面三角形外接圆的半径，再由勾股定理求三棱锥外接球的半径；利用等体积法求三棱锥内切球的半径，作比得答案．
本题考查多面体外接球与内切球半径的求法，训练了利用等体积法求多面体内切球的半径，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由已知，圆心为，半径，圆心到直线的距离，
由平面几何垂径定理知，即．
得，
当时，直线被圆截得的弦长为．
由于交点处两条半径互相垂直，
弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
，即，
解得，
故当时，．
【解析】求得圆心到直线的距离，由平面几何垂径定理知，即可得出结论；
由于交点处两条半径互相垂直，弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，即可得出结论．
本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：已知数列满足，，
则，
又，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
即；
令，
即，
则，
即数列落入区间的所有项的和为．
【解析】由题意可得数列是以为首项，为公比的等比数列，然后求解即可；
令，即，则，然后求解．
本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了等比数列的求和公式，属中档题．
19.【答案】解：底面是平行四边形，则，
，，
平面，平面，，
又，平面，
平面，平面平面
以、、的方向分别为，，轴的正方向，建系如图，设，，
则，，，，
则平面的一个法向量为，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
，
，，所以．
【解析】根据勾股定理证明线线垂直，结合线面垂直得线线垂直，即可由线面垂直的判断定理证明线面垂直，进而可证面面垂直．
建系，利用向量法，向量的夹角公式，即可求解．
本题考查面面垂直的证明，向量法求解二面角问题，方程思想，属中档题．
20.【答案】解：由题意设抛物线方程为，其准线方程为，
到焦点的距离等于到其准线的距离，，，
此抛物线的方程为．
由，消去得，
直线与抛物线相交于不同两点、，则有，
解得：且，
由，解得或舍去．
所求的值为．
【解析】设抛物线方程，根据抛物线的焦半径公式，即可求得的值，求得抛物线方程；
将直线方程代入抛物线方程，利用中点坐标公式，即可求得的值．
本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：数列的前项和，且，，
当时，；
当时，，，
得：，整理得；
所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以，首项符合通项，
故．
由得：；
所以，
整理得．
由得：；
所以，，
，，
得：，
整理得：．
不等式对一切恒成立，
故当时，，整理得，
当时，．
故．
【解析】本题考查数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，考查运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．
利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和，进一步利用分类讨论思想的应用求出参数的取值范围．
22.【答案】解：Ⅰ设椭圆上任意一点，则，，
而函数的对称轴为，则其最大值为，
，即点到椭圆上点的距离的最大值为；
Ⅱ设直线：，
联立直线与椭圆方程有，消去并整理可得，，
由韦达定理可得，，
，
设，，直线：，直线：，
联立以及，
可得，
由弦长公式可得，当且仅当时等号成立，
的最小值为．
【解析】Ⅰ设椭圆上任意一点，利用两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得解；
Ⅱ设直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而表示出，再分别联立直线，直线与直线，得到，两点的坐标，由此可表示出，再转化求解即可．
本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于难题．
第1页，共1页