2023-2024学年河北省承德多校联考高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省承德多校联考高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，表示同一函数的是( )
A. ， B. ，
C. ， D.
4.若是抛物线位于第一象限的点，是抛物线的焦点，，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的公差和首项都不为，且，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为，则密码被破译的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知为双曲线：的一个焦点，上的，两点关于原点对称，且，，则的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，则( )
A. B.
C. D.
10.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是( )
A.
B. 当时，
C. 当时，不是数列中的项
D. 若是数列中的项，则的值可能为
11.在正方体中，点满足，则( )
A. 若，则与所成角为 B. 若，则
C. 平面 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的值域为______．
13.已知数列满足，则 ______， ______．
14.二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某学校高一名学生参加数学考试，成绩均在分到分之间．学生成绩的频率分布直方图如图：
估计这名学生分数的中位数与平均数；精确到
某老师抽取了名学生的分数：，，，，，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差．
参考公式：
参考数据：，，
16.本小题分
已知点，点在圆：上运动．
求过点且与圆相切的直线方程；
已知，，求的最值．
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点是的中点．
求证：；
求二面角的大小．
18.本小题分
已知数列，满足，，．
证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
记数列的前项和为，求，并证明：．
19.本小题分
已知，，是椭圆上的三点，其中、两点关于原点对称，直线和的斜率满足．
求椭圆的标准方程；
点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点作斜率不为的直线，与椭圆的两个交点分别为、，若为定值，则称点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，集合或，
，或，，
故选：．
先求出集合，，再利用集合的基本运算求解即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
的虚部为，
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的概念得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：选项，，与不是同一个函数；
选项，的定义域为，的定义域为，
所以与不是同一个函数；
项，，定义域都为，是同一函数，正确；
选项，，，
所以与不是同一个函数．故选C．
判断函数三要素是否相同逐项检验即可．
本题考查同一函数的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据定义，，则点与准线的距离也是，
设，则与准线的距离为：，
，，
，
点的坐标，又，
直线的斜率为：．
故选：．
设，根据定义点与焦点的距离等于到准线的距离得出，即可求出，然后代入抛物线方程求出，进而即可求出斜率．
本题考查了抛物线的定义和性质，解题的关键是根据定义得出点与焦点的距离等于到准线的距离，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设等差数列的首项为，公差为，
由，，成等比数列，得，
所以，又，故，
所以．
故选：．
设等差数列的首项为，公差为，根据题意可得，即，从而利用进行求解即可．
本题考查等差数列与等比数列的综合问题，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：连接，，如图所示，
．
故选：．
连接，，利用空间向量运算的几何表示求解．
本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：甲、乙两人独立地破译一份密码，
设事件表示甲能破译密码，事件表示乙能破译密码，
则，，
密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码，
密码被破译的概率为：
．
故选B．
密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码，由此利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出密码被破译的概率．
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：设双曲线的另一焦点为，
根据双曲线的对称性以及，关于原点对称，可得，且，
即，
又，
可得，，
所以，
可得，可得，
故离心率．
故选：．
根据双曲线的对称性以及，关于原点对称，可得，且，求出，，再结合余弦定理即可求解结论．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化思想和计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
，
可得，故B正确，
又，，
，
，故A正确，
，故C错误，D正确．
故选：．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得，即可判断，结合范围，可得，即可得解，即可判断，进而利用平方差公式即可判断．
本题考查三角函数的化简求值，考察平方关系与同角三角函数间的关系式的应用，考查了方程思想的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由题意得，故A正确；
对于，新数列的首项为，公差为，故，B正确；
对于，由选项可知，令，所以，所以是数列的第项，C错误；
对于，插入个数，则，，，，，
则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以为首项，为公差的等差数列，则，
而是数列的项，
令，当时，，D正确．
故选：．
求出等差数列的通项公式可判断，求出新数列的首项和公差可判断，分析数列与的下标关系可判断．
本题主要考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对选项A：时与重合，与所成角为与所成角，为等边三角形，则与所成角为，错误；
对选项B：如图建立空间直角坐标系，
令，，，，，，，正确；
对选项C：，平面，平面，
故D平面，
同理可得平面，，
故面面，平面，平面，正确；
对选项D：，，则，正确．
故选：．
与所成角为与所成角，为，A错误，建系得到，B正确，故面面，C正确，，D正确，得到答案．
本题主要考查空间向量在立体几何中的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为函数函数
则当时，，则，
当时，，则，
则函数的值域为，
故答案为：．
根据幂函数和指数函数的性质，可解分段函数的值域．
本题考查幂函数和指数函数的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，，故；
，得，
数列是以为首项，为公差的等差数列，即有，
则．
故答案为：．
由，，代入求解可得；对已知数列的递推式两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：因为二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面内，，，
所以，，，
又，
所以
，
即的长为，
故答案为：．
由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得，由此能求出的长．
本题主要考查空间距离的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
15.【答案】解：因为，，
所以中位数为满足，
由，解得，
设平均分为，
则，
由题意，剩余个分数的平均值为，
因为个分数的标准差，
所以，
所以剩余个分数的标准差为．
【解析】本题考查了中位数，平均数以及标准差的求解，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
根据频率分布直方图求解平均数以及中位数的公式即可求解；
根据平均数以及标准差的求解公式即可求解．
16.【答案】解：当过点的直线斜率存在时，设切线的方程为，即，
则圆心到切线的距离为，解得，
所以切线方程为，即，
当过点的直线斜率不存在时，切线方程为，此时直线与圆相切．
综上，切线方程为或．
设点坐标为，则，
所以
．
因为，所以，
即的最大值为，最小值为．
【解析】分斜率是否存在两种情况可求过点且与圆相切的直线方程；
设点坐标为，，可求的最值．
本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线距离公式，以及两点间距离公式，属中档题．
17.【答案】解：证明：在正方形中，，
由正方体的性质知，平面，
因为平面，所以，
又，B、平面，
所以平面，
因为平面，所以
设与相交于点，过点作于点，连接，
则为二面角的大小，
因为正方体的棱长为，
所以由勾股定理得，，，，
所以，即，
所以，
在中，，所以，
而二面角与二面角互补，
所以二面角的大小为．
【解析】由，，结合线面垂直的判定定理与性质定理，得证；
设与相交于点，过点作于点，连接，则为二面角的大小，结合勾股定理与三角函数，求得，再利用二面角与二面角互补，能求出二面角的大小．
本题考查立体几何的综合应用，考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】证明：因为，，
则，等式两边同时乘以可得
即，所以数列是等差数列，
且，，等差数列公差为，
所以，
故；
数列的前项和为，且，
则，
所以，
两式相减可得
，
所以，
又，即为单调递增数列，
所以，即．
【解析】由已知等式变形可得出，利用等差中项法可证得结论成立，确定数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式；
利用错位相减法可求得，分析数列的单调性，即可证得结论成立．
本题考查了等比数列的证明和错位相减求和，属于中档题．
19.【答案】解：设，易知，
由，得，
化简得，故椭圆的标准方程为．
点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点，
故可设直线的方程为，，，
由，得，
恒成立．
又，
，
，
要使其值为定值，则，
故当，即时，．
综上，存在这样的稳定点．
【解析】设，由化简可得椭圆的标准方程；
设直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理可得，，又，从而可求的表达式，即可求解．
本题考查了求解椭圆的标准方程，考查了联立直线与椭圆方程解决问题的能力，考查了韦达定理的应用，考查了方程思想，属于难题．
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