2023-2024学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线：，，若，则它们的倾斜角为( )
A. B. C. D. 或
5.在三棱锥中，，，分别为，，的中点，若，则( )
A. B. C. D.
6.抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上一点反射后，反射光线必过抛物线的焦点已知抛物线：，一束平行于轴的光线，从点射入，经过上一点反射后，再经上另一点反射后，沿直线出，则线段的长为( )
A. B. C. D.
7.已知直线：与圆：交于，两点，且圆在，两点处的切线交于点，若为正三角形，则( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.若平面内的动点满足，则( )
A. 时，点的轨迹为圆 B. 时，点的轨迹为圆
C. 时，点的轨迹为椭圆 D. 时，点的轨迹为双曲线
11.如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点，则( )
A. 平面
B. 平面
C. 平面平面
D. 直线与所成角的余弦值为
12.已知双曲线的右焦点为，右顶点为，离心率为，直线轴，且与的左、右两支分别交于，两点，为坐标原点，则下列命题正确的是( )
A. 若，则的虚轴长为 B. 若，则
C. 若存在使，则 D. 若存在使，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在空间直角坐标系中，若点关于平面对称的点为，则点的坐标为______．
14.写出经过坐标原点，且被圆：截得的弦长为的直线的一个方程______．
15.已知椭圆的上顶点为，过点的直线与交于另一点，则的最大值为______．
16.若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等比数列中，，，，成等差数列．
求的通项公式；
令，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在长方体中，，，为的中点．
证明：；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆．
求的面积；
证明圆：与圆相交，并求圆与圆的公共弦所在直线的方程．
20.本小题分
已知数列与等差数列满足，，数列的前项和．
求的通项公式；
求的前项和．
21.本小题分
图是由，直角梯形和等腰梯形组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形和等腰梯形分别沿，折起使得，重合，连接，如图．
求图中的点到平面的距离；
证明图中的，，，四点共面，并求平面与平面夹角的余弦值．
22.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，其中在抛物线的准线上，过的动直线交于，两点，交于，两点，且当轴时，．
求的方程；
若于点，判断坐标原点是否在直线上，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：令，解得，显然截距是．
故选：．
直接利用定义求解截距即可．
本题主要考查截距的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意，，
故．
则．
故选：．
根据导数的定义求解即可．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，得，
所以，故是公比为的等比数列，
所以，所以．
故选：．
由题意可得是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可，
本题考查数列的递推公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：因为，所以且，所以．
两直线的斜率为，所以倾斜角为．
故选：．
先利用平行求出，再利用斜率和倾斜角的关系可得答案．
本题主要考查直线共线的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：连结和，并交于点，
点是和的中点，
，以及，
，即，
，，，则．
故选：．
根据几何关系，找到向量的等式，即可求解，，，即可求解．
本题考查空间向量的基本定理，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点，
因为，所以令中，则，
即，所以直线的方程为：，
即，
将直线的方程代入中，
得，所以，
所以．
故选：．
根据条件设出直线的方程为，联立直线和抛物线方程并消元，得到，由抛物线的焦半径公式可求得线段的长．
本题考查抛物线的性质，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为为正三角形，且，均与圆相切，故，
，由四边形内角和为可得．
又圆：，圆心为，半径为．
故C到直线的距离为．
故，解得或舍．
故选：．
根据题意可得，再根据三角形中的关系，结合垂径定理求解即可．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为，
当时，；当时，，
所以
．
故选：．
由可知，当时，，当时，，代入化简即可得出答案．
本题考查知识点：数列的通项公式和数列的求和，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：由于是常数，常数的导数是，即，错误；
对于：，正确；
对于：，正确；
对于：，正确．
故选：．
根据导数的四则运算，复合函数的求导法则逐一进行判断．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，当时，由，得到，
其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，故A正确；
对于，当时，由，得到，
整理得到，即，故B正确；
对于，当时，由，
得到，其表示动点到定点和的距离之和为，
又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故C错误；
对于，当时，由，
得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为，
又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线，故D正确．
故选：．
根据条件，结合选项，利用圆、椭圆、双曲线的定义，逐一分析判断，即可得出结果．
本题主要考查了求动点轨迹方程，考查了圆、椭圆和双曲线的定义，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：在直三棱柱中，，，，分别为，的中点，
三棱柱为直棱柱，，
以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，，，，，
，
设平面的法向量为，
，
则，即，令，得，
设平面的法向量为，
，
则，即，令，得，
对于，，，
又平面，平面，故A正确；
对于，，平面的法向量为，
，不垂直平面，故B错误；
对于，，平面平面，故C正确；
对于，，
则，
直线与所成角的余弦值为，故D错误．
故选：．
三棱柱为直棱柱，，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间位置关系的向量法可判断，，；由异面直线的向量方法可判断．
本题考查直三棱柱结构特征、线面平行、线面垂直、面面垂直的判定、异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
对于，若，
则，
则，，
所以的虚轴长为，
故A错误；
对于，由可知，双曲线，
记双曲线的左焦点为，连接，
则易知四边形为等腰梯形，
所以，，
故B正确；
对于，因为为双曲线的右顶点，
则，
设，
因为直线轴，
所以，
因为，
所以，
则，
即，
因为在上，
所以，
所以，
即，
所以，
则，
所以，
故C正确；
对于，记与轴的交点为，
因为直线轴，
所以，
若存在使，
则是等腰直角三角形，
所以，
所以，
易知双曲线的渐近线的斜率大于，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故D正确．
故选：．
由可求出，，可判断；记双曲线的左焦点为，连接，则易知四边形为等腰梯形，再由双曲线的定义可判断；由可得，代入双曲线的方程可得进而判断；由可得双曲线的渐近线的斜率大于，所以，可判断．
本题考查了双曲线的性质及定义，重点考查了双曲线的渐近线方程的求法，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，
又，所以，解得，所以点的坐标为．
故答案为：．
根据题意，由于关于平面对称点的两个点的纵坐标互为相反数，由此列式求解即可．
本题考查空间点的坐标，注意空间点对称的方法，属于基础题．
14.【答案】或写出一个即可
【解析】解：由题意，圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时，方程为满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，
即，解得，此时直线的方程为．
故答案为：或写出一个即可．
讨论直线的斜率是否存在，再设直线方程根据垂径定理求解即可．
本题考查了直线与圆的相交弦问题，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：设，则，，又，
所以，
当且仅当时，取得最大值．
所以的最大值为．
故答案为：．
设出点，根据两点间距离公式列式运算得解．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：设直线切曲线于点，切曲线于点，
由得，则直线的方程为，
即，
由可得，则直线的方程为，
即，
所以，
消去可得，
即，可得，
因此直线的斜率为．
故答案为：．
设直线切曲线于点，切曲线于点，利用导数的几何意义写出直线的两个方程，可得出关于、的方程组，消去，求出的值，即为所求．
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
17.【答案】解：设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
又，所以，解得或舍，
所以的通项公式为；
由得，
所以为等差数列，所以，
所以的前项和．
【解析】根据基本量法求解即可；
由得，再根据等差数列的求和公式求解即可．
本题考查了等比数列和等差数列的综合应用，属于基础题．
18.【答案】证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系，
设，则，，，，
可得，，
因为，所以，即．
解：当时，，由知，，．
设平面的法向量为，则，得，
令，则，，所以为平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，则，
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】根据题意，以为原点建立空间直角坐标系，设，利用坐标法证出，可得；
先求出平面的法向量，再根据直线的方向向量与平面法向量的夹角，算出与平面所成角的正弦值．
本题主要考查长方体的结构特征、利用空间坐标系研究线线垂直、直线与平面所成角等知识，属于中档题．
19.【答案】解：设的坐标为，
由轴平分的一个内角，可得，
，解得，，
，
直线的方程为，即，
点到直线的距离，
的面积为；
设圆的方程为，
则，解得，，．
圆的方程为，化为标准方程为，
圆心，半径为，
圆：化为标准方程为，
圆心，半径，
圆心距，，
圆：与圆相交，
两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程为，即．
【解析】求得的坐标，进而求得直线的方程，求得点到直线的距离与，可求的面积；
利用待定系数法可求圆的方程，求得两圆的圆心距，进而可证明两圆相交，利用两圆方程相减可求公共弦所在直线的方程．
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程的求法，考查运算求解能力，属中档题．
20.【答案】解：由题意知，时，，
因为符合上式，所以，
又，，所以，解得．
因为是等差数列，所以公差，，
所以的通项公式．
由知，，所以．
所以
，
，
得
，
所以，
所以的前项和．
【解析】时，由求出，再由等差数列的性质求出的通项公式；
由求出，再由错位相减法求解即可．
本题考查知识点：数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和应用能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意可知，图中，，
又，平面，平面，所以平面，
在平面内，过作于点，则，
又，平面，平面，所以平面，
以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点且与平行的直线为轴，
建立如图空间直角坐标系，
由题意可得，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，得，
令，则，，所以为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为，即点到平面的距离为；
证明：因为，所以图中的，，，四点共面，
由知，，，
所以，
设平面的法向量为，则，得，
令，则，，
所以为平面的一个法向量，又是平面的一个法向量，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】根据线面垂直的判定证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解即可；
利用共面向量基本定理证明四点共面，求出平面的法向量，利用平面夹角的向量公式求解即可．
本题考查了点到平面的距离计算和二面角的求解，属于难题．
22.【答案】解：因为的准线的方程为，设在上，
所以，，
又轴时，，所以点在上，
所以，解得，
所以的方程为：；
坐标原点在直线上，
由题意直线的斜率不为，设直线：，设，，
联立，消去，得，，
则，
因为于点，所以，
所以，，
因为，
所以，，三点共线，即坐标原点在直线上．
【解析】利用弦长可得点的坐标，代入方程可得答案；
设出直线方程，利用韦达定理及斜率相等可得结论．
本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
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