2023-2024学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省宝鸡市渭滨区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角( )
A. B. C. D.
2.若平面，的一个法向量分别为，，( )
A. B. 与相交但不垂直
C. 或与重合 D.
3.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，已知，那么等于( )
A. B. C. D.
5.年月日，嫦娥五号发射成功，九天揽月，见证中华民族复兴月日时分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行环月轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为，远月点与月球表面距离为已知月球的直径约为，则该椭圆形轨道的离心率约为( )
A. B. C. D.
6.如图，在直三棱柱中，，，，取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数的导函数为，且，为偶函数，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列，，，，则下列说法正确的是( )
A. 此数列的通项公式是 B. 是它的第项
C. 此数列的通项公式是 D. 是它的第项
10.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知直线：和直线：，下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 直线过定点
D. 当，平行时，两直线的距离为
12.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为，且于点则( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为______．
14.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为______．
15.已知两个圆，，若两圆相切，则半径为______．
16.已知中，，，，以、为焦点的双曲线经过点，与边交于点，则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数，求在闭区间上的最大值与最小值．
18.本小题分
已知圆的圆心在轴上，且经过点，．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ过点斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．
19.本小题分
已知数列的前项和为．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
20.本小题分
已知点在抛物线：上，为焦点，且．
求抛物线的方程；
过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，求的值．
21.本小题分
如图，已知是直角梯形，且，平面平面，，，，是的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值．
22.本小题分
记椭圆：的左右焦点分别为，，过的动直线与椭圆交于，两点，已知的周长为且点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
请问：轴上是否存在定点使得恒成立，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得直线的斜率为，
直线倾斜角为，，则，故．
故选：．
确定直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求得答案．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
，
或与重合．
故选：．
根据法向量的坐标可得出，从而得出或与重合．
本题考查了平面的法向量的概念，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于简单题．
3.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线方程为：．
故选：．
直接利用双曲线的简单性质下次渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
则．
故选：
根据等比数列的通项公式化简后，得到关于第项的方程，求出方程的解即可得到第项的值，然后根据等比数列的性质得到等于第项的平方，把第项的值代入即可求出所求式子的值．
此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道综合题．
5.【答案】
【解析】解：长轴长，
，
焦距，
，
离心率．
故选：．
根据椭圆中、的含义，与椭圆形轨道的相应数据一一对应，即可得解．
本题考查椭圆的几何性质，熟练掌握椭圆中、的含义是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在直三棱柱中，，，，
取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：，，，，
，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
根据异面直线所成角的向量求法直接求解即可．
本题考查异面直线所成角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题知，准线：，设与轴的交点为，点在上，
由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，
解法：因为，轴，所以直线斜率，
所以，由解得舍去，所以．
解法：在中，，，则，，
解法：过作于点，则为的中点，
因为，则，则，
故选：．
画出图像，利用抛物线的定义求解即可．
本题考查抛物线的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令，当时，，
因为，所以，
所以在上单调递减，
又为偶函数，所以的图象关于直线对称，
所以，，，
所以．
故选：．
根据结论特点，结合已知条件，构造函数，然后研究该函数在上的单调性解决问题．
本题考查导数在函数的单调性问题中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
观察数列的每项，找到规律得到通项公式，根据通项公式即可求出．
【解答】
解：由，，，，
可得此数列的通项公式是，故A正确；
当，解得，故B正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，，故C正确；
对于，，故D正确．
故选：．
利用导数的计算公式逐个判断各个选项．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，当时，那么直线为，
直线为，此时两直线的斜率分别为和，
所以有，所以，故A选项正确；
对于，当时，那么直线为，直线为，此时两直线重合，故B选项错误；
对于，由直线：，整理可得：，故直线过定点，故C选项正确；
对于，当，平行时，，且，，解得：，
可得直线为：，为：，
此时两直线的距离，故D选项正确．
故选：．
对于，通过是否成立来判断；对于，将代入即可判断；对于，将直线变形为，进而可得定点；对于，利用直线平行的公式求出直线方程，然后利用两平行线的距离公式求解．
本题考查两条直线的位置关系的判断方法，平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，可得，，，
则，，
设，，
因为，则，即解得，所以，故A正确；
所以，故D正确．
故选：．
根据空间向量的坐标运算可得，从而可求解．
本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，得，，
故切线的斜率，
所以切线方程为，即．
故答案为：．
先求出，求出导函数，得到，进而求出切线方程．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，前项和为，
由，，可得，，
解得，
则，
，
则数列的前项和为
．
故答案为：．
由等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，再由数列的裂项相消求和，可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式、求和公式和数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】或
【解析】解：由题意知：两圆圆心分别为：，，半径分别为：，，
当两圆外切时：，解得：；
当两圆内切时：，解得：，负值舍去；
综上：或．
故答案为：或．
根据题意，分析两圆的圆心和半径，根据两圆相内切、相外切的条件，可得关于的方程，解可得答案．
本题考查圆的方程，涉及圆与圆的位置关系，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：如图，双曲线的焦点为，，
由双曲线的定义可得，
设，由双曲线的定义可得，
又，
在直角三角形中，，
即为，
解得，．
则的值为．
故答案为：．
运用双曲线定义，可得，设，运用双曲线的定义，求得，，再由直角三角形的勾股定理，解方程可得，进而得到，即可得到答案．
本题考查双曲线的定义的运用，考查直角三角形的勾股定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，所以．
令，解得：或．
于是列表如下：
所以在闭区间上的最大值是，最小值是．
【解析】首先求出导数，然后令，，，列表即可判断函数的单调性，进而得出其最值．
本题考查利用导数研究函数的最值，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
18.【答案】解：Ⅰ设的中点为，则，
由圆的性质得，
所以，得，
所以线段的垂直平分线方程是，
设圆的标准方程为，其中，半径为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，所以圆的标准方程为；
Ⅱ因为直线过点斜率为，
则直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
所以．
【解析】Ⅰ利用圆的几何性质，圆心在的中垂线上，即可求出圆心，再利用圆心到圆上点的距离即为半径，从而得到圆的标准方程；
Ⅱ先利用点斜式写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理分析求解即可．
本题考查了圆的方程的求解、弦长的求解，涉及了圆的几何性质的应用、直线与圆位置关系的应用，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的处理方法．
19.【答案】解：当时，有，
而适合上式，
所以．
，
数列的前项和
．
【解析】根据当时，有，然后验证首项是否满足通项，从而可求出数列的通项公式；
根据数列的通项公式可知将数列分成等比数列求和与等差数列求和，从而可求出所求．
本题考查数列通项公式的求法，解题时要注意递推公式的灵活运用，同时考查分组求和法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：抛物线：，
焦点．
由抛物线定义得：，
解得，
抛物线的方程为．
当的斜率不存在时，
此时直线方程为：，
，，
则．
当的斜率存在时，设
，，
由，可得
，
设，，
则，
，
，
此时，，
综合可知，．
【解析】本题综合考查了抛物线的标准方程的求解、抛物线的简单几何性质、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题．
首先，确定参数，然后，求解其方程；
首先，对直线的斜率分为不存在和存在进行讨论，然后，确定的取值情况．
21.【答案】证明：取的中点，连接，．
又是的中点，．
，，
，
四边形是平行四边形，
．
而平面，平面，
平面．
，平面平面，平面．
以点为坐标原点，直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则轴在平面内．则，，，．
，．
设平面的法向量，由，得，
取，则，．
可取作为平面的一个法向量，
．
即平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为．
【解析】取的中点，连接，利用三角形的中位线定理可得再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形是平行四边形，可得利用线面平行的判定定理即可得出；
通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角．
熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系并利用两个平面的法向量的夹角得出二面角等是解题的关键．
22.【答案】解：由的周长为，得，即．
由点在椭圆上，，即．
椭圆的标准方程为；
由椭圆的方程，可得，则 ，
当直线的斜率不存在时，轴上任何一点都满足；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，得．
设，，
则，．
设轴上存在定点，使得恒成立，
则，
即，即．
．
，
整理得：，则．
轴上存在定点，使得恒成立．
【解析】由三角形周长求得，把点的坐标代入椭圆方程求得值，则椭圆方程可求；
由椭圆的方程，可得 ，当直线的斜率不存在时，轴上任何一点都满足；当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合求得值．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
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