2023-2024学年河北省衡水市故城县郑口中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省衡水市故城县郑口中学高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2.下列命题中是存在量词命题并且是假命题的是( )
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 存在一条直线与已知直线不平行
C. 对任意实数，，若，则
D. 存在两个全等的三角形的面积不相等
3.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知正实数，满足，则的最小值为．( )
A. B. C. D.
6.定义运算“”如下：当时，；当时，设函数，，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
7.函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若，求：( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式的值为正的是( )
A. B. C. D.
10.给出的下列命题中正确的是( )
A. 函数是奇函数
B. 若，是第一象限角，且，则
C. 在区间上的最小值是，最大值是
D. 是函数的一条对称轴
11.若函数，则( )
A. 函数为偶函数
B. 在区间上单调递减
C. 当时，若规定，，则
D. 当，函数的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则的值为______．
13.已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
14.若函数与对于任意，，都有，则称函数与是区间上的“阶依附函数”，已知函数与是区间上的“阶依附函数”，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，且．
若：“，”是真命题，求实数的取值范围；
若：“，”是真命题，求实数的取值范围．
16.本小题分
函数是定义在上的偶函数，且当时，
用定义证明在上是减函数；
解关于的不等式．
17.本小题分
人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系声音的强度用瓦平方米表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平表示，它们满足公式单位为分贝，，其中，这是人们平均能听到的声音的最小强度，是听觉的开端．
手表指针转动的声音强度是，耳语的强度是，静音电风扇的强度是，试分别求出它们的强度水平；
某品牌轿车在安全行车速度内能保证车内噪音的强度水平保持在分贝以下，试求其声音强度的范围．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及的单调递增区间；
将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域．
19.本小题分
已知函数．
若，求的值域；
求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，，
，
则．
故选：．
根据补集与交集的定义，求出与即可．
本题考查了求集合的补集与交集的运算问题，是基础题目．
2.【答案】
【解析】解：、项是全称量词命题，
项是存在量词命题，是真命题，
因为全等的三角形的面积一定相等，
所以存在两个全等的三角形的面积不相等是存在量词命题，且为假命题．
故选：．
利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：不等式可变形为且，解得，且，
不等式的解集为或．
故选：．
去掉绝对值不等式即可得解．
本题考查绝对值不等式的计算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，可得．
故选：．
由已知结合配凑法即可求解函数解析式．
本题主要考查了函数解析式的求解，属于基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
由于正实数，满足，则，展开后结合基本不等式可求．
【解答】
解：正实数，满足，
则，
当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，时，，
当时，，
故函数的值域为．
故选：．
根据题意定义的新计算，求出的表达式，即可求出值域．
本题以新定义为载体，主要考查了一次函数及二次函数值域的求解，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对任意，都有成立，
与异号，
根据函数单调性的定义，可知在上是单调递减函数，
当时，为减函数，则，即，
且当时，有最大值；
当时，为二次函数，图象开口向上，对称轴为，
若在上为减函数，则对称轴在区间右侧，即，
且；
又由题意，函数在定义域上单调递减，
则，
即，解得；
综合可得的取值范围：，
故选：．
根据题中条件，可以先判断出函数在上单调递减，再结合分段函数的解析式，要每一段都是减函数，且分界点时左段函数的函数值要大于等于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可得到的取值范围．
本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．注意解题方法的积累，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
则．
故选：．
利用诱导公式和同角三角函数关系即可得，注意．
本题考查诱导公式和同角三角函数关系，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于：，故A错误；
对于：，故B正确；
对于：，故C正确；
对于：，故D错误．
故选：．
直接利用三角函数的诱导公式和三角函数的值的符号的的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，三角函数的值的符号的确定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项，设，则，
由，且可知，函数是奇函数，故A正确；
选项，，均为第一象限角，但，故B错误；
选项，，则，因为在上递增，在上单调递减，
所以，，故C错误；
选项，由可知，是函数的一条对称轴，故D正确．
故选：．
选项，由奇函数定义可判断选项正误；选项，由，即可判断选项正误；选项，，则，后由单调性可判断选项正误；选项，将代入，验证其是否等于，即可判断选项正误．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A：函数的定义域为，关于原点对称，
又，
函数是奇函数，故选项A错误，
对于选项B：当时，，，则在上单调递减，
当时，，，则在上单调递减，
又在处连续，在上单调递减，故选项B正确，
对于选项C：当时，，，
，，故选项C正确，
对于选项D：当时，，，则在上单调递减，
函数的最小值为，故选项D正确，
故选：．
利用偶函数的定义判断，对分和两种情况，分别求导得到函数的单调性，进而判断，当时，，依次计算出，，即可判断，当时，，求导可知在上单调递减，进而求出函数的最小值，即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，则，所以，
则，
所以．
故答案为：．
由，可得，代入即可求解．
本题考查了指数、对数的运算，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：函数有两个零点等价于有两个解，
令，，
上述问题可进一步转化为与图像有个交点，
易知函数在或上递增，
当时，；
当时，，但不取点．
易作出与图像如下：
由图像易知，，即实数的取值范围是．
故答案为：．
把零点个数问题转化为函数与图像有个交点，由的性质作出图像即可．
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：，在上单调递减，
当时，；
令，则当时，，
，当时，，
即当时，；
由“阶依附函数”定义可知：对于任意，恒成立，
，恒成立，即，
，即，的取值范围为．
故答案为：．
采用分离常数法、二次函数性质可求得和在上的值域，结合“阶依附函数”定义可得恒成立，可得，由此可构造不等式求得结果．
本题主要考查函数与方程的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：由已知可得，则，解得，
即实数的范围为；
由已知可得，
当时，或，
解得，
则当时，实数的范围为
【解析】由已知可得，然后根据子集的定义建立不等式关系，由此即可求解；由已知可得，先求出的的范围，然后根据补集的定义即可求解．
利用题中的条件可知，集合与集合有交集，即可解出．
本题考查了集合的包含关系，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】解：当时，，
在上任取，，且，
，
，
，，
，
在上是减函数．
是定义在上的偶函数，且当时，
在上是减函数，
当时，．
．
当时，，解得．
当时，，解得．
综上，不等式的解集为或．
【解析】当时，，在上任取，，且，利用定义法能证明在上是减函数．
当时，，当时，，由此能求出不等式的解集．
本题考查减函数的证明，考查函数不等式的解法，考查函数性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
17.【答案】解：手表指针转动的声音强度是，它的声音强度水平为分贝，
耳语的强度是，它的声音强度水平为分贝，
静音电风扇的强度是，它的声音强度水平为分贝；
依题意，，即，
整理得，
解得，
所以该品牌轿车的声音强度的范围是
【解析】利用声音强度水平公式，计算即可；
由给定条件列出不等式，求解不等式即可作答．
本题考查了函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：
，
故函数的最小正周期为；
令，；
解得，，
故函数的单调递增区间为，．
将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到函数：
，
由于，
故，
所以，；
故函数的值域为．
【解析】首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单调递增区间；
利用函数的图象的平移变换求出函数的的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：当时，由题意可得：，解得，
令，则，，
即，
当时，原函数可化为，
故函数的值域为．
由题意可得：，解得，
由可知函数可转化为函数，
当时，，函数开口向上，所以在上单调递增，设最大值为，因此；
当时，在上单调递增，此时；
当时，，函数开口向下，若，即时，函数在上单调递减，因此；
若，即时，在上单调递增，在上单调递减，因此；
若，即时，在上单调递增，因此；
综上所述．
【解析】先求定义域，再令，则，结合定义域可求的值域；
先由题意求出函数定义域，结合将原函数化为，分别讨论，，三种情况，根据二次函数的单调性，即可求出结果．
本题主要考查求函数的最值问题，熟记二次函数的性质，灵活运用转化与化归的思想，以及分类讨论的思想，即可求解，属于中档题型．
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