2023-2024学年吉林省长春重点学校高一（下）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春重点学校高一（下）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的什么条件( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.某公司每个月的利润单位：万元关于月份的关系式为，则该公司个月中利润大于万的月份共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.若，则函数的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数则( )
A. B. C. D.
6.已知函数是上的减函数，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.定义两种运算：，，则是( )
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数
8.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.下列结论正确的是( )
A. 是第三象限角
B. 若角的终边过点，则
C. 若角为锐角，那么是第一或第二象限角
D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
11.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为则下列各数中与最不可能的三个值是( )
参考数据：
A. B. C. D.
12.已知定义在上的函数，( )
A. 若恰有两个零点，则的取值范围是
B. 若恰有两个零点，则的取值范围是
C. 若的最大值为，则的取值个数最多为
D. 若的最大值为，则的取值个数最多为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题，的否定是______．
14.函数的定义域是______．
15.若，则______．
16.若是三角形的一个内角，且函数对任意实数均取正值，那么所在区间是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算下列各式：
；
．
18.本小题分
已知，且，求下列各式的值．
；
．
19.本小题分
已知函数是上的奇函数，当时，．
求的解析式；
用定义证明：函数在为减函数．
20.本小题分
已知函数且在上的最大值与最小值之差为．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ若，当时，解不等式．
21.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间及最小正周期；
若，且，求．
22.本小题分
已知是偶函数．
求的值；
已知不等式对恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
．
则．
故选：．
求出集合，，由此能求出．
本题补集、并集的求法，考查补集、并集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：若，则由“”不能推出“”，故充分性不成立；
若，则由“”不能推出“”，故必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：．
根据充分条件与必要条件的定义判断即可得结论．
本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：
，
解得：或，
故，，，，，，
故选：．
结合题意得到关于的不等式，解出即可．
本题考查了解不等式问题，考查函数的应用，是一道基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
函数，当且仅当时取等号．
函数的最小值为．
故选：．
构造思想，函数变形为，利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了构造思想，基本不等式的性质的运用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为
则．
故选：．
由已知函数解析式可得，然后把代入函数解析式即可求解．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数是上的减函数，
，求得，
故选：．
利用分段函数以及函数的单调性，列出不等式组，求得的范围．
本题主要考查函数的单调性的性质，指数函数、一次函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查新定义的理解和运用，考查函数的奇偶性的判断，注意判断定义域是否关于原点对称，并化简函数式，考查运算能力，属于中档题和易错题．
由新定义，可得，再求定义域，并化简，再计算与比较，即可判断的奇偶性．
【解答】
解：由新定义，可得：
函数，
由且，
解得且，
则定义域关于原点对称，则有，
由于，
则为奇函数．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查复合函数单调性的应用，结合二次函数的单调性是解决本题的关键，属于基础题．
根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．
【解答】
解：设，
则要使在区间上单调递增，
则满足，即
得，
即实数的取值范围是
故选：．
9.【答案】
【解析】解：．在上单调递减，
B.是偶函数，
故选CD．
利用奇偶性可排除，利用单调性可排除，利用函数性质可解．
本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题的真假的判断，涉及三角函数的定义，扇形面积，象限角等基本知识的考查，属于基础题．
通过象限角，扇形面积，任意角的三角函数的定义，判断选项的正误即可．
【解答】
解：对于：是第四象限角，所以不正确；
对于：若角的终边过点，则，所以B正确；
对于：若角为锐角，所以，所以所以不正确；
对于：若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为：所以D正确；
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，
所以，
所以．
故选：．
由已知结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦函数的图象与性质、函数图象的交点个数问题，还涉及分类讨论的思想，属于中档题．
若恰有两个零点，则，解得的取值范围，进行分类讨论，借助正弦函数的性质及图象可得结果．
【解答】
解：令，
若恰有两个零点，则，
解得的取值范围是．
若的最大值为，分两种情况讨论：
当，即时，
根据正弦函数的单调性可知，，解得
当，即时，
根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，
则，
函数与在上的图象如下图所示：
可知存在唯一的，使得．
综上可知，若的最大值为，则的取值个数最多为．
故选：．
13.【答案】，
【解析】解：根据题意，命题，的否定为，．
故答案为：，．
根据题意，根据存在量词命题的否定形式写出即可．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：令，
解得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
利用正切函数的定义域以及整体代换思想即可求解．
本题考查了正切函数的定义域问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，所以，
，
故答案为：．
利用正余弦的诱导公式化简即可求解．
本题考查了诱导公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意知，对恒成立，
所以，即，解得，
又是三角形的一个内角，所以
故答案为：
根据二次函数的图象与性质可得，再结合余弦函数解之，即可．
本题考查不等式的恒成立问题，还涉及三角函数的知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，同角三角函数的平方关系，余弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：原式，
原式．
【解析】根据指数幂的运算性质计算即可，
根据对数的运算性质计算即可．
本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题
18.【答案】解：因为，且，
所以，则，
所以；
原式．
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：令，则，
因为函数是上的奇函数，所以，
因为函数是上的奇函数，所以所以，
证明：设，为区间上的任意两个值，且，
，
因为，所以，，，
所以，
所以，
所以函数在为减函数．
【解析】令则，将代入，可得函数在的解析式，又，综合可求得的解析式；
设，为区间上的任意两个值，且，计算为正值，即可证明函数在为减函数．
本题主要考查函数的解析式和单调性，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ当时，，，则，解得；
当时，，，则，解得，
综上得或；
Ⅱ当时，由Ⅰ知，
为奇函数且在上是增函数，
或，
所以不等式的解集为．
【解析】Ⅰ讨论，，运用指数函数的单调性，解方程可得的值；
Ⅱ当时，由Ⅰ知，为奇函数且在上是增函数，化简所求函数式，解二次不等式即可得到解集．
本题考查指数函数的单调性和运用，考查分类讨论思想方法和转化思想，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：
，
令，得，
所以函数的单调递增区间为，
函数的周期为．
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
故
．
【解析】先利用和差角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性及周期公式即可求解；
由可求，然后结合同角平方关系及和差角公式即可求解．
本题主要考查了和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：，，即，
对恒成立，
．
由题意得对恒成立，
函数在上单调递增，
对恒成立，即对恒成立，
，当且仅当，即时等号成立，
，
又，，即的取值范围是．
【解析】由题意可得：，，化简整理即可得出．
由题意得对恒成立，根据函数在上单调递增，可得对恒成立，即对恒成立，利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了对数函数的单调性、方程与不等式的解法、基本不等式的性质、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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