2023-2024学年数学九年级下册人教版26.1反比例函数过关练习（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册人教版26.1反比例函数过关练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．3 B． C． D．－3
2．如图，反比例函数的图象经过，则以下说法不正确的是（ ）
A．若图中矩形的面积为2，则 B．，y随x的增大而减小
C．图象也经过点 D．当时，
3．若函数图像经过点，则下列说法正确的是（ ）．
A．随的增大而减小 B．点在该函数图像上
C．图像分别在第一、三象限 D．当时，
4．若函数为反比例函数，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
5．反比例函数中常数k为（　　）
A． B．2 C． D．
6．下列各点中，在双曲线的图象上的是（　　）
A． B． C． D．
7．已知点 在反比例函数图象上，则点M一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知都在双曲线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若函数是反比例函数，则 ．
10．反比例函数中，，则 ．
11．若函数是反比例函数，则的值是 ．
12．如图，点在反比例函数图像上，轴，垂足为点．若，则该反比例函数的表达式是 ．
13．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为 ．
14．已知点在反比例函数的图象上，则该函数在每一象限内，y的值随x值的增大而 ．（选填“减小”或“增大”）
15．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．

16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为，则的值为 ．

三、解答题
17．己知与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当时，求y的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)将一次函数向下平移8个单位长度后，与轴交于点，连接，，求的面积；
(3)请结合图象，直接写出不等式的解集．
19．如图已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式 的解集．
20．如图双曲线 与矩形的边 、分别交于 E 、 F 点， OA 、 OC 在坐标轴上，且，求 k ．
21．如图，函数的图象过和两点．
(1)求n和k的值．
(2)将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交的图象于点C，若，求直线的解析式．
(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
22．若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”．例如：已知一元二次方程的两个根是和，则该方程是“倍根方程”．
(1)若一元二次方程是“倍根方程”，求的值；
(2)若是“倍根方程”，求代数式的值；
(3)若点在反比例函数的图像上，证明：关于的方程是“倍根方程”．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入中求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，则，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，反比例函数的系数k的几何意义．
根据反比例函数的系数k的几何意义判定A；根据反比例函数的图象性质可判定B、D；根据反比例函数图象上点的坐标特征可判定C．
【详解】解：A、∵图中矩形的面积为2，∴，故此选项正确，不符合题意；
B、由图象可得：当时，y随x的增大而减小，故此正确，不符合题意；
C、反比例函数的解析式为，把代入求得，图象也经过点，故此选项正确，不符合题意；
D、由图象可得：当时，，故此错误，符合题意；
故选：D．
3．C
【详解】，∴此函数的图像在第一、三象限，故选C．
【易错点分析】选项A中，一定要强调在同一象限内随的增大而减小才正确．
4．B
【分析】本题考查的是反比例函数的定义，形如的函数是反比例函数，反比例函数解析式形式还有：，．先根据反比例函数的定义列出关于m的不等式，再求出m的值即可．
【详解】解：∵为反比例函数，
∴，
解得：，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查房比例函数的定义，掌握“形如的函数是反比例函数”时解题的关键．
【详解】解：反比例函数中常数k为，
故选D．
6．A
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，掌握所有在反比例函数图像上的点的纵横坐标的积，应等于比例系数是解答本题的关键．
将选项中点的纵横坐标相乘，结果是比例系数的，就在双曲线的图象上．
【详解】解：反比例函数中，比例系数，
将选项中点的纵横坐标相乘：
A选项，符合题意；
B选项，不符合题意；
C选项，不符合题意；
D选项，不符合题意，
故选A．
7．A
【分析】可求，由象限符号特征进行判断即可求解．
【详解】解：当时，
，
，
在第一象限；
故选：A．
【点睛】本题考查了求反比例函数图象上的点的坐标及象限判断，掌握判断方法是解题的关键．
8．B
【分析】根据题意得：反比例函数图象位于第二、四象限内，再根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：根据题意得：反比例函数的图像位于第二、四象限内，
∴在每一象限内，y随x的增大而增大，且点位于第二象限内，点位于第二象限内，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．
9．
【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义求解即可．
【详解】∵函数为反比例函数，
∴且．
解得．
故答案是：．
10．3
【分析】本题考查反比例函数解析式，直接将代入求出y的值即可．
【详解】解：反比例函数中，
当时，，
故答案为：3．
11．
【分析】本题考查反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数就叫做反比例函数，解题的关键是根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴且，
解得：，
∴的值为．
故答案为：．
12．
【详解】设反比例函数，又∵此函数图像在第二象限，．
答案为．
【易错点分析】函数图像在第二象限时，是小于0的，忽视这个条件容易出现错误．
13．5
【分析】由点A在反比例函数图象上，可得出，将其代入代数式中即可得出结论．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，即，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出．解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可．
14．增大
【分析】先求出反比例函数的表达式，再根据增减性判断即可．
【详解】∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴在每一象限内，函数值y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点睛】本题考查求反比例函数解析式、反比例函数图象的增减性，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
15．4
【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，过A作于H，

∵点A在反比例函数第二象限内的图象上，
∵的面积为，
∵，
∴的面积为．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
16．
【分析】设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为，得的面积为，所以，即可求出的值
【详解】解：设，
是矩形，且点为的中点，
点纵坐标为，
代入反比例函数解析式得，
，
点横坐标为，
点横坐标为，代入反比例函数解析式，
得，
，
，
的面积为，
的面积为，
，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，根据中点坐标公式表示各点坐标是解决本题的关键．
17．(1)
(2)5
【分析】本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求函数的解析式，求代数式的值等
（1）设，，得到，把，代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）把代入解析式求出即可．
【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例，
设，，
，
，
把，代入得：，
解得：，
，
答：与的函数关系式是．
（2）解：当时，，
答：当时，的值是5．
18．(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为
(2)16
(3)或
【分析】（1）把点代入，求得，进而求得的坐标，然后根据待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据平移的规律求得平移后的直线解析式，进而求得的坐标，求得直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
把代入得，，
，
把A，B的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：把，代入得，，解得，
，
将一次函数向下平移8个单位长度后，得到，
令，则，解得，
，，
；
（3）解：由图象可知不等式的解集是或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
19．(1)；；
(2)6
(3)或
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，三角形面积的计算，利用图象法解不等式，
（1）先把代入求解反比例函数解析式，再求解A的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）先求解C的坐标，再利用，从而可得答案.
（3）由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，结合函数图象可得答案；
掌握“数形结合的方法”是解本题的关键．
【详解】（1）解：把代入得：
，
所以反比例函数的解析式为：，
把代入得
把代入得：
解得：
所以一次函数的解析式为：；
（2）为
令则即
；
（3）∵，
∴：
∴一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴或．
20．
【分析】本题考查反比例函数与几何图形面积的综合问题，即利用图形面积求值，以及矩形的性质等知识，连接，利用双曲线，设点E的坐标，利用矩形的性质及，用含m的代数式表示出点B的坐标，由点B和F的纵坐标相等，可得出点F的坐标，然后根据四边形的面积矩形的面积减去的面积减去的面积，建立关于k的方程，解方程求出k的值，再根据函数图象的位置，可得出符合题意的k的值．
【详解】解：如图，连接，设，
∵，
∴ ，
∵矩形，点在上，且在反比例函数图象上，
当 时，，
∴，
∴，
解得：．
21．(1)；
(2)；
(3)存在，点F的坐标为或或
【分析】（1）将和两点，代入函数，得到二元一次方程组，求解即可得到答案；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴，交轴于点，交于点，设，则，，进而得到，，再根据，求出的值，得到点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法，即可求出直线的解析式；
（3）由直线得解析式，求得，，根据等腰直角三角形的性质，分三种情况讨论：①当点为直角顶点时；②当点为直角顶点时；③当点为直角顶点时，分别构造全等三角形求解，即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：函数的图象过和两点，
，解得：；
（2）解：由（1）可知，，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
过点作轴，交轴于点，交于点，
设，则，，
则，，
，
，
，
解得：，（舍），
，
直线由直线沿x轴向左平移得到，
设直线的解析式为，
将代入，得，
解得：，
直线的解析式为；

（3）解：存在，点F的坐标为或或，理由如下：
直线交x轴于点D，交y轴于点E，
令，则；令，则，解得：，
，，
，，
是等腰直角三角形，
①当点为直角顶点时，此时，，
过点作轴于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点在第二象限，
；

②当点为直角顶点时，此时，，
过点作轴于点，
同①理可得，，
，，
，
点在第二象限，
；

③当点为直角顶点时，此时，，
过点作轴于点，轴于点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，
四边形是正方形，
，
，
，
，
点在第二象限，
；
综上可知，第二象限内存在点F，使得为等腰直角三角形，点F的坐标为或或．

【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
22．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程根据与系数的关系，根的判别式，求根公式的运用，反比例函数的运用，理解并掌握一元二次方程中根据与系数的关系，求根公式的运算，反比例函数的运用是解题的关键．
（1）设一元二次方程的一个根为，则另一个根为，运用根与系数的关系列式求解即可；
（2）根据材料提示的“倍根方程”的定义，结合方程可得，，分类讨论即可求解；
（3）将带入中，得，运用求根公式可得关于的方程的两个根据，再结合“倍根方程”的定义即可求解．
【详解】（1）解：设一元二次方程的一个根为，则另一个根为，
∴由根与系数的关系得，，
解得，，即一个根为1，另一个根为2，
∴．
（2）解：，
，，
当时，，原式，
当时，，原式．
（3）解：将带入中，得，关于的方程，
，
，
，，
，
是倍根方程．
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