2023-2024学年数学九年级下册人教版26.2实际问题与反比例函数精选题（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册人教版26.2实际问题与反比例函数精选题
一、单选题
1．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　）

A． B．
C． D．
2．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将会爆炸为了安全，气球的体积应该（ ）

A．不大于 B．大于 C．不小于 D．小于
3．装卸机往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（分钟）与装载速度x（吨/分钟）之间的函数关系如图所示．若要求在120分钟内（包括120分钟）装完这批货物，则x的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
4．已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流．与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当时，
B．I与R的函数关系式是
C．当时，
D．当时，I的取值范围是
6．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温 ，停止加热，水温开始下降，此时水温 （）与开机后用时 （）成反比例关系，直至水温降至 ，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．在水温为 时，接通电源后，水温 （）和时间 （）的关系如图所示，水温从 降到 所用的时间是 ( )

A． 分钟 B． 分钟 C． 分钟 D． 分钟
7．某蓄水池当排水管的排水速度是，可将满池水全部排空．设排水速度为Q下列说法错误的是（ ）
A．蓄水池的容积
B．将满池水排空所需的时间与排水速度之间的关系式为
C．如果准备在内将满池水排空，那么排水速度至少为
D．已知排水管的最大排水速度为，那么最少时间可将满池水全部排空
8．古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．一艘轮船装载240吨货物到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间的函数关系为 ．
10．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为元，若该厂每月生产只（取正整数），这个月的总成本为元，则与之间满足的关系为 ．
11．小刚每天骑电动车到离家4的学校上学，他每天在上学路上的时间（h）与骑行的平均速度（）之间的函数关系是 ．
12．某单位要建一个的矩形草坪，若它的长是，宽是，则y与x之间的函数解析式为 （不用写x的取值范围）
13．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，科学证实：近视眼镜的度数（度）与镜片焦距成反比例函数关系．若500度近视眼镜片的焦距为，则200度近视眼镜片的焦距为 m．
14．电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为10Ω，通电2s时间导线产生90J的热量，则电流I为 A．
15．已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且度近视眼镜镜片的焦距为米．小慧原来戴度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为米的眼镜了，则现在小慧所戴的眼镜为 度．
16．在对物体做功一定的情况下，力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到时，此物体在力的方向上移动的距离是 ．

三、解答题
17．将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强 300 600 1000 1500
受力面积 1 0.5 0.2
(1)根据表中数据，求桌面所受压强（Pa）关于受力面积（m）的函数表达式及的值；
(2)将另一长，宽，高分别为，，，且与原长方体相同重量的长方体按如图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最大压强为，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
18．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧挂一个物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数y（单位：N）是关于x（弹簧秤与中点O的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)左侧所挂物体的质量与位置不变，移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数y的最小值．
19．为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将的自来水加入到饮水机中，先加热到．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为，则水温下降到后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．
(1)水温从加热到，需要______；请直接写出加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式：______；
(2)观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式；
(3)已知冲泡奶粉的最佳温度在左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为．现将的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？
20．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0．环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y与时间天的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x(天) 3 5 6 8 ……
硫化物的浓度 4 2.4 2 1.5 ……
(1)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度在第几天降为？
21．驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌度白酒后血液中酒精浓度微克毫升与饮酒时间小时之间函数关系如图所示当时，与成反比例．
(1)根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为______ ；下降阶段的函数解析式为______ ；并写出的取值范围
(2)问血液中酒精浓度不低于微克毫升的持续时间是多少小时？
22．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)求全天的温度与时间之间的函数关系式；
(3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
参考答案：
1．B
【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．
【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为和
∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：，
即，是反比例函数，
又∵动力臂，
故B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．
2．C
【分析】由题意设，把代入得到，推出，当时，，由此即可判断．
【详解】解：根据题意可设，
由题图可知，当时，，
把代入得到，
解得：，
，
为了安全起见，气球内的气压应不大于，即，
．
故选：C．
【点睛】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于把已知点代入解析式．
3．A
【分析】由题意知，装完货物所需时间y（分钟）与装载速度x（吨/分钟）之间的函数关系是反比例函数关系，且可求得此关系式，求出当时x的值，即装载速度即可确定答案．
【详解】解：由题意，设函数解析式为：，
由图象知，函数过点，把此点坐标代入上式中得：，
∴，
即，
当时，有，解得：；
即当时，在120分钟内（包括120分钟）装完这批货物；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意，根据题意求得函数解析式是关键．
4．D
【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
∴当物体的压力F为定值时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是：，
则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握以及反比例函数的定义，是解题的关键．
5．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意；
当时，，当时，，
∵反比例函数I随R的增大而减小，
当时，，当时，，故选项A，C不符合题意；
∵时，，当时，，
∴当时，I的取值范围是，故D符合题意．
故选：D．
6．C
【分析】由题意利用待定系数法可求出水温y和时间x的反比例关系式为，再将代入，可求出，进而可求出水温从降到所用的时间．
【详解】设停止加热，水温开始下降时，水温y和时间x的反比例关系式为，
根据图象可知点在的图象上，
∴，
解得：，
∴停止加热，水温开始下降时，水温y和时间x的反比例关系式为．
当时，即，
解得：．
∴水温从降到所用的时间是（分钟）．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，求出反比例函数关系式是解题关键．
7．C
【分析】根据每小时排水量及排水时间，可求蓄水池的容积为，可判断A；由可得：，可判断B；分别将和代入可判断C、D．
【详解】蓄水池的容积是：，故A选项正确；
由可得：，故B选项正确；
将代入得，，故C选项错误；
将代入得，，故D选项正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，再运用函数关系式解题．
8．B
【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案．
【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，
∴，整理得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键．
9．
【分析】本题考查了实际问题与反比例函数，根据数量关系列出函数关系式即可求解，理清题意，找准数量关系列出函数关系式是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
故答案为：．
10．
【分析】根据等量关系“每只玩具熊猫的成本＝总成本÷数量”列出关系式即可．
【详解】解：由题意得：与之间满足的关系为．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数在实际生活中的运用，解题的关键是找出题中的等量关系．
11．
【分析】根据题意和公式，可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查应用题列函数关系式的问题，正确理解题意是解题的关键．
12．
【分析】先根据矩形的面积公式即可得到y与x之间的函数关系式．
【详解】解：∵矩形草坪的面积为，长是，宽是，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，熟知矩形的面积公式是解答此题的关键．
13．0.5
【分析】根据题意，可以求得近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系式，然后将代入，求出相应的x的值即可．
【详解】解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系式为，
∵500度近视眼镜片的焦距为，
∴，
解得，
∴近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系式为，
当时，，
解得，
故答案为：0.5．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出k的值．
14．/
【分析】根据题中所给公式可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意．
15．
【分析】设出反比例函数解析式，把代入求得反比例函数解析式，再直接利用代入求出答案．
【详解】设函数的解析式为，
∵度近视眼镜镜片的焦距为米，
∴，
∴解析式为，
∴当时，，
∵小慧原来戴度的近视眼镜，
∴小慧所戴眼镜的度数降低了度．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，用待定系数法正确求出函数解析式是解题关键．
16．1
【分析】由题意及图象得反比例函数解析式，然后再把代入函数关系式即可求解．
【详解】解：∵力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系，
∴其函数关系式为，
∵点是反比例函数图象上的点，
∴．
∴此函数的解析式为，
把代入函数关系式得，，
∴．
∴此物体在力的方向上移动的距离是．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求解反比例函数解析式是解题的关键．
17．(1)；
(2)这种摆放方式不安全，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用，
（1）由表格可知，压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，由待定系数法可求得函数关系式，令，即可求出的值即可；
（2）算出的值，即可求出的值，比较就可得出答案．
【详解】（1）由表格可知，压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，
设，
将代入得：，
，
当时，，
；
（2）这种摆放方式不安全，
理由如下：
由图可知，
将长方体放置于该水平玻璃桌面上，，
，
这种摆放方式不安全．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的性质，
（1）根据题意设，根据当时，即可得；
（2）根据得当时，y随x的增大而减小，则当x取最大值时，y取最小值，根据木杆长，O为木杆的中点，故，即可得；
掌握待定系数法，反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵y是关于x的反比例函数，设，
又∵当时，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当x取最大值时，y取最小值，
∵木杆长，O为木杆的中点，故，
∴当时，，
即弹簧秤的示数y的最小值为．
19．(1)4；；
(2)反，
(3)14分钟．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式，反比例函数的应用，理解题意，正确求出解析式是解此题的关键．
（1）由图可得水温从加热到，需要，设加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：，将，代入解析式得：，求出的值即可；
（2）观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是反函数，设在水温下降过程中，与的函数关系为，将代入解析式得：，求出的值即可；
（3）在中，当时，，解得：，再由题意列式计算即可．
【详解】（1）解：由图可得：水温从加热到，需要，
设加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式为：，
故答案为：4，；
（2）解：观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是反函数，
设在水温下降过程中，与的函数关系为，
将代入解析式得：，
解得：，
在水温下降过程中，与的函数关系为：，
故答案为：反；
（3）解：由题意得：在中，当时，，
解得：，
从加入自来水开始，需要等待的时间为：，
则从加入自来水开始，需要等待14分钟时间才可以接水冲泡奶粉．
20．(1)；
(2)；
(3)第15天
【分析】（1）设线段的函数表达式为：，把A、B两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：，把B点坐标代入，求出k的值即可；
（3）令，即可得知企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为．
【详解】（1）解：设线段的函数表达式为，
∵在线段上，
∴将A，B两点坐标代入函数表达式，
得，解得，
∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴当时，与成反比例，
设函数的表达式为：，
将点B代入得：，
解得：，
∴当时，硫化物的浓度与时间的函数表达式为；
（3）解：令．
解得．
∴该企业所排污水中硫化物的浓度在第15天降为．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键．
21．(1)；
(2)6小时
【分析】（1）当时，设直线解析式为：，当时，设反比例函数解析式为：，利用待定系数法即可解决问题；
（2）分别求出时的两个函数值，再求时间差即可解决问题．
【详解】（1）当时，设直线解析式为：，将代入得：，
解得：，故直线解析式为：，
当时，设反比例函数解析式为：，将代入得：，
解得：，故反比例函数解析式为：；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，
下降阶段的函数关系式为．
故答案为：，；
（2）当，则，
解得：，
当，则，
解得：，
小时，
血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间小时．
【点睛】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，学会利用函数图象解决实际问题，属于中考常考题型．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据图像设正比例函数解析式为，根据图像可知函数解析式。再利用待定系数法即可求出恒定温度；
(2)根据图像可知整个图像由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；
(3)根据各时间段的函数解析式算出时的值，用小时减去这些时间即可．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，根据题意，
∴可得方程，
∴，
∴直线,
∵当时，
∴恒定温度为：．
（2）解：由(1)可知：正比例函数解析式为，
根据图像可知：，
设小时内函数解析式为：，根据题意，
可得方程：，
∴，
∴函数解析式为：，
∴小时函数解析式为：，
（3）解：∵当时，，
∴，
∵当时，，
∴，
∴在之间是气温是低于的，
∴气温低于的总时间为：，
∴气温高于的适宜温度是：．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答时应注意临界点的应用．
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