2023-2024学年数学九年级下册苏科版5.2二次函数的图像和性质精选题

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2023-2024学年数学九年级下册苏科版5.2二次函数的图像和性质精选题
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点在轴上，则等于( )
A． B． C． D．
3．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数(为常数)，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
6．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A． B．
C． D．
7．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
8．已知抛物线，则当时，的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．-2
二、填空题
9．二次函数的图象的顶点坐标是 ．
10．若抛物线的顶点在直线上，则的值为 ．
11．若抛物线的顶点在轴上，则 ．
12．二次函数的对称轴是 ，当 时，随的增大而增大．
13．在平面直角坐标系中，设函数（是常数，），则以下结论正确的是 ．（填序号）
①无论取何值，该函数图象必定经过两个定点．
②如果在时，始终有随的增大而减小，则且．
14．二次函数的与的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… 0 1 0 …
则当时，的值是 ．
15．如图，抛物线的顶点为A，抛物线的顶点为B，过点A作轴于点C．点B作轴于点D，则阴影部分的面积为 ．

16．如图，两条抛物线与分别经过点，，则平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 ．

三、解答题
17．已知抛物线与抛物线的形状相同，并且时，随的增大而减小，求二次函数的解析式．
18．分别指出抛物线与的开口方向、对称轴、顶点坐标和随的增大而变化的情况，并在同一平面直角坐标系中画出它们的图象．
19．如图，二次函数的图象经，，三点．

(1)观察图象，写出，，三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；
(2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)为何值时，随的增大而增大？为何值时，随的增大而减小？
20．已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为．
(1)求，的值；
(2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
21．已知二次函数．
(1)写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值；
(2)若点，在该二次函数的图象上，且，试比较与的大小；
(3)抛物线可以由抛物线平移得到吗？如果可以，写出平移的方法；如果不可以，请说明理由．
22．如图，点在抛物线上，且在的对称轴右侧．

(1)写出的对称轴和的最大值，并求的值；
(2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数解析式恰为．求点移动的最短路程．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．根据抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：D．
2．D
【分析】顶点在轴上，所以顶点的纵坐标是．根据顶点公式即可求得的值．
【详解】抛物线的顶点纵坐标是： 则
得到：
解得．
故选：D．
【点睛】考查了二次函数的性质，熟记二次函数顶点的坐标公式是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了二次函数的平移，根据平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线表达式为，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．据此求解即可．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
与对称轴距离越近的点的纵坐标越小，距离越远的点的纵坐标越大，
，
，
故选B．
5．D
【分析】本题主要考查二次函数的最值．将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况，根据y的最小值为，结合二次函数的性质求解可得．
【详解】解：，
故该抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
①若，当时，，
解得：；
②若，当时，，
解得(舍)；
③若，当时，，
解得：或(舍)，
∴m的值为或，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查一次函数、二次函数图象综合判断，由选项中图象可判断a，b符号不同，分类讨论求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
当抛物线对称轴在y轴右侧时，，
，符号不同，
当，时，抛物线开口向上，直线上升，直线与轴交点在轴下方，
当，时，抛物线开口向下，直线下降，直线与轴交点在轴上方，
故选：B．
7．A
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，解题的关键是掌握，对称轴为直线，据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
故选：A．
8．B
【分析】根据抛物线解析式判断出函数的增减性，然后选取x值代入即可．
【详解】由抛物线可知，抛物线的对称轴为，
∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小，
∴在的范围内，当时，y的值最大，，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，判断出二次函数的增减性是解题关键．
9．
【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，根据二次函数的图象的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：根据二次函数的顶点式可得，二次函数的图象的顶点坐标为．
故答案为：．
10．
【分析】根据抛物线求得顶点坐标为，再将代入求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点为
将点代入可得，
解得
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是求得抛物线的顶点坐标为．
11．
【分析】将抛物线解析式化成顶点式，求出顶点坐标，然后根据顶点在x轴上，可得顶点纵坐标为0，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵顶点在轴上，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，求出顶点坐标是解题的关键．
12．
【分析】由抛物线解析式可确定其开口方向及对称轴，由抛物线的增减性可求得答案．
【详解】二次函数的对称轴是，当时，随的增大而增大．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式确定出其对称轴是解题的关键．
13．①②/②①
【分析】①，据此即可求解；②抛物线的对称轴为直线，分类讨论当时和时即可判断．
【详解】解：①∵
∴当时，；当时，
即：无论取何值，该函数图象必定经过两个定点．
故①正确；
②函数的对称轴为直线
i当时，如果在时，始终有随的增大而减小
则，解得：
∴
ii当时，如果在时，始终有随的增大而减小
则，解得：
∴
综上：如果在时，始终有随的增大而减小，则且
故②正确
故答案为：①②
【点睛】本题考查二次函数的相关性质．当对称轴直线含有参数时，分类讨论是解题关键．
14．
【分析】根据表中数据，得出该二次函数图象关于直线对称，则当时和当时的函数值相等，即可解答．
【详解】解：∵当时，，当时，，
∴该二次函数图象关于直线对称，
∵当时，，
∴当时，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性．
15．4
【分析】过点作轴于点，将抛物线解析式化为顶点式得到，，由、两点关于原点对称，可得抛物线段绕点旋转后，与抛物线段重合，因此，以此即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，

抛物线的顶点，
抛物线的顶点，
、两点关于原点对称，
两抛物线的二次项系数，即抛物线开口大小相同，
抛物线段绕点旋转后，与抛物线段重合，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线的旋转、正方形的面积公式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
16．8
【分析】阴影部分的面积恰好拼接为如图所示的矩形面积，据此即可求解．
【详解】解：由抛物线的解析式可知：二次项系数相同
∴两条抛物线的性质完全相同
故抛物线向下平移2个单位得到抛物线
阴影部分的面积恰好拼接为如图所示的矩形面积

∴阴影部分的面积为：
故答案为：8
【点睛】本题考查了二次函数的性质．若两个二次函数的二次项系数相同，则对应的抛物线的性质相同．
17．
【分析】先根据两条抛物线的形状相同可得，再根据二次函数的增减性可得的值，由此即可得．
【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴，
∴或．
又时，随的增大而减小，
∴，即，
∴．
∴二次函数的解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
18．两个函数的对称轴都是轴，顶点坐标都是，，，故函数图象开口向上，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；，，故函数图象开口向下，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；图见解析
【分析】根据函数的图象及性质解答．
【详解】两个函数的对称轴都是轴，顶点坐标都是，
，，故函数图象开口向上，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；
，，故函数图象开口向下，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；
二次函数的与的部分对应值如表：
… 0 1 2 3 …
… 3 0 3 …
… 0 …
根据表格描点绘图：
【点睛】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握各类型的二次函数的图象及性质是解题的关键．
19．(1)，，，
(2)顶点坐标为，对称轴为直线
(3)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
【分析】（1）先写出点、点、点的坐标，然后假设一般式，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解；
（3）根据二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：由图可知：，，，
设抛物线解析式为，
根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为；
（2），
所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解，也考查了二次函数的性质．
20．(1)，
(2)抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是
【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可；
（2）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标．
【详解】（1）因为平移不改变图象的形状，
所以，
抛物线向左平移两个单位长度得到，
即，
所以；
（2）抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
21．(1)它的图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为，，没有最小值
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标以及最值；
（2）首先判定出二次函数的增减性，然后根据求解即可；
（3）根据二次函数的平移规律求解即可．
【详解】（1）∵，
∴它的图象的开口向下，对称轴为轴，顶点坐标为，
当时，，没有最小值．
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为轴，
∴当时，随的增大而减小，
故当时，．
（3）抛物线可以由抛物线平移得到，其平移方法是将抛物线向下平移6个单位长度．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
22．(1)的对称轴为直线，的最大值为4，
(2)5
【分析】（1）根据所给的函数表达式可得出抛物线的对称轴和最大值，再将点的坐标代入解析式，进行计算结合点在抛物线的对称轴右侧即可得出的值；
（2）根据抛物线的一段移动得到抛物线，得到顶点坐标的变化，结合两点之间，线段最短，进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线开口向下，
当时，抛物线有最大值为4，
将代入抛物线解析式可得：，
解得：或，
点在抛物线的对称轴右侧，
；
（2）解：，
抛物线的顶点坐标为，
所在抛物线对应的函数解析式恰为，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线在平移时，图象上的每一个点的平移方向均相同，平移距离均相等，
两点之间，线段最短可知，平移的最短距离为：，
点移动的最短路程5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数平移的性质，两点之间，线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
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