2023-2024学年数学九年级下册苏科版5.5用二次函数解决问题精选题（含解析）

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2023-2024学年数学九年级下册苏科版5.5用二次函数解决问题精选题
一、单选题
1．如图，将一根长的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是（　　）

A． B． C． D．
2．某企业是一家专门生产季节性产品的企业，当产品无利润时，企业会自动停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则企业停产的月份为（ ）
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
3．一位运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为，该运动员身高，在这次跳投中，球在头顶上方处出手时，他跳离地面的高度是（　　）

A． B． C． D．
4．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度（单位：）与水流运动时间（单位：）之间的函数解析式为，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（　　）
A． B． C． D．
5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（　　）
A． B． C． D．
7．用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为（　　）

A．8米 B．9米 C．10米 D．米
8．如图所示，某桥从正面观察，上面部分是一条抛物线，若，，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
9．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是：，汽车刹车后前进了 米才能停下来．
10．如图，在中，，点P从点A开始沿向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动．如果P，Q分别同时出发，当的面积最大时，运动时间t为 s．
11．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
12．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是，当水位线在位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度是 米．

13．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为 米．

14．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则关于的函数解析式是 ．
15．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米．（精确到1米）
16．某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40个．若销售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个．设该商品的销售单价上涨元/个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为 ．
三、解答题
17．某玩具厂计划生产一种玩具，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产只玩具的成本为（元），售价每只为（元），且、与的关系式分别为，．
(1)当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润 最大利润是多少
18．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离地面的距离为.
(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.
(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
19．某宾馆有50间房间供游客居住，当每间房间定价120元时，房间会全部住满；当每间房间每天的定价每增加10元时，就会有一间房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每间居住房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价增加元（为整数）．
(1)直接写出每天游客居住的房间数量（个）与（元）的函数表达式；
(2)当每间房间定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
20．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，如果点，分别从点，同时出发，

(1)写出的面积关于出发时间的函数解析式及的取值范围；
(2)四边形的面积随出发时间如何变化？写出函数解析式及的取值范围．
21．如图，一小球从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式；
(2)在斜坡上的点有一棵树，点的横坐标为2，树高为4，小球能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
(3)过点作轴的垂线，交于点，求的最大值．
22．湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
(1)设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；
(2)设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．

①分别求出当和时，与的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额总成本）
参考答案：
1．A
【分析】设围成的矩形的一边长为，围成的矩形面积为，根据矩形面积公式可得S与x 的关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：设围成的矩形的一边长为，围成的矩形面积为，则另一边长为，根据题意，得：
，
∴当时，．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确列出函数关系式、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．D
【分析】求出时的月份，以及时的月份，即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
解得：；
又当时，；
∴企业停产的月份为1月、2月和12月；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．理解题意，正确的求出自变量的值，是解题的关键．
3．A
【分析】设抛物线的表达式为,依题意可知图象经过的坐标，由此可得的值，设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
∵当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米,

∴抛物线的顶点坐标为,
∴设抛物线的表达式为.
由图知图象过以下点: .
∴,
解得:,
∴抛物线的表达式为.
设球出手时，他跳离地面的高度为，
因为,
则球出手时，球的高度为,
∴,
∴.
故选: .
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得球出手时距离地面的高度是解决本题的关键.
4．A
【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度为0，把代入即可求出，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．
【详解】解：水流从抛出至回落到地面时高度为0，
把代入得：，
解得：（舍去），．
故水流从抛出至回落到地面所需要的时间．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实际判断所得出的解．
5．B
【分析】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【详解】解：降价x元，则售价为元，销售量为件，
根据题意得，，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数表达式，是解题的关键．
6．D
【分析】
依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令，求x的正数值．
【详解】
解：把代入得：
，
解之得：．
又，解得．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
7．B
【分析】设的长为米，则的长为米．表示出窗框的面积，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：设的长为米，则的长为米
则窗框的面积
∵
∴当时，窗框的面积最大
故选：B
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．掌握建模思想是解题关键．
8．A
【分析】由题意可得：，，且抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，代入，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，，且抛物线的顶点为，
则抛物线解析式为
将代入可得：
解得
即解析式为
故选：A
【点睛】此题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式，解题的关键是理解题意，正确设出解析式．
9．
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数的解析式求得顶点，再利用二次函数的性质求出的最大值即可得出结论．
【详解】解：，
函数有最大值．
，即汽车刹车后前进了米才能停下来．
故答案为：．
10．2
【分析】求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好．
本题考查二次函数最大(小)值的求法．先用含的代数式表示出、再根据三角形的面积公式计算．
【详解】解：根据题意得，
三角形面积为：
∴当时，的面积最大为，
故答案为：2．
11．20
【分析】飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即求函数取得最大值时的t的值．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∵，
当，函数有最大值，即飞机着陆后滑行20秒能停下来．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了二次函数的实际问题，运用二次函数求最值是解决本题的关键．
12．9
【分析】根据题意，把代入函数解析式，即可解答．
【详解】解：水面宽为12米，
点的横坐标为6，
把把代入函数解析式，可得：
，
故水面离桥顶的高度为米，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，读懂题意，结合图形是解题的关键．
13．
【分析】由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，设抛物线解析式为：，求解即可．
【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点为，经过点，
设抛物线解析式为：
将代入可得：，解得
即
将代入得，，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确求得抛物线的解析式．
14．
【分析】每件降价x元，每件商品的利润为元，日销售量为件，求解即可．
【详解】解：每件降价x元，每件商品的利润为元，日销售量为件，
则每天的利润
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的求解．
15．18
【分析】本题考查了二次函数的应用，无理数估算，掌握解法是解题的关键．可得，从而可求，，由即可求解．
【详解】解：由题意得
，
，
解得：，，
，，
(米)；
故答案为：．
16．
【分析】根据销售问题中数量关系：建立函数式．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】本题考查销售问题的数量关系，列函数关系式，理解销售问题的数量关系是解题的关键．
17．(1)25只
(2)35只；1950元
【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或解析式；
（1）根据“总利润=售价×数量-成本”得出一元二次方程，然后解出答案，根据日最高产量为40只进行验根；
（2）设每天所获利润为W，然后列出函数解析式，最后进行配方得出最大值．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：（大于每日最高产量为40只，故舍去）
答：当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元．
（2）解：设每天所获利润为W．
由题意得，
∴当时，W有最大值1950元．
答：当日产量为35只时，可获得最大利润，最大利润为1950元．
18．(1)
(2)这辆货车能安全通过
【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把代入求出函数值和车的高度作比较即可解题．
【详解】（1）解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点，
所以，
解得，
∴；
（2）根据题意，把代入解析式，得．
∵，
∴这辆货车能安全通过．
19．(1)（且为整数）
(2)当每间房间定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润为9000元
【详解】解：（1）（且为整数）
（2）设每天所获利润为元，根据题意可知，．∵二次项系数，∴当时，取得最大值，即．此时每间房间定价为（元）．
答：当每间房间定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润为9000元．
【易错点分析】由于审题不清导致无法建立变量之间的关系，而导致函数表达式的书写出错．另外在用配方法或是确定二次函数图像顶点坐标的过程中产生的计算失误是导致出错的另一主要原因．
20．(1)
(2)四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化，
【分析】（1）根据题意，用表示出线段、，求解即可；
（2）四边形的面积为减去的面积，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，
∴，，
∴的面积关于出发时间的解析式为．
（2）解：四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化，
．
【点睛】此题考查了二次函数与图形的应用，解题的关键是理解题意，用表示出线段、．
21．(1)
(2)小球能飞过这棵树，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据题意可设抛物线的表达式为，再将代入，求出a的值，从而即可求出抛物线的表达式；
（2）将代入，可求出B点坐标，从而可求出树的顶端的坐标为．再将代入，求出此时点M的坐标，再比较和即可得解；
（3）联立，并求解，即可求出x的取值范围．过点M作轴于点F，交于点E．设，则，即得出，最后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为，
∴可设抛物线的表达式为．
由题意可知该抛物线过原点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：将代入，得：，
∴．
∵树高为4，
∴树的顶端的坐标为．
将代入，得：，
∴此时，
∴，
∴小球M能飞过这棵树；
（3）联立，
解得：，．
∴．
如图，过点M作轴于点F，交于点E．

设，则，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴小球M在飞行的过程中离斜坡的最大高度是米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及两函数图象交点的求解方法，利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，难度适中．利用数形结合与方程的思想是解题的关键．
22．(1)a的值为，b的值为30
(2)①时，，时，；②当t为55天时，W最大，最大值为180250元．
【分析】（1）由“放养10天的总成本为万元、放养20天的总成本为万元”列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）①分、两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得； ②就以上两种情况，根据“利润=销售总额-总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质即可求得最大值．
【详解】（1）解：依题可得：
解得
答：a的值为，b的值为30．
（2）①当时，设y与t的函数关系式为．
把点，的坐标分别代入得∶
解得∶
∴y与t的函数关系式为．
当时，设y与t的函数关系式为．
把点和的坐标分别代入得：
解得∶
∴y与t的函数关系式为．
②由题意得，当时，
，
∵，
∴当时，（元）
当时，
∵，
∴当时，，
综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据相等关系列出利润的函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
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