湘阴县知源高级中学 2024 年上学期入学考试
高一年级 数学科试卷
满分：150 分 考试时量：120 分钟
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
3
1.已知集合 A＝ x x< ，B＝{x|1－2x>0}，则( )
2
1 1
A.A∩B＝ x x< B.A∩B＝ C.A∪B＝ x x< D.A∪B＝R
2 2
1 3 1 1
答案 A 解析 由 1－2x>0 得 x< ，所以 A∩B＝ x x< ∩ x x< ＝ x x< .
2 2 2 2
2.函数 y＝loga(x－1)＋4 的图象恒过定点 P，点 P 在幂函数 y＝f(x)的图象上，则
f(3)等于( )
A.2 B.3 C.8 D.9
答案 D 解析 当 x＝2 时，y＝loga1＋4＝4，
∴函数 y＝loga(x－1)＋4 的图象恒过定点 P(2，4)，
设 α αf(x)＝x ，则 2 ＝4，解得 2α＝2，∴f(x)＝x ，∴f(3)＝9.
4
3. 已知sin(a ) , 则cos(a ) ( )
3 5 6
4 4 3 3
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 A
1
已知a , b 0.014. , c sin1, 则a，b，c 的大小关系是 ( )
log832
A. c b a B. c a b C. a b c D. a c b
答案 D
5.函数f (x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
f (1) 2, f (1.5) 0.625, f (1.25) 0.984， f (1.375) 0.260， f (1.4375) 0.165
f (1.40625) 0.052那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为 ( )
A.1.5 B.1.25 C.1.41 D.1.44
答案 C
1
6.已知函数 ＝ xy a (a>0 且 a≠1)是增函数，那么 f(x)＝loga 的图象大致是( ) x－1
{#{QQABIYQQggggAgBAAAhCAwkYCEIQkBCAAAoOBEAAMAABiQNABAA=}#}
答案 B 解析 依题设知 a>1，且 f(x)的定义域为(1，＋∞)，
∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数.
π 1 9
7.若 θ∈ 0， ，则 y＝ 2 ＋ 2 的取值范围为( )
2 sin θ cos θ
A.[6，＋∞) B.[10，＋∞) C.[12，＋∞) D.[16，＋∞)
答案 D 解析 因为 2 2sin θ＋cos θ＝1，所以
1 9 2 21 9
＝ ＋ ＝ ＋ × 2 ＋ 2
cos θ 9sin θ
y 2 2 2 2 (sin θ cos θ)＝10＋ ＋sin θ cos θ 2 2 ≥10＋2 9sin θ cos θ sin θ cos θ
1 3
＝ 2 216，当且仅当 sin θ＝ ，cos θ＝ 时，等号成立.
4 4
8.已知函数 2f(x)＝x ＋log2|x|，则不等式 f(x＋1)－f(2)<0 的解集为( )
A.(－3，－1)∪(－1，1) B.(－3，1)
C.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.(－1，1)∪(1，3)
答案 A 解析 ∵f(x)＝ 2x ＋log2|x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
且 2 2f(－x)＝(－x) ＋log2|－x|＝x ＋log2|x|＝f(x)，
∴函数 f(x)是偶函数，且当 x>0 时， 2f(x)＝x ＋log2x 单调递增，
∴不等式 f(x＋1)－f(2)<0 等价为 f(|x＋1|)
∴|x＋1|<2，且 x＋1≠0，即－2∴不等式的解集为(－3，－1)∪(－1，1).
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选
项中有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的不
得分)
9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A. 已知 2a b 2, 则∈R，x ＋2x＋1≥0 B. x∈N，2x 为偶数
C.所有菱形的四条边都相等 D.π是无理数
答案 AC 解析 对 A，是全称量词命题，是真命题，故 A 正确；
对 B，是真命题，但不是全称量词命题，故 B 不正确；
对 C，是全称量词命题，也是真命题，故 C 正确；
对 D，是真命题，但不是全称量词命题，故 D 不正确.
{#{QQABIYQQggggAgBAAAhCAwkYCEIQkBCAAAoOBEAAMAABiQNABAA=}#}
10. 已知a b 2, 则 ( )
2 a
A. a bab 1 B. 3 C. 2 2 4 D. a2 b2 2
a b
答案 ACD
11.下图是函数 y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则 y＝sin(ωx＋φ)的解析式可以是
( )
A. y sin(x ) B. y sin( 2x)
3 3
5
C. y cos(2x ) D. y cos( 2x)
6 6
答案 BC
2 2
12.函数 f(x)＝sin 2x－ 3(cos x－sin x)的图象为 C，如下结论正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为 4π
π π
B.对任意的 x∈R，都有 f x＋ ＋f －x ＝0
6 6
π 5π
C.f(x)在 － ， 上是增函数
12 12
π
D.由 y＝2sin 2x 的图象向右平移 个单位长度得曲线 C
3
π
答案 BC 解析 f(x)＝ 2sin 2x－ 3(cos x－ 2sin x)＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin 2x－ .
3
2π π π π
因为 f(x)的最小正周期为 ＝π，故 A 错误；又 f ＝2sin 2× － ＝2sin 0＝0，
2 6 6 3
π π π
则函数关于 ，0 成中心对称，对任意的 x∈R，都有 f x＋ ＋f －x ＝0 成立，
6 6 6
π 5π π π π π 5π
故 B 正确；当 x∈ － ， 时，2x－ ∈ － ， ，此时 f(x)在 － ， 上是
12 12 3 2 2 12 12
π π
增函数，故C正确；由 y＝2sin 2x的图象向右平移 个单位长度得到 y＝2sin2 x－
3 3
2π
＝2sin 2x－ 的图象，故 D 错误.
3
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上)
13.不等式 x2 7x 6解集为 .
答案 x 1 x 6
{#{QQABIYQQggggAgBAAAhCAwkYCEIQkBCAAAoOBEAAMAABiQNABAA=}#}
(a 2)x 4a 1 ，x 2
14.已知 a>0，且 a≠1，函数f (x) 若 f (x)存在最小值，
2ax 1 ，x 2
则实数 a 的取值范围为 .
1
答案 a 0 a
2
15.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布
数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：
K
I(t)＝ －0.24（t－53），其中 K 为最大确诊病例数 当
*
. I(t )＝0.9K 时，标志着已初步
1＋e
遏制疫情，则 *t 约为 天.(注：e 为自然对数的底数，ln 9≈2.2)
K 10 1
答案 62 ∵ *I(t )＝ －0.24（t*－53）＝0.9K，∴1＋
－0.24(t*－53)＝ ， －0.24(t*－53)e e ＝ ，
1＋e 9 9
则－ *
1
0.24(t －53)＝ln ＝－ln 9≈－ ，解得 *2.2 t ≈62.
9
π
16.将函数 f(x)＝asin x＋bcos x(a，b∈R，a≠0)的图象向左平移 个单位长度，得
6
b
到一个偶函数图象，则 ＝ .
a
答案 3解析 因为将函数 f(x)＝asin x＋bcos x(a，b∈R，a≠0)的图象向左平
π
移 个单位长度，得到偶函数图象，所以函数 f(x)＝asin x＋bcos x 的对称轴为
6
π π π π b
直线 x＝ ，所以 f ＝asin ＋bcos ＝f(0)＝b.因为 a≠0，所以 ＝ 3.
6 3 3 3 a
四、解答题(共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10 分)已知集合 A＝ 2{x|a－1(1)若 a＝1，求集合 A CRB； (2)若 A∩B＝ ，求实数 a 的取值范围.
解 (1)∵B＝{x|0又 A＝{x|0(2)若 A＝ ，则 a－1≥2a＋1，解得 a≤－2，满足 A∩B＝ .
2a＋1>a－1， 2a＋1>a－1，
若 A≠ ，则由 A∩B＝ ，可知 或
2a＋1≤0 a－1≥1，
1 1
解得－22 2
{#{QQABIYQQggggAgBAAAhCAwkYCEIQkBCAAAoOBEAAMAABiQNABAA=}#}
18.(12 分) 已知关于 x 的不等式 ax2 3x 2 0 解集为 x x 1或x b (b 1)
(1)求 a 和 b 的值；
a b
(2)当 x 0, y 0,且满足 + =1时，有2x y k 2 +k +2 恒成立，求k 的取值范围。
x y
解 (1) a=1, b=2
(2) k 的取值范围为 3 k 2 .
19.(12 分)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻
的一个最高点和最低点之间的距离为 4＋ 2π .
π
2f 2α－ －1
1 4
(1)求 f(x)的解析式； (2)若 tan α＋ ＝5，求 的值.
tan α 1－tan α
T
解 (1)设最高点为(x1，1)，相邻的最低点为(x2，－1)，则|x1－x2|＝ (T>0). 2
2
T 2π
由勾股定理得，(x1－
2＋ 2 2 2x2) (1＋1) ＝4＋π .∴ ＋4＝4＋π .∴T＝2π＝ . 4 |ω|
π
又 ω>0，∴ω＝1，f(x)＝sin(x＋φ)，由于 f(x)是偶函数，知 φ＝kπ＋ ，k∈Z.
2
π π
又 0≤φ≤π，则 φ＝ ，所以 f(x)＝sin x＋ ＝cos x.
2 2
1 sin α cos α 1
(2)∵tan α＋ ＝5，∴ ＋ ＝5，∴sin αcos α＝ .
tan α cos α sin α 5
π π
2f 2α－ －1 2cos 2α－ －1
4 4 cos 2α＋sin 2α－1
∴ ＝ ＝
1－tan α 1－tan α cos α－sin α
cos α
（ 22sin αcos α－2sin α）cos α 2
＝ ＝2sin αcos α＝ .
cos α－sin α 5
20.(12 分)已知某观光海域 AB 段的长度为 3 百公里，一超级快艇在 AB 段航行，
经过多次试验得到其每小时航行费用 Q(单位：万元)与速度 v(单位：百公里/小
时)(0≤v≤3)的以下数据：
v 0 1 2 3
Q 0 0.7 1.6 3.3
为描述该超级快艇每小时航行费用 Q 与速度 v的关系，现有以下三种函数模型
供选择： 3 2Q＝av ＋bv ＋cv，Q＝0.5v＋a，Q＝klogav＋b.
{#{QQABIYQQggggAgBAAAhCAwkYCEIQkBCAAAoOBEAAMAABiQNABAA=}#}
(1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)该超级快艇应以多大速度航行才能使 AB 段的航行费用最少？并求出最少航
行费用.
解 (1)若选择函数模型 Q＝0.5v＋a，则该函数在 v∈[0，3]上单调递减，这与试
验数据相矛盾，所以不选择该函数模型；
若选择函数模型 Q＝klogav＋b，须 v>0，这与试验数据在 v＝0 时有意义矛盾，
所以不选择该函数模型；从而只能选择函数模型 Q＝av3＋bv2＋cv.
a＋b＋c＝0.7， a＋b＋c＝0.7， a＝0.1，
由试验数据得 8a＋4b＋2c＝1.6， 即 4a＋2b＋c＝0.8，解得 b＝－0.2，
27a＋9b＋3c＝3.3， 9a＋3b＋c＝1.1， c＝0.8，
故所求函数解析式为 ＝ v3－ 2Q 0.1 0.2v ＋0.8v(0≤v≤3).
3
(2)设超级快艇在 AB 段的航行费用为 y(万元)，则所需时间为v小时，其中 03
结合(1)，可得 ＝ 3 2 2y v(0.1v －0.2v ＋0.8v)＝0.3[(v－1) ＋7]，
所以当 v＝1 时，ymin＝2.1.故当该超级快艇以 1 百公里/小时航行时，可使 AB 段
的航行费用最少，且最少航行费用为 2.1 万元.
π
21.(12 分)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) ω>0，0<φ< 的部分图象如图所示.
2
(1)求 f(x)的解析式；
1
(2)将函数 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
2
π
(纵坐标不变)，再将所得函数图象向右平移 个单位长度，
6
得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)的单调递增区间.
3 11π π 9π 3π 2π
解 (1)由题图可知 T＝ － ＝ ＝ ，故 T＝2π，所以 ω＝ ＝1.
4 6 3 6 2 T
11π 11π 11π
又由 f ＝0，得 Asin ＋φ ＝0，即 ＋φ＝2kπ，k∈Z，
6 6 6
11π π π
解得 φ＝2kπ－ ，k∈Z.又 0<φ< ，∴当 k＝1 时，φ＝ .
6 2 6
π π
又 f(0)＝2，∴Asin ＝2.∴A＝4，∴f(x)＝4sin x＋ .
6 6
{#{QQABIYQQggggAgBAAAhCAwkYCEIQkBCAAAoOBEAAMAABiQNABAA=}#}
π 1
(2)将 f(x)＝4sin x＋ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得
6 2
π π
到 y＝4sin 2x＋ 的图象，再将图象向右平移 个单位长度，
6 6
π π π
得到 g(x)＝4sin 2 x－ ＋ ＝4sin 2x－ 6 的图象. 6 6
π π π π π
由 2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ (k∈Z)，得 kπ－ ≤x≤kx＋ (k∈Z).
2 6 2 6 3
π π
故 g(x)的单调递增区间为 kπ－ ，kπ＋ (k∈Z).
6 3
x
22.(12 分)已知函数 f(x)＝log4(2 ＋1)＋kx(k∈R)为偶函数.
(1)求 k 的值；
x
若函数 ＝ f(x)＋ x(2) g(x) 4 4＋m·4 －1，x∈[0，log25]，是否存在实数 m 使得 g(x)的最
小值为 0，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由.
解 (1)由函数 f(x)是偶函数可得 f(－x)＝f(x)，
x
x 2 ＋1∴log4(2 ＋
－x
1)＋kx＝log4(2 ＋1)－kx，则 log4 －x ＝－2kx， 2 ＋1
1 1
即对于 x∈R，恒有 x＝－2kx.解得 k＝－ .
2 4
(2)由 x x(1)知，g(x)＝2 ＋m·4 ，
令 t＝ x2 ∈ 2[1，5]，则 h(t)＝mt ＋t，
①当 m＝0 时，h(t)＝t 在[1，5]上单调递增，∴h(t)min＝h(1)＝1，不符合题意；
1
②当 m>0 时，h(t)图象的对称轴 t＝－ <0，
2m
则 h(t)在[1，5]上单调递增，∴h(t)min＝h(1)＝m＋1＝0，∴m＝－1(舍)；
1
③当 m<0 时，h(t)图象的对称轴 t＝－ ，
2m
1 1 1
(ⅰ)当－ <3，即 m<－ 时，h(t)min＝h(5)＝0，∴25m＋5＝0，∴m＝－ ； 2m 6 5
1 1
(ⅱ)当－ ≥3，即－ ≤m<0 时，
2m 6
h(t)min＝h(1)＝0，∴m＋1＝0，∴m＝－1(舍)，
1
综上，存在 m＝－ 使得 g(x)的最小值为 0.
5
{#{QQABIYQQggggAgBAAAhCAwkYCEIQkBCAAAoOBEAAMAABiQNABAA=}#}湘阴县知源高级中学 2024 年上学期入学考试
高一年级 数学科试卷
满分：150 分 考试时量：120 分钟
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
3
1.已知集合 A＝ x x< ，B＝{x|1－2x>0}，则( )
2
1 1
A.A∩B＝ x x< B.A∩B＝ C.A∪B＝ x x< D.A∪B＝R
2 2
2.函数 y＝loga(x－1)＋4 的图象恒过定点 P，点 P 在幂函数 y＝f(x)的图象上，则
f(3)等于( )
A.2 B.3 C.8 D.9
4
3. 已知sin(a ) , 则cos(a ) ( )
3 5 6
4 4 3 3
A. B. C. D.
5 5 5 5
1
4.已知a , b 0.01, c sin1, 则a，b，c 的大小关系是 ( )
log832
A. c b a B. c a b C. a b c D. a c b
5.函数f (x)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：
f (1) 2, f (1.5) 0.625, f (1.25) 0.984， f (1.375) 0.260， f (1.4375) 0.165
f (1.40625) 0.052那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为 ( )
A.1.5 B.1.25 C.1.41 D.1.44
1
6.已知函数 xy＝a (a>0 且 a≠1)是增函数，那么 f(x)＝loga 的图象大致是( ) x－1
π 1 9
7.若 θ∈ 0， ，则 y＝ 2 ＋ 2 的取值范围为( )
2 sin θ cos θ
A.[6，＋∞) B.[10，＋∞) C.[12，＋∞) D.[16，＋∞)
{#{QQABIYQQggggAgBAAAhCAwkYCEIQkBCAAAoOBEAAMAABiQNABAA=}#}
8.已知函数 2f(x)＝x ＋log2|x|，则不等式 f(x＋1)－f(2)<0 的解集为( )
A.(－3，－1)∪(－1，1) B.(－3，1)
C.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.(－1，1)∪(1，3)
二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选
项中有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的不
得分)
9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )
A. 已知a b 2, 则∈R， 2x ＋2x＋1≥0 B. x∈N，2x 为偶数
C.所有菱形的四条边都相等 D.π 是无理数
10. 已知a b 2, 则 ( )
2 a
A. a bab 1 B. 3 C. 2 2 4 D. a2 b2 2
a b
11.下图是函数 y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则 y＝sin(ωx＋φ)的解析式可以是
( )
A. y sin(x ) B. y sin( 2x)
3 3
5
C. y cos(2x ) D. y cos( 2x)
6 6
12.函数 2 2f(x)＝sin 2x－ 3(cos x－sin x)的图象为 C，如下结论正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为 4π
π π
B.对任意的 x∈R，都有 f x＋ ＋f －x ＝0
6 6
π 5π
C.f(x)在 － ， 上是增函数
12 12
π
D.由 y＝2sin 2x 的图象向右平移 个单位长度得曲线 C
3
三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上)
13.不等式 x2 7x 6解集为 .
(a 2)x 4a 1 ，x 2
14.已知 a>0，且 a≠1，函数f (x) 若 f (x)存在最小值，
2ax 1 ，x 2
则实数 a 的取值范围为 .
{#{QQABIYQQggggAgBAAAhCAwkYCEIQkBCAAAoOBEAAMAABiQNABAA=}#}
15.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布
数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型：
K *
I(t)＝ －0.24（t－53），其中 K 为最大确诊病例数.当 I(t )＝0.9K 时，标志着已初步
1＋e
遏制疫情，则 *t 约为 天.(注：e 为自然对数的底数，ln 9≈2.2)
π
16.将函数 f(x)＝asin x＋bcos x(a，b∈R，a≠0)的图象向左平移 个单位长度，得
6
b
到一个偶函数图象，则 ＝ .
a
四、解答题(共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2
17.(10 分)已知集合 A＝{x|a－1(1)若 a＝1，求集合 A CRB； (2)若 A∩B＝ ，求实数 a 的取值范围.
2
18.(12 分) 已知关于 x 的不等式 ax 3x 2 0 解集为 x x 1或x b (b 1)
(1)求 a 和 b 的值；
a b
(2)当 x 0, y 0,且满足 + =1时，有2x y k 2 +k +2 恒成立，求k 的取值范围。
x y
19.(12 分)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻
的一个最高点和最低点之间的距离为 4＋ 2π .
π
2f 2α－ －1
1 4
(1)求 f(x)的解析式； (2)若 tan α＋ ＝5，求 的值.
tan α 1－tan α
{#{QQABIYQQggggAgBAAAhCAwkYCEIQkBCAAAoOBEAAMAABiQNABAA=}#}
20.(12 分)已知某观光海域 AB 段的长度为 3 百公里，一超级快艇在 AB 段航行，
经过多次试验得到其每小时航行费用 Q(单位：万元)与速度 v(单位：百公里/小
时)(0≤v≤3)的以下数据：
v 0 1 2 3
Q 0 0.7 1.6 3.3
为描述该超级快艇每小时航行费用 Q 与速度 v的关系，现有以下三种函数模型
供选择：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0.5v＋a，Q＝klogav＋b.
(1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)该超级快艇应以多大速度航行才能使 AB 段的航行费用最少？并求出最少航
行费用.
π
21.(12 分)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) ω>0，0<φ< 的部分图象如图所示.
2
(1)求 f(x)的解析式；
1
(2)将函数 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
2
π
(纵坐标不变)，再将所得函数图象向右平移 个单位长度，
6
得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)的单调递增区间.
22.(12 分)已知函数 f(x)＝ xlog4(2 ＋1)＋kx(k∈R)为偶函数.
(1)求 k 的值；
x
(2)若函数 g(x)＝ f(x)＋ x4 4＋m·4 －1，x∈[0，log25]，是否存在实数 m 使得 g(x)的最
小值为 0，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由.
{#{QQABIYQQggggAgBAAAhCAwkYCEIQkBCAAAoOBEAAMAABiQNABAA=}#}