第五章 相交线与平行线单元检测题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第五章 相交线与平行线单元检测题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-04 13:43:01 | ||
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文档简介
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人教版七年级下册数学第五章 相交线与平行线单元检测题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．生活中经常见到一些美丽的图案，这些图案有许多是由基本图形平移组成的，如下列图形中，只能用其中一部分平移而得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．图中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补 B．相等的角是对顶角
C．若，则 D．同一平面内，若，，则
5．如图，，，则∠2的度数是（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
6．如图，，点B在直线b上，且，，那么（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，，，判断与的大小关系（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．如图，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每题3分，共24分）
11．已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数为 ．
12．如图，已知，垂足为O，若，则直线与的夹角为 ．
13．已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数为 ．
14．如图，把一张两边平行的纸条沿着折叠，若，则的度数是 ．
15．如图，直角三角形的三边长分别为30，40，50，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行（或重合），则这5个小直角三角形的周长之和是 ．
16．如图，若，，则 ．
17．如图，．若，则的大小为 ．
18．如图，已知，则 ．
三、解答题（共66分）
19．如图所示，直线、都垂直于直线，直线与、相交，如果，那么、等于多少度？
20．如图，，与分别相交于点M，N，平分，与相交于点H．若，求的度数．
21．如图，已知平分．求，的度数．
22．已知：如图，，，．
(1)与平行吗？为什么？
(2)求：的度数．
23．如图，，，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点H，点F是边上一点，使得．
(1)证明：；
(2)作的角平分线交于点G，若，则______（请直接写出答案）．
24．如图1，点E、F分别在直线、上，的平分线交于G，且．
(1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，点H在射线上，的平分线交于K．
①当时，求的度数；
②若，求证：．
25．阅读下列材料：
如图，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，我们可以通过作辅助线证明结论：．
请你利用这个结论或证明思路，完成下列问题．
已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．
(1)如图，若，，请直接写出的度数；
(2)如图，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明；
(3)如图，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系．
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参考答案：
1．B
【分析】由平移的性质可知，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．从而得到平移图形对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，对应图形全等．
【详解】解：A、是图形旋转所得，故A错误；
B、图形的形状和大小不变，符合平移性质，故B正确；
C、是图形旋转所得，故C错误；
D、最后一个形状不同，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
2．C
【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．
【详解】解：A、D、和两边不互为反向延长线，故A、D不符合题意；
B、和两角没有公共顶点，故B不符合题意；
C、和是对顶角，故C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的定义．
3．A
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项符合题意；
B、，根据内错角相等，，故此选项不符合题意；
C、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项不符合题意；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行可得：，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
4．D
【分析】根据平行线的性质可判断A，根据对顶角的定义可判断B，根据绝对值的含义可判断C，根据平行线的判定可判断D，从而可得答案．
【详解】解：两直线平行，同旁内角互补；原选项命题为假命题，故A不符合题意；
相等的角不一定是对顶角，原选项命题为假命题，故B不符合题意；
若，则，原选项命题为假命题，故C不符合题意；
同一平面内，若，，则，真命题，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，对顶角的定义，绝对值的含义，熟记以上基础概念与性质是解本题的关键．
5．C
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】如图，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．
6．A
【分析】可求，由平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的性质是解题的关键．
7．A
【分析】根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即可作答．
【详解】∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是解答本题的关键．
8．C
【分析】根据平行线的性质和直角三角形锐角互余即可求解；
【详解】过C作 于H，
，，
H、C、D三点共线，
则 ，
∵，
∴，
，
；
故选：C
【点睛】该题考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，解答该题的关键是将角度进行等量转换
9．A
【分析】因为，所以，，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了同位角相等，两直线平行以及两直线平行，内错角相等，难度较小．
10．B
【分析】根据平行线性质可得，求出的度数，利用角平分线可求出的度数即可对①进行判断；利用即可求出的度数，即可对②进行判断；利用垂直分别求出两角进行比较即可对③进行判断；由垂直分别求出两角的度数进行比较即可．
【详解】解：，
，
，
平分，
；
故①错误；
，
，
，
平分；
故②正确；
，，
，
，
，
；
故③正确；
，,
；
故④错误．
故选：．
【点睛】此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
11．或
【分析】图时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出的度数为；
图时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出的度数为．
【详解】解：若与位置如图所示：
，
，
又∵，
，
，
又，
；
若与位置如图所示：
，
，
又∵，
，
，
又
，
综合所述：的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．
12．40
【分析】由垂直的定义可求得，再利用对顶角可求得答案．
【详解】解：，
，
，
即直线与的夹角为，
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查垂直的定义和对顶角的性质，由垂直的定义求得是解题的关键．
13．或
【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，得出的度数；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出的度数．
【详解】解：①若与位置如图1所示：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②若与位置如图2所示：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．
14．/50度
【分析】根据题意，得，结合，代入计算即可．
【详解】如图，根据题意，得，
∵，
∴，
解得．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15．120
【分析】小直角三角形的与平行的边的和等于，与平行的边的和等于，则小直角三角形的周长等于直角的周长，据此即可求解．
【详解】解：利用平移的性质可得出，
这五个小三角形的周长的和等于大三角形的周长为：，
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，正确理解小直角三角形的周长等于直角的周长是解题的关键．
16．/50度
【分析】直接根据平行线的性质求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
17．
【分析】先证明，，再利用对顶角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，熟记两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．
18．（答案不唯一）
【分析】根据内错角相等两直线平行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
19．，
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，对顶角相等，解题的关键是掌握平面内垂直于同一直线的两直线平行及平行线的性质．
由平面内垂直于同一直线的两直线平行知，据此知，结合图形可得答案．
【详解】解：∵、，
∴，
∴，
∴．
20．
【分析】先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，则由平行线的性质可得．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解题的关键．
21．，
【分析】根据平行线的性质可求，，根据角的和差关系可求，再根据角平分线的定义可求，进而可求解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
22．(1)．理由见解析
(2)
【分析】（1）根据，可得，可以证出，由可得，即可得出结果；
（2）根据可得，即可求得结果．
【详解】（1）解：，
理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据得出，再由可知，故，，利用即可得出结论；
（2）再由是的角平分线得到，从而得到，由推导，根据得到，再利用，即，从而得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵的角平分线为，
∴，
∴
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30．
【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，涉及到角平分线，本题解题的关键是掌握平行线的性质与判定和采用整体思想求解．
24．(1)，理由见详解
(2)①；②见详解
【分析】（1）根据角平分线的性质得，由，所以，根据平行线的判定得；
（2）①根据平行线的性质得，所以，根据角平分线的性质得，，所以；
②根据垂线的定义得，所以，根据等角的余角相等得，根据平行线的性质得，所以，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
理由：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①解：∵，
∴°，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
②证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义以及角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可知，，可得，从而可得答案；
（2）由（1）同理可得：，，再证明，，从而可得答案；
（3）由（1）同理可得：，，再证明，从而可得结论．
【详解】（1）解：由题意知，，
，，
．
．
（2）解：由（1）同理可得，，
与的平分线交于点，
，，
．
∴．
（3）解：由（1）同理可得，，
与的平分线交于点，
，，
，
．
∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，作出合适的辅助线是解本题的关键．
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人教版七年级下册数学第五章 相交线与平行线单元检测题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．生活中经常见到一些美丽的图案，这些图案有许多是由基本图形平移组成的，如下列图形中，只能用其中一部分平移而得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．图中，和是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断（ ）
A． B．
C． D．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补 B．相等的角是对顶角
C．若，则 D．同一平面内，若，，则
5．如图，，，则∠2的度数是（ ）
A．95° B．105° C．115° D．125°
6．如图，，点B在直线b上，且，，那么（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，，，判断与的大小关系（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．如图，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（每题3分，共24分）
11．已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数为 ．
12．如图，已知，垂足为O，若，则直线与的夹角为 ．
13．已知的两边分别平行于的两边，若，则的度数为 ．
14．如图，把一张两边平行的纸条沿着折叠，若，则的度数是 ．
15．如图，直角三角形的三边长分别为30，40，50，在其内部有5个小直角三角形，且这5个小直角三角形都有一条边与平行（或重合），则这5个小直角三角形的周长之和是 ．
16．如图，若，，则 ．
17．如图，．若，则的大小为 ．
18．如图，已知，则 ．
三、解答题（共66分）
19．如图所示，直线、都垂直于直线，直线与、相交，如果，那么、等于多少度？
20．如图，，与分别相交于点M，N，平分，与相交于点H．若，求的度数．
21．如图，已知平分．求，的度数．
22．已知：如图，，，．
(1)与平行吗？为什么？
(2)求：的度数．
23．如图，，，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点H，点F是边上一点，使得．
(1)证明：；
(2)作的角平分线交于点G，若，则______（请直接写出答案）．
24．如图1，点E、F分别在直线、上，的平分线交于G，且．
(1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，点H在射线上，的平分线交于K．
①当时，求的度数；
②若，求证：．
25．阅读下列材料：
如图，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，我们可以通过作辅助线证明结论：．
请你利用这个结论或证明思路，完成下列问题．
已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．
(1)如图，若，，请直接写出的度数；
(2)如图，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明；
(3)如图，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系．
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参考答案：
1．B
【分析】由平移的性质可知，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．从而得到平移图形对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，对应图形全等．
【详解】解：A、是图形旋转所得，故A错误；
B、图形的形状和大小不变，符合平移性质，故B正确；
C、是图形旋转所得，故C错误；
D、最后一个形状不同，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
2．C
【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．
【详解】解：A、D、和两边不互为反向延长线，故A、D不符合题意；
B、和两角没有公共顶点，故B不符合题意；
C、和是对顶角，故C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的定义．
3．A
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
【详解】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项符合题意；
B、，根据内错角相等，，故此选项不符合题意；
C、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项不符合题意；
D、，根据同旁内角互补，两直线平行可得：，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
4．D
【分析】根据平行线的性质可判断A，根据对顶角的定义可判断B，根据绝对值的含义可判断C，根据平行线的判定可判断D，从而可得答案．
【详解】解：两直线平行，同旁内角互补；原选项命题为假命题，故A不符合题意；
相等的角不一定是对顶角，原选项命题为假命题，故B不符合题意；
若，则，原选项命题为假命题，故C不符合题意；
同一平面内，若，，则，真命题，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，对顶角的定义，绝对值的含义，熟记以上基础概念与性质是解本题的关键．
5．C
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】如图，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．
6．A
【分析】可求，由平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的性质是解题的关键．
7．A
【分析】根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即可作答．
【详解】∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是解答本题的关键．
8．C
【分析】根据平行线的性质和直角三角形锐角互余即可求解；
【详解】过C作 于H，
，，
H、C、D三点共线，
则 ，
∵，
∴，
，
；
故选：C
【点睛】该题考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，解答该题的关键是将角度进行等量转换
9．A
【分析】因为，所以，，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了同位角相等，两直线平行以及两直线平行，内错角相等，难度较小．
10．B
【分析】根据平行线性质可得，求出的度数，利用角平分线可求出的度数即可对①进行判断；利用即可求出的度数，即可对②进行判断；利用垂直分别求出两角进行比较即可对③进行判断；由垂直分别求出两角的度数进行比较即可．
【详解】解：，
，
，
平分，
；
故①错误；
，
，
，
平分；
故②正确；
，，
，
，
，
；
故③正确；
，,
；
故④错误．
故选：．
【点睛】此题考查了平行线的性质、垂线的定义以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
11．或
【分析】图时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出的度数为；
图时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出的度数为．
【详解】解：若与位置如图所示：
，
，
又∵，
，
，
又，
；
若与位置如图所示：
，
，
又∵，
，
，
又
，
综合所述：的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．
12．40
【分析】由垂直的定义可求得，再利用对顶角可求得答案．
【详解】解：，
，
，
即直线与的夹角为，
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查垂直的定义和对顶角的性质，由垂直的定义求得是解题的关键．
13．或
【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，得出的度数；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出的度数．
【详解】解：①若与位置如图1所示：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②若与位置如图2所示：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．
14．/50度
【分析】根据题意，得，结合，代入计算即可．
【详解】如图，根据题意，得，
∵，
∴，
解得．
故答案为：50．
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15．120
【分析】小直角三角形的与平行的边的和等于，与平行的边的和等于，则小直角三角形的周长等于直角的周长，据此即可求解．
【详解】解：利用平移的性质可得出，
这五个小三角形的周长的和等于大三角形的周长为：，
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，正确理解小直角三角形的周长等于直角的周长是解题的关键．
16．/50度
【分析】直接根据平行线的性质求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
17．
【分析】先证明，，再利用对顶角的性质可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，熟记两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．
18．（答案不唯一）
【分析】根据内错角相等两直线平行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
19．，
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，对顶角相等，解题的关键是掌握平面内垂直于同一直线的两直线平行及平行线的性质．
由平面内垂直于同一直线的两直线平行知，据此知，结合图形可得答案．
【详解】解：∵、，
∴，
∴，
∴．
20．
【分析】先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，则由平行线的性质可得．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解题的关键．
21．，
【分析】根据平行线的性质可求，，根据角的和差关系可求，再根据角平分线的定义可求，进而可求解．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
22．(1)．理由见解析
(2)
【分析】（1）根据，可得，可以证出，由可得，即可得出结果；
（2）根据可得，即可求得结果．
【详解】（1）解：，
理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据得出，再由可知，故，，利用即可得出结论；
（2）再由是的角平分线得到，从而得到，由推导，根据得到，再利用，即，从而得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：∵的角平分线为，
∴，
∴
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：30．
【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，涉及到角平分线，本题解题的关键是掌握平行线的性质与判定和采用整体思想求解．
24．(1)，理由见详解
(2)①；②见详解
【分析】（1）根据角平分线的性质得，由，所以，根据平行线的判定得；
（2）①根据平行线的性质得，所以，根据角平分线的性质得，，所以；
②根据垂线的定义得，所以，根据等角的余角相等得，根据平行线的性质得，所以，即可得出结论．
【详解】（1）解：，
理由：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）①解：∵，
∴°，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
②证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义以及角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可知，，可得，从而可得答案；
（2）由（1）同理可得：，，再证明，，从而可得答案；
（3）由（1）同理可得：，，再证明，从而可得结论．
【详解】（1）解：由题意知，，
，，
．
．
（2）解：由（1）同理可得，，
与的平分线交于点，
，，
．
∴．
（3）解：由（1）同理可得，，
与的平分线交于点，
，，
，
．
∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，作出合适的辅助线是解本题的关键．
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