2023-2024学年数学八年级二次根式单元测试试题（沪科版）提升卷一含解析

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2023-2024学年数学八年级二次根式（沪科版）
单元测试 提升卷一 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）下列实数：，，，，，3.1416，中无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（本题3分）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图所示，点，点分别在坐标轴上，第一象限中的点P坐标为，且满足，则a的值为（　　）
A．2 B． C． D．
8．（本题3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．两个锐角之和一定是钝角 B．各边对应相等的两个多边形一定全等
C． D．实数和数轴上的点是一一对应的
9．（本题3分）下列算式的值是有理数的是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是
12．（本题3分）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
13．（本题3分）使代数式有意义的的取值范围是 ．
14．（本题3分）代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
15．（本题3分）计算：＝ ．
16．（本题3分）若代数式有意义，则x的取值范围 ．
17．（本题3分）若的最大值为，最小值为，则的值为 .
18．（本题3分）如图直与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在左侧作等边三角形，若平面内有一点，使得与的面积相等，则m的值为 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）计算
(1) (2)
20．（本题8分）(1)计算：；
(2)计算：．
21．（本题8分）已知实数x，y，z在数轴上的对应点如图所示，试化简：．
22．（本题10分）如图，在和中，已知，以及可以选择的条件①；②；③．
(1)选择________条件（选一个，填序号）使得，并给出证明；
(2)若边与交于点，，．求的长．
23．（本题10分）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
24．（本题10分）阅读下列材料，完成下列任务．
小丽在数学资料上看到这样一道题：
已知，求代数式的值．
解：，
，
．
任务：
(1)在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是（ ）．
A．因式分解 B．单项式与多项式的乘法
C．平方差公式 D．完全平方公式
(2)在材料解答的过程中，主要用的思想方法是（ ）．
A．方程思想 B．整体与化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
(3)已知，求的值．
25．（本题12分）阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______；
(2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
(4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为______．
参考答案：
1．C
【分析】将化为最简，再将各选项的二次根式化为最简即可得出答案；
本题考查最简二次根式的知识，注意将各项化为最简后再判断是解题的关键．
【详解】解：，
，
,
，
,
∴能和合并的是
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了二次根式的加法，同底数幂的除法，算术平方根，化简绝对值，理解相关知识是解答关键．
【详解】解：A．与不能合并，原选项计算错误，此项不符合题意；
B．，原选项计算正确，此项符合题意；
C．，原选项计算错误，此项不符合题意；
D．，原选项计算错误，此项不符合题意．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了二次根式的化简，无理数的定义，先化简二次根式，再根据无限不循环小数为无理数进行判断即可．
【详解】∵，，
∴下列实数：，，，，，3.1416，中无理数有，，，共3个，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查二次根式的性质及二次根式的加减运算法则，根据二次根式的加减运算法则进行计算即可．熟练掌握相关法则是解题的关键．
【详解】解：A.，故A选项不符合题意；
B.不能合并同类项，故B选项不符合题意；
C.，故C选项符合题意；
D.，故D选项不符合题意．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了同类二次根式：二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，二次根式的性质；把选项中不是最简二次根式的化为最简二次根式即可判断．
【详解】解：，，
则与是同类二次根式，
故选：C．
6．C
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质求即可求解，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和有理数乘方的应用．
【详解】解：要使式子有意义，则，
∴，
故选：．
7．C
【分析】此题考查了坐标与图形、三角形的面积等知识，数形结合和添加合适辅助线是解题的关键．连接，过点P作轴于点C，过点P作轴于点D，根据已知得到，然后根据面积关系进行计算即可．
【详解】解：连接，过点P作轴于点C，过点P作轴于点D，
∵点，点，点P坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选：C
8．D
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据锐角的概念、多边形全等的判定、二次根式的性质、实数与数轴判断即可．
【详解】解：A、两个锐角之和可能是锐角、可能是直角也可能是钝角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、各边对应相等、各角对应相等的两个多边形一定全等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、实数和数轴上的点是一一对应的，是真命题，符合题意；
故选：D．
9．C
【分析】本题考查二次根式的计算，以及有理数的概念，根据二次根式的运算法则计算各项，再根据有理数的定义判断各项，即可解题．
【详解】解：A、为无理数，不符合题意；
B、为无理数，不符合题意；
C、为有理数，符合题意；
D、为无理数，不符合题意；
故选：C．
10．D
【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；若平分，则，与矛盾，可得③错误；连接、，然后证明，从而得到，，从而证明④．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∴①正确；
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
同理：，
∴，
∴②正确；
∵，
∴若平分，则，与矛盾，
∴③错误；
如图所示：连接、，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵中，，中，，
∴，
∴，
∴④正确；
综上可知，正确的有①②④，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
11．且
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：且．
故答案为：且
12．
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
【详解】解：由题意知，
解得，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次根式有意义：被开方数为非负数，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵代数式有意义
∴
即
故答案为：
14．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据二次根式被开方数大于等于零列式求解即可．
【详解】∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故答案为：
15．1
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式等知识点，掌握平方差公式是解题的关键．
直接利用平方差公式进行计算即可解答．
【详解】解：
．
故答案为：1．
16．且
【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
根据分式和二次根式有意义的条件得出不等式组，求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：且．
故答案为：且．
17．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出的最大值和最小值，从而求出的最大值和最小值，即为，代入即可．
【详解】解：∵
∴，
解得：，
将等式两边平方，得，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
又∵，
∴，
∴
∴
故答案为：．
18．或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次根式的混合运算，熟练掌握一次函数解析式的求法是解答本题的关键．利用直线解析式得到点A，B的坐标，求出长，根据，得到垂直平分线段，计算出点C坐标，求解过点C平行于直线的解析式，同理求解点C关于直线的对称的点的坐标及过点平行于直线的解析式，再利用一次函数的性质可得答案．
【详解】解：连接交于，作轴，垂足为M，作轴，垂足为N，
∵直线的解析式为，
∴，，
∴，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设过点C平行于直线的解析式为，代入点C坐标得，
，
∴，
∴过点C平行于直线的解析式为，
令时，，即；
由对称性可得：，
同理可得：，
过点平行于直线的解析式为，
令时，，
综上，满足条件的m值为：或．
故答案为：或．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的混合运算．
（1）先计算平方根和立方根，二次根式的性质化简，再计算加减即可；
（2）先化简绝对值，零次幂，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．(1)6；
(2)．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
（1）先根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算，然后化简二次根式后合并即可；
（2）先根据平方差公式、绝对值的意义和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
21．
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，先根据实数x，y，z在数轴上的对应点的位置来判断其符号及绝对值的大小，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】由数轴可得：，
∴，
∴原式．
22．(1)③，见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）选择③（答案不唯一），由证得即可；选②，由证得即可；
（2）由，得出，则，即可得出答案．
【详解】（1）解：选择③，理由：
在和中，，
，
故答案为：③；
选②，理由：
，
在和中，，
；
故答案为：②；
（2）解：，
，
，
．
23．(1)
(2)
(3)或
【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解．
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）∵，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴a的值为：或．
24．(1)D
(2)B
(3)6
【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能用整体思想解决问题．
（1）在材料解答过程中，主要用的数学知识是完全平方公式；
（2）在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想；
（3）由，可得，故．
【详解】（1）解：在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是完全平方公式；
故选：D；
（2）解：在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想；
故选：B；
（3）解：，
，
，
，
；
故的值为6．
25．(1)，
(2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
(3)自变量时，函数取最大值，最大值为
(4)
【分析】本题主要考查了“均值不等式”的应用，解题关键是理解例题，借助例题求解．
（1）根据例题，可得，故当且仅当时，函数取到最小值，最小值为，即可获得答案；
（2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得函数解析式为，根据例题，即可获得答案；
（3）将原函数变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，函数取到最大值，并求得最大值．
（4）分，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
当且仅当时，取等号，
∴当时，函数取到最小值，最小值为．
故答案为：，；
（2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，
则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米；
（3）∵，
∴，
又∵，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6，
∴此时有最大值，最大值为，
∴自变量时，函数取最大值，最大值为．
（4）①，
，
又，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为，
此时m有最大值，最大值为，
又，结果分母都为正数，
，
②时，
③，，
又，
当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为，
此时m有最小值，最小值为，
又，结果的分母为负数，
，
，
综合①②③得m的取值范围为．
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