江西省上饶市蓝天教育集团2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（PDF版含解析）

B．方程 x2 bx c 0的两根是 2，1
2023-2024年度蓝天教育集团高一数学上学期期末试卷
C．不等式 x2 bx c 0的解集是{x | 2 x 1}
D．不等式 x2 bx c 0的解集是｛ ≤x≤ ｝
10．下列函数中，既是奇函数又在区间 0, 是增函数的是（ ）
一、单选题
A． y = x
2 B． y x3
1．设全集U 0,1, 2,3, 4 ，集合 A 1,2,3 ,B 2,3,4 ，则 A∪( B)=（ ）
y x 2 2
A． 0,1,2,3 B． 1 C． 0,1 D． 0 C． D． y x x x
2．命题“ x R，都有 x2 x 2 0”的否定为（ ） 11．某校 1000 名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中
A． x R，使得 x2 x 2 0 B． x R，使得 x2 x 2 0 的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于 X 即为优秀，已知优秀学生有 80 人，
C． x R，都有 x2 x 2 0 D． x R，使得 x2 x 2 0 则（ ）
x 1, x 2 A． a 0.008
3．已知函数 f x 3x 5, 2 x 2 则 f 5 的值为（ ） B． X 120

2x 1, x 2 C．70 分以下的人数约为 6 人
10 D．本次考试的平均分约为 93.6A． B． 4 C．9 D． 11
12．已知 f x x是定义在R上的奇函数，当 x 0时，f x 2 x，
4．函数 f x 4 2x 的定义域为（ ）
则有（ ）
A． [0,2] B． [2,4] C． ( , 2] D．[2, ) A．当 x 0时， f x 2x x
5．已知 log0.3 (3x) log0.3 (x 1)，则 x 的取值范围为（ ） B． f x 3x有5个解 xi i 1,2,3,4,5 ，且 x1 x2 x3 x4 x5 0
(1A． , )
1 1 1 1 B． ， C． ，2 2 2 2
D． 0， C． xf x 是奇函数
2
D． f f x 3的解集是 ,0
6．假设有一组数据为 6，8，3，6，4，6，5，这些数据的众数与中位数分别是 （ ）
A．5，6 B．6，4 C．6，5 D．6，6
7．从分别写有1,2,3,4的 4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一 第 II 卷（非选择题）
张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） 三、填空题
1 3 5 7 13．已知正实数 a,b满足 ab 4，则a 2b的最小值是 .
A． B． C． D．
8 8 8 8 14．函数 y (x 4)2的递减区间是 .
1
8．定义在R 上的函数 f (x)满足 f (x 1) f (x)，且当 x [0,1)时，f (x) 1 | 2x 1| 15．抽取样本容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表：.
3
分组 10, 20 20,30 30, 40 40,50 50,60 60,70
若对 x [m, ) 2，都有 f (x) ，则m的取值范围是（ ）
81 频数 2 3 4 5 4 2
10 11
A． , B． ,
13 14
C． ,

D．


3 3 3 3 则样本数据落在区间 10,30 的频率为 .
二、多选题 216．已知函数 f (x) log2 x 2x 9 , g(x) m 4x 2x 1 (m 0) ．若
9．若函数 y x2 bx c的图象与 x 轴的两个交点是 A( 2,0)，B(1,0)，则下列结论正确的
是（ ） x 1 1 ,

, x2 [1,2]使得 f x1 g x2 6成立，则m 的范围
A． b c 1 2
是 ．
试卷第 1页，共 2页
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四、解答题 21．已知函数 f x log2 x 2 .
17．已知 A x 1 x 4 ， B x m x m 2 ，其中m R .
(1)求函数 f x 2 恒过哪一个定点，写出该点坐标；
(1)当m 3时，求 A B和 A B； 1
(2)若 A B B ，求实数m x 1的取值范围. (2)令函数 g x f x a 1，当 g 2 时，证明：函数 g x 在区间 1,2 上
2
有零点.
18．甲 乙两机床同时加工标准直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取 5 件测量
其直径，所得数据如下表：
(1)分别计算两组数据的平均数；
(2)分别计算两组数据的方差；
22．为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力
(3)根据（1）（2）所得结果，判断哪台机床加工该零件的质量更好？
测评，共有 1000 名学生参加，随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 4
甲（mm) 98 100 99 100 103 组： 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ，并整理得到如下频率分布直方图：
乙(mm) 99 100 102 99 100
x2 1,0 x 2

19．已知函数 f x 1 x, 2 x 0

3, x 2 (1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；
f f 1 (2)用分层随机抽样的方法从 60,70 ， 90,100(1)求 的值； 两个区间共抽取出 4 名学生，再从这 4 名
f x 学生中随机抽取 2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间 60,70 的(2)在坐标系中画出 的草图；
(3)写出函数 f x 概率；的单调区间和值域.
(3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛
共设三个项目，每个项目胜方得 1 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，
1 2
总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为 , , p，各项目的比赛
2 5
47
结果相互独立，甲至少得 1 分的概率是 ，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说
50
20．某地区有小学 15 所，中学 10 所，大学 5 所，现采取分层抽样的方法从这些学校中 明理由．
抽取 6 所学校对学生进行视力调查.
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，求抽取的 2 所学校均为
小学的概率.
试卷第 2页，共 2页
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参考答案： 基本事件总数 4 4 16种情况，
1．A 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
【分析】由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 B 补集与 A 的并集即可． 2,1 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 , 4,3 共 6种情况，
【详解】全集U 0,1, 2,3, 4 ， B 2,3,4 , 6 3
故所求概率为： P ，
16 8∴ UB 0,1 ，
故选：B.
∵ A 1,2,3 ,， 8．B
∴ A UB 0,1,2,3 . 【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.
故选：A．
2x,0 x
1

2．D 【详解】因为当 x [0,1)时， f (x) 1 | 2x 1|，所以 f (x)
2
，
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 2 2x, 1 x 1
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“ x R ，都有 x2 x 2 0 ”的否定 2
为 x R，使得 x2 x 2 0 . 1
又因为函数 f (x)满足 f (x 1) f (x) ，所以函数 f (x)的部分图像如下，
故选：D 3
3．B
【分析】根据分段函数解析式运算求解.
【详解】 x 2， f x x 1，
f 5 4 .
故选：B.
4．C
【分析】根据函数的定义域的概念以及指数函数的性质求解.
【详解】函数 f x 4 2x 有意义则必有 4 2x 0，解得 x 2，
所以定义域为 ( , 2]．
故选:C.
5．A
【分析】利用对数函数的单调性，结合对数函数的定义域即可求解． 2 11
y x 由图可知，若对
x [m, )，都有 f (x) ，则m .故 A，log C，D错误.【详解】因为 0.3 在 0, 上递减， log0.3 (3x) log0.3 (x 1)， 81 3
3x 0 故选：B.
3x x 1 x 1 9．ABD所以 ，解得 ，
2 【分析】根据给定条件，求出b,c，再逐项判断即可得解.
x 1 0 【详解】依题意，方程 x2 bx c 0的两根是 2，1，B正确；
x 1即 的取值范围是 ( , ) b 1,c 2． 显然 ，即b 1,c 2， b c 1，A正确；
2 不等式 x2 bx c 0，即 x2 x 2 0的解集为{x | x 2或 x 1}，C错误；
故选：A． 不等式 x2 bx c 0，即 x2 x 2 0的解集是{x |- 2＃x 1}，D正确.
6．D 故选：ABD
【分析】由小到大排列给定数据组，再利用众数与中位数的意义求解即得. 10．BD
【详解】依题意，原数据组由小到大排列为： ， ， ， ， ， ， ， 【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，对各选项的函数逐一判断即可．
所以这组数据的众数与中位数分别是 6，6. 【详解】A：是偶函数，故 A错误；
故选：D B：是奇函数，且在 (0, )是增函数，故 B正确；
7．B C：是奇函数，在 (0, 2)为减函数， ( 2, )为增函数，故 C错误；
【分析】先找出基本事件的总数，然后找出满足条件的结伴事件数，利用概率公式求解
D：是奇函数，且在 (0, )是增函数，故 D正确.
即可.
故选：BD.
【详解】从分别写有1,2,3,4的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
答案第 1页，共 4页
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11．AD 点 x1,3x1 、 x5 ,3x5 关于原点对称，点 x2 ,3x2 、 x4 ,3x4 关于原点对称，
【分析】根据频率分布图的求解频率、频数、平均数即可求解. 所以， x1 x5 0， x2 x4 0，故 x1 x2 x3 x4 x5 0，B对；
【详解】对于 A， 0.002 2 0.004 a 0.014 0.02 20 1 a 0.008，A正确；
对于 C选项，令 g x xf x ，该函数的定义域为R，
对于 B，因为第六组有 40人，第五组有 160人，
130 X 40 g x xf x xf x g x ，故函数 g x xf x 为偶函数，C错；
所以 X 125，B错误；
130 110 160 对于 D选项，令u f x ，则 f u 3，且 f 1 3，则 f 1 f 1 3，
对于 C，70分以下的人数为 0.002 0.004 20 1000 120人，C错误；
由图可知，函数 f x 在R上为增函数，由 f u 3 f 1 ，可得 u 1，即 f x 1，
对于 D，平均成绩 X 40 0.04 60 0.08 80 0.28 100 0.4 120 0.16 140 0.04 93.6，D正
确， 结合图象可知，不等式
f x 1的解集为 ,0 ，D对.
故选:AD. 故选：BD.
12．BD 13． 4 2
【分析】利用奇函数的定义求出函数 f x 在 x 0时的解解析式，可判断 A选项；数形 【分析】由基本不等式求出最小值.
a,b
结合以及奇函数的性质可判断 B选项；利用函数奇偶性的定义可判断 C选项；利用函数 【详解】正实数 满足 ab 4，由基本不等式得a 2b 2 2ab 4 2，
的单调性以及图象解不等式 f f x 3，可判断 D选项. 当且仅当 a 2b，即 a 2 2,b 2 时，等号成立.
x x 故答案为： 4 2【详解】对于 A选项，当 x 0时， x 0，则 f x f x 2 x x 2 ，A错； 14． ( , 4)
对于 B选项，因为函数 f x 是定义在R上的奇函数， 【详解】作出函数图象的图象，
当 x 0时， f x 2x x，则 f 0 0，
x
因为函数 y 2x、 y x在 0, 上均为增函数，则函数 f x 2 x在 0, 上为增函
数，
作出函数 f x 与 y 3x的图象如下图所示：
由图象可知图象的减区间为 ( , 4)
15．0.25
【分析】由表求出落在区间的频数，即可求出频率.
5
【详解】解：由题意知，落在 10,30 的频数为2 3 5，所以频率为 0.25 .
20
故答案为:0.25.
【点睛】本题考查了频率的计算.
1
16． , 0

3
1
【分析】根据题意， x1 , , x2 [1,2]使得 f x1 g x2 6，即 2
f (x) 6 g(x) ，将问题转化为求 f (x)min min 的最小值，与 g(x)的最大值，g(x)的最值
需要对m进行分类讨论，进而可得出关于实数m的不等式，综合可得出实数m的取值范
围.
由图可知，函数 f x 与 y 3x的图象有五个交点，不妨设 x1 x2 x3 x4 x5， 1 【详解】因为对于 x1 , , x2 [1,2]使得 f x1 g x2 6，
因为函数 f x 与 y 3x都为奇函数，则 x 2 3 0，
答案第 2页，共 4页
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即 f (x) 6 g(x) ，即 f (x) 6 g(x)min min min max . 1（2）解：甲组数据的方差 ( 2)2 0 ( 1)2 0 32 2.8
f (x) log x2因为 2 2x 9 5，函数 f (x)在 (1, )上单调递增， ( ,1)单调递减， 1 2 2 2
f (x)min f (1) 3，即 3 g(x) ，即 g(x) 乙组数据的方差 ( 1) 0 2 ( 1) 0 1.2max max 3， 5
g x m 4x 2x 1又 m 0 ， （3）因为甲乙两组数据的平均数相同，
1 2 甲，乙两台机床加工该零件的平均水平相当.设 t 2x ，则 t 2,4 ， h(t) mt 2t ，对称轴为 t 0，m 又甲组数据的方差大于乙组数据的方差，
1 1 乙机床加工该零件的直径大小更稳定.
①当 4,即 m 0时， h(t)max h(4) 16m 8 ，即16m 8 3，m 4 乙机床加工该零件的质量更好.
5 1 19．(1)5
解得m ，所以 m 0；
16 4 (2)见解析
2 1 4, 1 m 1 h(t) h( 1 ) 1 1 1 2,0 0,2 1,5②当 即 ， max ，即 3
(3)减区间为 ，增区间为 ；值域为
，解得 m 0 .
m 2 4 m m m 3
1
m 1 【分析】（1）先求 f ( 1) 2，再求 f (2)可得答案；所以解集为 ，
3 4 （2）分段作出图象即可；
1 2 1 1③当 时，即m ， h(t)max h(2) 4m 4 3 ，解得m ，此时解集为 . （3）根据图象写出单调区间，根据单调性求出值域.m 2 4 x2 1,0 x 2
1
综上，m的取值范围是 ( , 0) 【详解】（1）因为 f x 1 x, 2 x 0，所以 f ( 1) 1 1 2，
3
1 3, x 2
故答案为： ( , 0)
3 所以 f f 1 f (2) 22 1 5 .
17．(1) A B x 3 x 4 ， A B x 1 x 5 （2）草图如下：
(2) 1,2
【分析】（1）由集合的交集和并集即可得解.
（2）利用交集的结果转化为集合间关系即可求参数范围.
【详解】（1）当m 3时， B x 3 x 5 ，
所以 A B x 3 x 4 ， A B x 1 x 5 .
m 1
（2）若 A B B ，则 B A，则 ，解得1 m 2m . 2 4
故实数m的取值范围是 1,2 .
18．(1)100(mm)，100(mm)；
（3）由图可知，减区间为 2,0 ，增区间为 0,2 ；
(2)2.8,1.2； f (x) 3
(3) 当 x< 2时， ；乙机床加工该零件的质量更好.
当 2 x 0时， f (x) 1 x为减函数，所以 f (x) 1,3 ；
【分析】（1）直接利用平均数公式求解； 当0 x 2时， f (x) x2 1为增函数，所以 f (x) 1,5 ；
（2）直接利用方差公式求解；
所以 f (x)的值域为 1,5 .
（3）利用平均数和方差的意义分析判断.
1 20．(1)从小学、中学、大学中分别抽取3所、 2所、1所.
【详解】（1）解：甲机床生产的零件的平均数 (98 100 99 100 103) 100(mm), 1
5 (2)
1 5
乙机床生产的零件的平均数 (99 100 102 99 100) 100(mm)
5
【分析】（1）根据分层抽样的知识求得正确答案.
答案第 3页，共 4页
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（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. x (65 0.01 75 0.015 85 0.045 95 0.03) 10 84.5分.
15
【详解】（1）从小学抽取 6 3所； （2）解：由频率分布直方图，可得 60,70 的频率为0.1， 90,100 的频率为0.3，
15 10 5
10 所以用分层随机抽样的方法从 60,70 ， 90,100 两个区间共抽取出 4名学生，
从中学抽取6 2所；
15 10 5 可得从 60,70 抽取1人，即为 a，从 90,100 中抽取3人，即为1,2,3，
5
从大学抽取6 1所； 从这 4名学生中随机抽取 2名依次进行交流分享，有 a,1 , a, 2 , a,3 , 1,2 , 1,3 ,
15 10 5
3 1,2,3 4,5 6 2,3 , 1,a , 2,a , 3,a , 2,1 , 3,1 , 3,22 2 1 ，共有 12个基本事件；（ ）小学的 所学校编号为 ，中学的 所学校编号为 ，大学的 所学校编号为 ，
从中随机抽取 2所学校，基本事件有： 其中第二个交流分享的学生成绩在区间 60,70 的有： 1,a , 2,a , 3,a ，共有 3个，
12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15种，
所以概率为 P
3 1
.
其中抽取的 2所学校均为小学的是：12,13, 23，从3种， 12 4
2 3 1 . （3）解：甲最终获胜的可能性大.所以抽取的 所学校均为小学的概率为
15 5 47理由如下：由题意，甲至少得 1分的概率是 50，
21．(1)恒过定点 ( 3,0)，坐标 ( 3,0)
1 (1 1)(1 2)(1 p) 47 4(2)证明见解析 可得 ，其中 0 p 1，解得 p ，2 5 50 5
1 2 4 1 2 4
【分析】（1）根据题意，可得函数 f x 2 的解析式，再由对数函数过定点，代入计算， 则甲的 2分或 3分的概率为：P (1 ) (1 ) (1
1) 2 4 1 2 4 3 ，
2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 5
即可得到结果； 2
所以乙得分为 2分或 3分的概率为 ，
（2）根据题意，由条件可得函数 g x 的解析式，再由零点存在定理判断即可. 5
3 2
【详解】（1）由题意知函数 f x log2 x 2 ，故 f x 2 log 2 x 4 ， 因为 ，所以甲最终获胜的可能性更大.5 5
令 x 4 1, x 3, log2 x 4 0，
即函数 f x 2 恒过定点 ( 3,0)，该点坐标为 ( 3,0)；
x 1
（2）证明：由题意 g x log2 x 2 a 1，
当 g 2 1 时， log 4 a1 1 1 , a 1 ，
2 2 2 2
即 g x log2 x
1
2 ( )x 1 1，
2
则 g 1 log2 3 2 0 g 2
1
，又 0，
2
故函数 g x 在区间 1,2 上有零点.
22．(1)84.5分
1
(2)
4
(3)甲最终获胜的可能性大；理由见解析
【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；
（2）根据分层抽样的分法，得到从 60,70 抽取1人，即为 a，从 90,100 中抽取3人，即
为1,2,3，利用列举法求得基本事件的总数和所有事件中包含的基本事件的个数，结合古
典摡型的概率计算公式，即可求解；
4
（3）根据题意求得 p ，分别求得甲乙得到 2分和 3分的概率，即可得到答案.
5
【详解】（1）解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评
的平均数：
答案第 4页，共 4页
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